第12讲 全等三角形的综合（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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1．（2020·辽宁锦州市·）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到MBC≌ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定MBC≌ABC的理由是（ ）
A．SASB．AAAC．SSSD．ASA
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【详解】在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
2．（2022·山东烟台市·七年级期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠DB．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACDD．BC＝EC，∠B＝∠E
【答案】A
【分析】利用三角形全等的判定方法： 逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】解： 添加：BC＝DC，∠A＝∠D，
其中的夹角是 的夹角是，但是这两个夹角不一定相等，所以不能判定△ABC≌△DEC，故符合题意；
添加：BC＝EC，AC＝DC，
△ABC≌△DEC ，故不符合题意；
添加：∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD，


△ABC≌△DEC ，故不符合题意；
添加：BC＝EC，∠B＝∠E，
△ABC≌△DEC ，故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2019·山东泰安市·）如图，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和△全等的图是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
【详解】解：如图：
图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和不全等；
在和中，

∴，
图乙符合定理，即图乙和全等；
在和中，
∴，
图丙符合定理，即图丙和全等．
甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是：乙或丙．
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键．
二、填空题
4．（2020·哈尔滨市第十七中学校七年级月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以带那一块___．
【答案】③
【分析】根据全等三角形的判定方法，在打碎的三块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【详解】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法；
第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；
第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故答案是：③．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握，在解答时要求对全等三角形的判定方法的运用灵活．
5．（2020·全国七年级课时练习）如图所示，某三角形材料断裂成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料___，理由是________________________________．
【答案】Ⅱ 利用全等三角形判定方法中的“ASA”
【分析】根据全等三角形的判定方法“ASA”可得可以配到与原三角形材料．
【详解】因为第Ⅱ块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA可得到三角形全等，即得到与原三角形一样的材料，所以应带第Ⅱ块．
故答案为：Ⅱ，利用全等三角形判定方法中的“ASA”．
【点睛】考查了全等三角形判定和应用，解题关键利用了有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等．
6．（2020·全国七年级课时练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。这样做的依据是_______.
【答案】SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．
【详解】由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
7．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列结论：①DE=DC；②∠BDE=∠ADC；③AB=2AC；④图中共有两对全等三角形.其中正确的是：____________（填序号即可）.
【答案】①②③
【分析】根据题意可证△AED≌△ACD即可判断①；再证△BED≌△AED即可判断②③，最后证△BED≌△ACD即可判断④.
【详解】∵AD平分∠BAC，∠B=30°，∠C=90°
∴∠EAD=∠CAD=30°
又DE⊥AB于E
∴∠DEA=∠BED=90°
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴DE=DC，∠EDA=∠CDA，AC=AE故①正确
在△BED和△AED中
∴△BED≌△AED（AAS）
∴∠BDE=∠ADE，BE=AE
∴∠BDE=∠CDA，故②正确
又BE+AE=AB
∴AB=2AE=2AC，故③正确
在△BED和△ACD中
∴△BED≌△ACD（SAS），共有3对全等三角形，故④错误
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，需要熟练掌握全等三角形的判断与性质.
8．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE=CF,AC∥DF,要使△ABC≌△DEF,则还需要添加一个条件____________.
【答案】∠B=∠DEF（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定即可得出答案.
【详解】∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE
又BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
∴BC=EF
若∠B=∠DEF
则△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为∠B=∠DEF（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，需要熟练掌握全等三角形的判定方法.
9．（2020·山东威海市·七年级期中）如图，在中，，，垂足分别为交于点，，，则的长度为___________．
【答案】7
【分析】首先根据勾股定理，求出AE，然后判定，即可得出CE，进而得出CH.
【详解】∵，，
∴∠AEH=∠CEB=90°，
又∵，∠AHE=∠CHD
∴∠EAH=∠ECB
∴
∴AE=CE=12
∴CH=CE-EH=12-5=7
故答案为7.
【点睛】此题主要考查勾股定理的运用以及三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.
10．（2019·山东泰安市·七年级期末）如图,在方格纸中,以AB为一边做△ABP,使之与△ABC全等,从 P1,P2,P3,P4,四个点中,满足条件的点P有_____个
【答案】3
【分析】根据，并且两个三角形有一条公共边，所以可以作点C关于直线AB以及线段AB的垂直平分线的对称点，得到两个点P，再看一下点P关于直线AB的对称点，即可得出有3个这样的点P.
【详解】解：由题可知，以AB为一边做△ABP使之与△ABC全等，
∵两个三角形有一条公共边AB，
∴可以找出点C关于直线AB的对称点，即图中的，
可得：；
再找出点C关于直线AB的垂直平分线的对称点，即为图中点，
可得：；
再找到点关于直线AB的对称点，即为图中，
可得：；
所以符合条件的有、、；
故答案为3.
【点睛】本题考查全等以及对称，如果已知两个三角形全等，并且有一条公共边，可以考虑用对称的方法先找其中的几个点，然后再作找到的这些点的对称点，注意找到的点要检验一下，做到不重不漏.
11．（2019·山东淄博市·七年级期中）如图，，，要使≌，则需要补充一个条件，这个条件可以是___________(只需填写一个).
【答案】AC=DF（答案不唯一）
【分析】可以添加AC=DF，利用SAS判定≌.
【详解】可以添加AC=DF
∵
∴BF-CF=CE-CF
∴BC=EF
又∵，AC=DF
∴≌（SAS）
【点睛】此题主要考查对三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.
12．（2019·上海浦东新区·七年级月考）如图，已知，请添加一个条件，使，这个条件可以是________.（填写一个即可）.
【答案】或或等；
【分析】添加，利用判定即可．
【详解】解：I.若添加，
在和中，
．
II. 若添加，
在和中，
．
III.若添加，
在和中，
．
故答案为：（或或等）．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
13．（2018·洋县教育局七年级月考）如图，已知点、、、在同一条直线上， ，且，求证:，
【分析】根据题意证明，得到，故可求解．
【详解】证明：∵，，
∴，，
在与中，
∴（）
∴，
∴，
即．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
14．（2018·洋县教育局七年级月考）如图，，，若，，求线段的长，
【答案】4.5
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC＝DB，然后推出AB＝CD，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AC、DB是对应边是解题的关键．
15．（2020·安徽宿州市·七年级期末）如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，，求证：．
【分析】先根据线段的和差可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证．
【详解】
，即
在和中，
．
【点睛】本题考查了线段的和差、平行线的性质、三角形全等的判定定理，熟记三角形全等的判定定理是解题关键．
16．（2019·山东威海市·）如图，和，,与在同一条直线上，,连接交于点．
求证:．
【分析】先根据题意证明△ACB≌△DEF，得到AC＝ED，再证出△ACO≌△DEO即可求解．
【详解】证明：∵FC=EF+EC=EC+BC=BE
∴EF＝BC
∵
∴,又
∴△ACB≌△DEF
得出AC＝ED
又,
∴△ACO≌△DEO
∴AO＝DO．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
能力提升
1．（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点．求证:是的中点．
证明:(已知)，
_ (两直线平行，内错角相等)，
是边的中点，
(_ ），(_ ），
在和中，
，
( ) ，
(全等三角形的对应边相等)，
是的中点．
【答案】；线段中点的定义；
【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证．
【详解】证明:(已知)，
(两直线平行，内错角相等)，
是边的中点，
(线段中点的定义)，
在和中，
，
(全等三角形的对应边相等)，
是的中点．
【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键．
2．（2019·上海长宁区·七年级期末）如图，已知是的一条中线，延长至，使得，连接. 如果，试求的取值范围.
【答案】的取值范围是.
【分析】先证明得到，然后根据三角形的三边关系得到AE的取值范围，从而计算出AD的取值范围。
【详解】解：∵是中线，
所以（中线的意义）
在和中，
∴
∴ （全等三角形对应边相等）
又在中，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
【点睛】本题考查了三角形的中线和三边关系。条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形．
3．（2020·重庆南岸区·七年级期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．

（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【答案】（1）说明见解析；（2）EF= FC+BE．理由见解析．
【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED=∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE=DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE=DG，BE=CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF=GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【详解】（1）∵ DB⊥AM，DC⊥AN，
∴ ∠DBE=∠DCF=90°．
在△BDE和△CDF中，
∵
∴ △BDE≌△CDF（AAS）．
∴ DE=DF．
（2）过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G．
在△BDE和△CDG中，
∵
∴ △BDE≌△CDG（ASA）
∴DE=DG，BE=CG．
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴ ∠BDE+∠CDF=60°．
∴ ∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°．
∴ ∠EDF=∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
∴ △EDF≌△GDF（SAS）．
∴ EF=FG．
∴ EF=FC+CG=FC+BE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2020·四川巴中市·七年级期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
【答案】52米
【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又CD=12米，BD=64米，
米，
米，
答：该居民楼ED的高度为52米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键．
5．（2020·北京海淀区·清华附中七年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系： ．
【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE+DE
【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝DC，AD＝CE，即可求解．
【详解】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）∵△BCE≌△CAD，
∴BE＝DC，AD＝CE，
∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，
故答案为：AD＝BE+DE．
6．（2020·河南郑州市·七年级期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此线BD和CE的数量关系是
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：
（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、
【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；
（2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果；
（3）根据已知条件证明即可得到证明；
【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴，
即，
∴，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；．．
理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
由图可知，AD=AB，AE=AC，
∴，
即，
∴，
∴BE=CD，，
又∵，
∴，
∴，
∴∠PBC+∠PCB=60°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键．