第20讲 期末复习（练习）提升卷- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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第20讲 期末复习（练习）提升卷一、选择题（每题4分，共24分）1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（   ）A．平行 B．垂直C．相交 D．可能垂直，也有可能平行【答案】A【分析】根据垂直的性质和平行线的判定定理进行解答即可得出答案．【详解】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；故选：A．【点睛】此题考查了垂直的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的性质和平行线的判定定理，是一道基础题．2．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（　　）A．54° B．56° C．44° D．46°【答案】A【分析】先根据AB⊥BC，即可得到 ．再根据 ，即可得出．【详解】由题意可知：如下图所示∵AB⊥BC，∠1＝36°，∴∵，∴故选A．【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解题关键．3．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明△BDF≌△ADC(AAS)，可得AD=BD，继而根据∠ADB=90°，可得∠ABD=45°，再由∠ABE=∠ABC-∠DBF即可求得答案.【详解】∵，，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC=25°，又∵BF=AC，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴AD=BD，又∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠DBF=20°，故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.4．下列说法正确的是（   ）A．负数没有立方根 B．不带根号的数一定是有理数C．无理数都是无限小数 D．数轴上的每一个点都有一个有理数于它对应【答案】C【分析】根据有理数的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系判断即可．【详解】解：A、负数有立方根，故本选项错误；B、不带根号的数不一定是有理数，如π，故本选项错误；C、无理数都是无限不循环小数，故本选项正确；D、实数和数轴上的点一一对应，故本选项错误故选：C．【点睛】此题考查实数，关键是要掌握有理数的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系．5．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（   ）A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形【答案】C【分析】综合运用判定方法判断．根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．【详解】解：A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B. 腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形；C. 等边三角形的每个内角都等于60°，所以边长均为5厘米的两个等边三角形，各条边相等，各个角也相等，是全等三角形；D. 一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系．6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】解：如图，作出图形，分三种情况讨论：若OA=OM，有4点M1，M2，M3，M4；若OA=AM，有2点M5，M1；若OM=AM，有1点M6．∴满足条件的点M的个数为6．故选C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．【答案】：【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.8．比较大小：______填“”“”或“”．【答案】>【分析】首先比较两个数的平方的大小关系；然后根据实数大小比较的方法判断即可．【详解】（﹣5）2=25，=26．∵25＜26，∴﹣5＞﹣．故答案为＞．【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．9．在直角坐标平面内，点M（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是_____．【答案】(2,3)【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【详解】解：点P（-2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3），故答案为（2，3）．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．10．如图，如果正方形的面积为，正方形的面积为，则的面积_________.【答案】【分析】根据正方形的面积分别求出BC、BE的长，继而可得CE的长，再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】∵正方形的面积为，正方形的面积为，∴BC=AB=，BE=，∴CE=BE-BC=-，∴S△ACE==，故答案为：.【点睛】本题考查了算术平方根的应用，三角形面积，二次根式的混合运算等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图，在平面内将绕点逆时针旋转至，使，如果，那么旋转角________度. 【答案】40【分析】根据旋转的性质可得出AC=AC'，然后根据CC'∥AB，∠BAC=70°，可得出∠AC'C的度数，进而根据等腰三角形的性质可得出答案．【详解】解：由题意得：AC=AC'，∴△ACC'是等腰三角形，又∵CC'∥AB，∴∠AC'C=∠BAC=70°，∴∠CAC'=40°，即旋转角度α的度数为40°故答案为：40°【点睛】本题考查旋转的性质与等腰三角形的性质，属于基础题，难度一般，解答本题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等．12．在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为___________．【答案】或．【详解】MN是AB的中垂线，则△ABN是等腰三角形，且NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对△ANC中的边进行讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数．解：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，∴MN是AB的中垂线．∴NB=NA．∴∠B=∠BAN，∵AB=AC∴∠B=∠C．设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°．1）当AN=NC时，∠CAN=∠C=x°．则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，解得：x=45°则∠B=45°；2）当AN=AC时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；3）当CA=CN时，∠NAC=∠ANC=．在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+=180，解得：x=36°．故∠B的度数为 45°或36°．13．计算：______．【答案】6【分析】将原式变形为×，再根据幂的乘方计算可得结论．【详解】原式=×=2×3=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查分数指数幂，解题的关键是掌握幂的乘方的定义．14．若点在第二象限，则点在______象限．【答案】第一【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出a，b的取值范围进而得出答案．【详解】由A在第二象限可知：a+1＜0，b＞0，即a＜﹣1，b＞0，则可得到：﹣a＞1，b+1＞1，故B点在第一象限．故答案为第一．【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的范围是解题的关键．15．等腰三角形的一边长为2，另一边长为5，则它的周长是______．【答案】12【分析】因为边为2和5，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当2为底时，其它两边都为5，而5、2、5可以构成三角形，周长为12；当2为腰时，其它两边为2和5．∵2+2=4＜5，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有12．故答案为12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．16．等腰三角形中，有一个角等于，则这个三角形的底角等于______．【答案】或【分析】因为已知给出的40°的角是底角还是顶角没有明确，所以要分两种情况进行讨论．【详解】（1）当40°角本身为底角时，底角就是40°；（2）当40°角为顶角时，底角=（180°﹣40°）=70°，∴底角为70°或40°．故答案为70°或40°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．17．如图，已知是等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分，，，那么AE的长度是______．【答案】7【分析】先利用等边三角形的性质得AB=AC，∠B=∠ACB=60°，再根据角平分线的定义得到∠ACE=60°，然后根据“SAS”判断△ABD≌△ACE，从而得到AE=AD=7．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACD=60°．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴AE=AD=7．故答案为7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．18．如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为_________.（用表示）【答案】【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．【详解】连接BC．∵∠BDC=m°，∴∠DBC+∠DCB=180°-m°，∵∠BGC=n°，∴∠GBC+∠GCB=180°-n°，∴∠GBD+∠GCD=(180°-n°)-(180°-m°)=m°-n°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠ABD+∠ACD=2∠GBD+2∠GCD=2m°-2n°，∴∠ABC+∠ACB=2m°-2n°+180°-m°=180°+m°-2n°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°+m°-2n°)=2n°-m°，故答案为2n°-m°.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．请说明△BDC是等腰三角形；（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将△ABC分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；（3）若有一个内角为36°的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为　                   　．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）72°，90°，108°，132°，126°【分析】（1）由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边即可得出答案；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论；（3）分为以下情况：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形；（2）如图方案1，作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∵DE平分∠BDC，∴∠EDC＝∠BDE＝36°，∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；如图方案2，作∠ABC的角平分线BF交AC于点F，作∠ACB的角平分线CM交BF于点M，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∵BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，∴∠FBC＝∠ABF＝36°，∠FCM＝∠MCB＝36°，∴∠CFM＝∠CMF＝72°，∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；如图方案3，作∠ACB的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC的角平分线NP交BC于点P，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∵CN平分∠ACB，∴∠BCN＝∠ACN＝36°，∠BNC＝∠B＝72°，∵NP平分∠BNC，∴∠BNP＝∠PNC＝36°，∠NPB＝72°，∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；如图方案4，作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，作∠BDE＝∠BDC交AB于点E，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCD＝∠BDE＝∠BED＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠AED＝108°，∴∠A＝∠ADE＝36°，∴△AED，△BDE，△BCD为等腰三角形；（3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：∠ACB＝108°，∠B＝36°，BD＝CD，AC＝AD；④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．故答案为：72°，90°，108°，132°，126°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定及性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定及性质，角平分线的定义，三角形内角和定理并分情况讨论是解题的关键．20．如图，已知：在中，点，是边上的两点，且.（1）若，求的度数；（2）若，直接写出的度数；（3）设，猜想与的之间数量关系（不需证明）.【答案】（1）45°；（2）∠DAE=30°；（3）α+2β=180.【分析】(1)由题意得出∠BEA= ，∠CDA =，再在△ADE中利用内角和等于180°即可.(2)同（1）理可快速得出答案.(3)综合（1）（2）可总结出α与β的之间数量关系.【详解】（1）∵AB=BE ，AC=CD∴∠BEA= ，∠CDA = 在△ADE中∠DAE=180°−∠BEA−∠CDA=180°−=(∠B+∠C )=(180°−∠BAC )=×(180°−90°)=45°（2）∠DAE=30°理由：∠DAE=180°−∠BEA−∠CDA=180°−=(∠B+∠C )=(180°−∠BAC )= 30°（3）α+2β=180理由：∠DAE=180°−∠BEA−∠CDA=180°−=(∠B+∠C )=(180°−∠BAC )∠DAE=(180°−∠BAC )α+2β=180.【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.21．如图，已知，，求的度数. （1）填空，在空白处填上结果或者理由. 解：过点作，（如图）得___________°， （            ）又因为，（已知）所以___________°. 因为，所以，    （            ）又因为，（已知）所以___________°，所以___________°.  （2）请用另一种解法求的度数.【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；（2）连接，利用两直线平行同旁内角互补和三角形的内角和定理可求出的度数。【详解】（1）解：过点作，（如图）得____180____°， （ 两直线平行，同旁内角互补 ）又因为，（已知）所以___50____°. 因为，所以，    （ 平行的意义 ）又因为，（已知）所以___70___°，所以___120___°. （2）连接，，∴∠BAC+∠DCA=180，∴∠PAC+∠DCA=-180=60∴=180-60=120【点睛】本题考查的是平行线的性质，通过作辅助线，构造同旁内角是解决问题的关键．22．如图，已知是的一条中线，延长至，使得，连接. 如果，试求的取值范围. 【答案】的取值范围是.【分析】先证明得到，然后根据三角形的三边关系得到AE的取值范围，从而计算出AD的取值范围。【详解】解：∵是中线，所以（中线的意义）在和中，∴    ∴ （全等三角形对应边相等）又在中，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查了三角形的中线和三边关系。条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形．23．在平面直角坐标系中，已知点，两点关于原点对称，将点向左平移3个单位到达点，设点，且. （1）求实数的值；（2）画出以点为顶点的四边形，并求出这个四边形的面积.【答案】（1）或;（2）画图见解析，,，，.【分析】（1）根据中心对称的坐标特征，求得点B的坐标，再判断出BD∥y轴，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；（2）分两种情况：当D的坐标为（-3，2）时，分别作出四边形ADBC、ABDC、ABCD、ADCB；当D的坐标为（-3，-4）时，作出四边形ACBD.再根据图形运用网格图求出其面积即可。【详解】解：（1）∵两点关于原点对称，∴B（-3，-1）∵点，∴BD∥y轴∴BD=│-1-m│=3,解得或（2）由题意得当时，四边形如下图，此时 当时，四边形如下图，此时四边形面积分别为，，【点睛】本题考查了中心对称与点的坐标的关系和两点间的距离，考查了四边形的面积。24．如图，点是等边边上的一点（不与、重合），以为边作等边，过点，分别交、于点、，联结．（1）说明的理由；（2）说明为等边三角形的理由；（3）线段与存在怎样的数量关系和位置关系？并分别说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）平行且相等，理由详见解析【分析】（1）由△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=∠C=60°，所以∠EAB=∠DAC由此可以证得结论；（2）根据三角形的三个内角都是60°的三角形是等边三角形进行证明；（3）BE=CG、BE∥CG．需要证明四边形BCGE是平行四边形，属于只要证明EB∥CG即可推知∠BEF=60°，∠CGE=120°．【详解】（1）∵是等边三角形，∴，，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，得（等式性质），在与中，∴（2）∵（已证）∴∵，∴（两直线平行，内错角相等）∴，∴，∴，是等腰三角形又∵，∴等腰是等边三角形（3），，理由如下：∵△ABE≌△ACD，∠ABC=∠C=60°∴∠ABE=∠C=60°．∵EGBC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∠C+∠EGC=180°．∴△EFB是等边三角形，∠EGC=120°．∴∠BEF=60°．∴∠BEF+∠CGE=180°．∴BECG．∵EGBC，∴四边形EBCG是平行四边形．∴BE=CG、BECG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，需要记住平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．25．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”． （1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由．（2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上诉结论，总结“活三角形”的其他特征．（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）                                  ，该三角形是一个“活三角形”．                                  ，该三角形是一个“活三角形”．（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为：             度．（直接写出结果即可）【答案】（1）详见解析；（2）有一个内角是另一个内角2倍时；有一个内角为直角时；（3）90°，108°，36°，【分析】（1）证明△ADC和△ABD为等腰三角形即可；（2）作∠CAD=∠C，则∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”；由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易证直角三角形为“活三角形”；（3）分四种情况讨论，根据三角形内角和为180°建立方程，解方程求出顶角即可．【详解】解：（1）∵∠DAC =∠C，∴∠ADB=2∠C，△ADC为等腰三角形，又∵∠BAC=3∠C，∴∠BAD=2∠C=∠ADB，∴△ABD为等腰三角形，∴AD是△ABC的“生命线”；（2）∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”，即：有一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”；当∠BAC=90°，AD为斜边BC的中线，则△ABC为“活三角形”，即：有一个内角为直角时，该三角形是一个“活三角形”，故答案为：有一个内角是另一个内角的2倍时；有一个内角为直角时（3）①由（2）可知，直角三角形为“活三角形”，故等腰直角三角形也为“活三角形”，即顶角为90°；②如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则有，解得：，顶角∠BAC=108°；③如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则有，。，解得：，顶角∠BAC=36°；④如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则，解得：，即顶角∠BAC=，综上：顶角为90°，108°，36°，．【点睛】此题为几何图形新定义问题，主要考查等腰三角形的证明，一元一次方程在几何图形中的应用，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，读懂题目的新定义是解题关键．