数学必修 第二册8.1 基本立体图形第2课时教学设计

《8.1基本立体图形》

第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

  教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第一节《基本立体图形》。以下是本节的课时安排：

上一节课掌握了棱柱、棱锥、棱台的结构特征，本节再引导学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，也可类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征，类比圆的定义得出球的定义。

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，培养直观想象的核心素养；

2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，培养数学抽象的核心素养；

3.了解简单组合体的概念及结构特征，培养数学抽象的核心素养。

1.重点：了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

2.难点：认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式。

（一）新知导入

 1. 创设情境，生成问题

如图，观察下列实物图.

问题　(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？

(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？

(3)如何形成上述几何体的曲面？

提示　(1)它们不是由平面多边形围成的.

(2)可以由某些平面图形旋转而成.

(3)上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成.

（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

1.圆柱的结构特征

【探究1】如图，矩形ABCD绕AB边所在直线旋转一周，其余三边BC、CD、DA旋转的结果是什么？围成什么几何体？

【提示】　边BC、DA各旋转成一个圆面，边CD旋转成一个曲面．它们共同围成一个圆柱．

(1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．

（2）图形及记法：

圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O．

【探究2】如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB、CD.它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？

【提示】　AB∥CD且AB=CD，截面ABCD是矩形．

【探究3】在上题图中，连接AC，则AC是母线吗？

【提示】　不是．

【探究4】圆柱的轴截面是什么图形？

【提示】矩形，一条边是底面圆的直径，另一条边是圆柱的高．

2.圆锥的结构特征

【探究1】如图，Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，其余两边BC、AB旋转的结果是什么？围成什么几何体？

【提示】　边BC旋转成一个圆面，边AB旋转成一个曲面．它们共同围成一个圆锥．

（1）定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线．

（2）图形及记法：

圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO．

【探究2】如图，在圆锥中任取不重合的两条母线，如AB、AD，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？

【提示】　AB与AD相交于A.截面ABD是过顶点A的三角形．

【探究3】直角三角形绕着斜边旋转，得到什么几何体？

【提示】直角三角形绕着斜边旋转，得到两个对底的圆锥。

【探究4】圆锥的轴截面是什么图形？

【提示】等腰三角形，底是底面圆的直径，腰是圆锥的母线。

3.圆台的结构特征

【探究1】如图，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到什么？

【提示】　一个小圆锥和一个圆台．

（1）定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

（2）图形及记法：

圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O

【探究2】如图，直角梯形ABCD绕垂直于底边的腰BC所在的直线旋转一周，腰AD与底边AB、CD旋转的结果是什么？它们围成什么几何体？

【提示】　腰AD旋转成一个曲面，底边AB、CD各旋转成一个圆面，它们围成一个圆台．

【探究3】如图，在圆台中任取不重合的两条母线，如AD、EF，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AF，那么AF是母线吗？

【提示】　AD与EF反向延长后交于一点．过AD、EF的截面是等腰梯形．AF不是母线．

【探究4】把圆台的各母线延长，交于一点吗？

【提示】　因为圆台是由圆锥截得的，所以圆台中各母线延长后必相交于一点，否则不是圆台.

【探究5】圆台的轴截面是什么图形？

【提示】等腰梯形，上下底分别是底面圆的直径，腰是圆台的母线。

4.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

【辩一辩】 1.圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.(√)

2.过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.(×)

3.圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点.(×)

4.过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.(√)

5.球的结构特征

【探究1】如图，把半圆绕它的直径所在的直线旋转一周，半圆弧旋转的结果是什么？把圆绕它的一条直径所在的直线旋转半周，圆弧旋转的结果呢？与球有何关系？

【提示】　半圆弧旋转的结果是一个球面，圆弧旋转的结果也是一个球面．球面围成的几何体就是球．

【探究2】在球面上任取两点A、B，线段AB一定是球的直径吗？什么时候是直径？

【提示】　不一定．当AB过球心时是直径．

（1）定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

（2）图形及记法：

球常用表示球心的字母来表示，可表示为球O

6.简单组合体　

(1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

(2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.

【做一做】观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的.

【提示】　图1 是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.

（三）典型例题

1.旋转体的结构特征

例1.给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是(　　)

A.①②   B.②③   C.①③   D.②④

解析　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.

答案　D

【类题通法】由简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线.

【巩固练习1】下列命题正确的是________(只填序号).

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.

解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；

②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；

③它们的底面为圆面；

④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；

根据球的半径定义，知⑥正确.

答案　④⑥

2.简单组合体的结构特征

例2.（1）指出图中三个几何体的构成.

解　图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.

图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.

图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.

（2）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)

解析：该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.

答案：A

【类题通法】1.判断组合体构成的方法

(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.

(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.

2.不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略

(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．

(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．

【巩固练习2】已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

解析：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．

(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．

(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．

(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．

3.旋转体中的计算问题

例3.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

解　设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.

根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.

根据相似三角形的性质，得＝.解得l＝9.

所以圆台的母线长为9 cm.

【类题通法】解决旋转体中计算问题的方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．

【巩固练习3】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.

解　如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则

πr＝5π，πr＝8π，∴r＝5，r＝8，

又∵R2＝r＋d＝r＋d，

∴d－d＝8－5＝3，

即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又d1－d2＝1，

∴解得

∴R＝＝＝3，

即球的半径等于3.

（四）操作演练  素养提升

1.下列几何体是台体的是(　　)

2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(　　)

A.有且只有一个    B.一个或无穷多个

C.无数个    D.以上均不正确

3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________.

4.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？

答案：1.D  2.B  3.2 4.　旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第104页  练习     第1，2，3题

         第105 页   习题8.1  第3,4,5,9,10题