吉林省长春市教研室重点达标名校2022年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠0 D．x≠1

2．如图： 在中，平分，平分，且交于，若，则等于（   ）

A．75 B．100   C．120  D．125

3．小宇妈妈上午在某水果超市买了 16.5 元钱的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄的价格降低了 25％ ，小宇妈妈又买了 16.5 元钱的葡萄，结果恰好比早上多了 0.5 千克．若设早上葡萄的价格是 x 元/千克，则可列方程（           ）

A． B．

C． D．

4．已知∠BAC=45。，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（    ）

A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞

5．已知反比例函数y=﹣，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　）

A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．﹣2＜y＜﹣1 D．﹣6＜y＜﹣2

6．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（　　）

A．7.1×107 B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 D．71×10﹣8

7．钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是(   )

A． B． C． D．

8．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：

①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac．

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）

A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球

C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球

10．如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（　　）

A．60° B．100° C．110° D．120°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．若不等式组有解，则m的取值范围是______．

12．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________．

13．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝_____．

14．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______________．

15．如图，⊙M的半径为2，圆心M（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为_____．

16．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，则∠C的度数为____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

18．（8分）观察下列各个等式的规律：

第一个等式：=1，第二个等式： =2，第三个等式：=3…

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：直接写出第四个等式；猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

19．（8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，

教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

求教学楼AB的高度；学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．

20．（8分）无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．

（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；

（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？

21．（8分）如图,在中，,点是上一点．尺规作图：作，使与、都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）若与相切于点D，与的另一个交点为点，连接、，求证：．

22．（10分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆与地面仍保持垂直的关系，而折断部分与未折断树杆形成的夹角．树杆旁有一座与地面垂直的铁塔，测得米，塔高米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆落在地面的影子长为米，且点、、、在同一条直线上，点、、也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到，参考数据：，，）．

23．（12分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4 个班 (用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请 根据相关信息，回答下列问题：

（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了_____件作品；

（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．

24．某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．

（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？

（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？

（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

试题解析：由题意可知：x-1≠0，
x≠1
故选D.

2、B

【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．

【详解】

解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．
故选：B．

【点睛】

本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．

3、B

【解析】

分析：根据数量=，可知第一次买了千克，第二次买了，根据第二次恰好比第一次多买了 0.5 千克列方程即可.

详解：设早上葡萄的价格是 x 元/千克，由题意得，

.

故选B.

点睛：本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出列方程所用到的等量关系.

4、C

【解析】

如下图，设⊙O与射线AC相切于点D，连接OD，

∴∠ADO=90°，

∵∠BAC=45°，

∴△ADO是等腰直角三角形，

∴AD=DO=1，

∴OA=，此时⊙O与射线AC有唯一公共点点D，若⊙O再向右移动，则⊙O与射线AC就没有公共点了，

∴x的取值范围是.

故选C.

5、D

【解析】
根据反比例函数的性质可以求得y的取值范围，从而可以解答本题．

【详解】

解：∵反比例函数y=﹣，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜3时，y的取值范围是﹣6＜y＜﹣1．

故选D．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的y的取值范围，利用反比例函数的性质解答．

6、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

0.00000071的小数点向或移动7位得到7.1，

所以0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7，

故选C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7、A

【解析】

根据轴对称图形的概念求解．

解：根据轴对称图形的概念可知：B，C，D是轴对称图形，A不是轴对称图形，

故选A．

“点睛”本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

8、C

【解析】
首先根据抛物线的开口方向可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断

【详解】

由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0；

①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；

②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；

③抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c＞0，故abc＞0，所以③不正确；

④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；

因此正确的结论是①②④．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．

9、A

【解析】

由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.

10、D

【解析】
由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．

【详解】

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，

∵圆O是等边三角形内切圆，

∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣60°）=60°，

∴∠BOC=180°﹣60=120°，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】

分析：解出不等式组的解集，然后根据解集的取值范围来确定m的取值范围．

解答：解：由1-x≤2得x≥-1又∵x＞m

根据同大取大的原则可知：

若不等式组的解集为x≥-1时，则m≤-1

若不等式组的解集为x≥m时，则m≥-1．

故填m≤-1或m≥-1．

点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集再利用不等式组的解集的确定原则来确定未知数的取值范围．

12、（2，2）

【解析】

分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形与是以点为位似中心的位似图形，相似比是k，上一点的坐标是 则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．

详解：与是以点为位似中心的位似图形，，

，若点的坐标是，

过点作交于点E.

点的坐标为：

与的相似比为，

点的坐标为：即点的坐标为：

故答案为：

点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

13、5或1

【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．

【详解】

由被开方数是非负数，得

，

解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，

当a＝1时，a+b＝1+4＝5，

当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝1，

故答案为5或1．

【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

14、2

【解析】

分析：因为BP＝，AB的长不变，当PA最小时切线长PB最小，所以点P是过点A向直线l所作垂线的垂足，利用△APC≌△DOC求出AP的长即可求解.

详解：如图，作AP⊥直线y＝x＋3，垂足为P，此时切线长PB最小，设直线与x轴，y轴分别交于D，C.

∵A的坐标为(1，0)，∴D(0，3)，C(﹣4，0)，∴OD＝3，AC＝5，

∴DC＝＝5，∴AC＝DC，

在△APC与△DOC中，

∠APC＝∠COD＝90°，∠ACP＝∠DCO，AC＝DC，

∴△APC≌△DOC，∴AP＝OD＝3，

∴PB＝＝2．

故答案为2.

点睛：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理及垂线段最短，因为直角三角形中的三边长满足勾股定理，所以当其中的一边的长不变时，即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.

15、6

【解析】
点P在以O为圆心OA为半径的圆上，P是两个圆的交点，当⊙O与⊙M外切时，AB最小，根据条件求出AO即可求解；

【详解】

解：点P在以O为圆心OA为半径的圆上，

∴P是两个圆的交点，

当⊙O与⊙M外切时，AB最小，

∵⊙M的半径为2，圆心M（3，4），

∴PM＝5，

∴OA＝3，

∴AB＝6，

故答案为6；

【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系；能够将问题转化为两圆外切时AB最小是解题的关键．

16、22°

【解析】
由AE∥BD，根据平行线的性质求得∠CBD的度数，再由对顶角相等求得∠CDB的度数，继而利用三角形的内角和等于180°求得∠C的度数．

【详解】

解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，

∴∠CBD=∠1=130°，∠CDB=∠2=28°，

∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠CDB=180°﹣130°﹣28°=22°．

故答案为22°

【点睛】

本题考查了平行线的性质，对顶角相等及三角形内角和定理．熟练运用相关知识是解决问题的关键．

三、解答题（共8题，共72分）

17、周瑜去世的年龄为16岁．

【解析】
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣1．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．

【详解】

设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣1．由题意得；

10（x﹣1）+x＝x2，

解得：x1＝5，x2＝6

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为16岁，完全符合题意．

答：周瑜去世的年龄为16岁．

【点睛】

本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人10岁的年龄是关键．

18、（1）=4；（2）=n．

【解析】
试题分析：（1）根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；

（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明．

试题解析：解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：=4；

（2）第n个等式是：=n．证明如下：

∵= = =n

∴第n个等式是：=n．

点睛：本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子．

19、（1）2m（2）27m

【解析】
（1）首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可．

（2）利用Rt△AME中，，求出AE即可．

【详解】

解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x．

在Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF＋FC=x＋1．

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，

又∵，∴，解得：x≈2．

∴教学楼的高2m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+1≈2+1=3．

在Rt△AME中，，

∴AE=MEcos22°≈．

∴A、E之间的距离约为27m．

20、（1）日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=﹣50x+850；（2）该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．

【解析】
（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b（k≠0），把（7，500），（12，250）代入，得到关于k，b的方程组，解方程组即可；（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（x-5）•p-250=1350，由（1）得到p=-50x+850，于是有（x-5）•（-50x+850）-250=1350，然后整理，解方程得到x1=9，x2=13，满足7≤x≤12的x的值为所求；

【详解】

（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，

根据题意得，

解得k=﹣50，b=850，

所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=﹣50x+850；

（2）根据题意得一元二次方程  （x﹣5）（﹣50x+850）﹣250=1350，

解得x1=9，x2=13（不合题意，舍去），

∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，

∴x=13不合题意，

答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是通过题目和图象弄清题意，并列出方程或一次函数，用数学知识解决生活中的实际问题．

21、（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】
（1）利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置，进而得出答案．

（2）根据切线的性质，圆周角的性质，由相似判定可证△CDB∽△DEB，再根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】

解：（1）如图，及为所求．

（2）连接．

∵是的切线，

∴，

∴，

即，

∵是直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又

∴∽

∴

∴．

【点睛】

本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．

22、米．

【解析】

试题分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB和AC的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB和AC的长度，即可得到结论．

试题解析：解：∵AB⊥EF，DE⊥EF，∴∠ABC=90°，AB∥DE，∴△FAB∽△FDE，∴ ，∵FB=4米，BE=6米，DE=9米，∴，得AB=3.6米，∵∠ABC=90°，∠BAC=53°，cos∠BAC=，∴AC= ==6米，∴AB+AC=3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．

点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．

23、（1）图形见解析，216件；（2）

【解析】
（1）由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数，再求得D班级的数量，可补全条形图,再用36乘四个班的平均数即估计全校的作品数;
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得．

【详解】

（1）4个班作品总数为：件，所以D班级作品数量为：36-6-12-10=8;

∴估计全校共征集作品×36=324件．
条形图如图所示，
 

（2）男生有3名，分别记为A1，A2，A3，女生记为B，
列表如下：

由列表可知，共有12种等可能情况，其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种．
所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为．

【点睛】

考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24、（1） A种钢笔每只15元   B种钢笔每只20元；

（2） 方案有两种，一方案为：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔为47支方案二：购进A种钢笔44支，购进B种钢笔46支；

（3） 定价为33元或34元，最大利润是728元.

【解析】

（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，

由题意得 ，

解得： ，

答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；

（2）设购进A种钢笔z支，

由题意得：，

∴42.4≤z<45，

∵z是整数

z=43，44，

∴90-z=47，或46；

∴共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，

方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；

（3）W=（30-20+a）（68-4a）=-4a²+28a+680=-4(a-)²+729，

∵-4<0，∴W有最大值，∵a为正整数，

∴当a=3，或a=4时，W最大，

∴W最大==-4×(3-)²+729=728，30+a=33，或34；

答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元．