吉林省长春市第一外国语中学2021-2022学年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C．- D．

2．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）个．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（　　）

A． B． C． D．

4．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）

A． B． C． D．

5．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（   ）

A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°

C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°

6．两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是1：p，而在另一个瓶子中是1：q，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（　　）

A． B． C． D．

7．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a元，则原售价为（　　）

A．（a﹣20%）元 B．（a+20%）元 C．a元 D． a元

8．如图，已知函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，则不等式ax2+bx+＞0的解集是（　　）

A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．x＜﹣3或x＞0 D．x＞0

9．如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是(   )

A． B．

C． D．

10．如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=(x>0)的图象和菱形OABC，且OB=4，tan∠BOC=，若将菱形向右平移，菱形的两个顶点B、C恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式是______________.

12．口袋中装有4个小球，其中红球3个，黄球1个，从中随机摸出两球，都是红球的概率为_________．

13．若圆锥的地面半径为，侧面积为，则圆锥的母线是__________．

14．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是________．

15．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为 G，BG＝4，则△CEF 的周长为____．

16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）在中，，是边的中线，于，连结，点在射线上（与，不重合）

（1）如果

①如图1，　   　

②如图2，点在线段上，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结，补全图2猜想、之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点在线段 的延长线上，且，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，请直接写出、、三者的数量关系（不需证明）

18．（8分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

（1）求x，y的值；

（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？

19．（8分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

被随机抽取的学生共有多少名？在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

20．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C． 

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； 

（2）求△ABC的面积.

21．（8分）计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣|﹣3|．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

23．（12分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞1．

（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；

（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

24．如图，点在线段上，，，.求证：.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.

【详解】

根据绝对值的性质得：|-1|=1．

故选B．

【点睛】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

2、B

【解析】

分析：根据已知画出图象，把x=−2代入得：4a−2b+c=0，把x=−1代入得：y=a−b+c>0，根据不等式的两边都乘以a(a<0)得：c>−2a，由4a−2b+c=0得而0<c<2,得到即可求出2a−b+1>0.

详解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，画出图象为：如图

把x=−2代入得：4a−2b+c=0，∴①正确；

把x=−1代入得：y=a−b+c>0，如图A点，∴②错误；

∵(−2,0)、(x1,0),且1<x1，

∴取符合条件1<x1<2的任何一个x1,−2⋅x1<−2，

∴由一元二次方程根与系数的关系知

∴不等式的两边都乘以a(a<0)得：c>−2a，

∴2a+c>0，∴③正确；

④由4a−2b+c=0得

而0<c<2,∴

∴−1<2a−b<0

∴2a−b+1>0，

∴④正确.

所以①③④三项正确．

故选B.

点睛：属于二次函数综合题，考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与轴的交点，属于常考题型.

3、C

【解析】

分析：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；

详解：∵∠A=60°，∠B=100°，

∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，

∵DE=DC，

∴∠C=∠DEC=20°，

∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，

∴S扇形DBE=．

故选C．

点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．

4、C

【解析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．

【详解】

解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体．

故选C．

【点睛】

本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形．

5、C

【解析】
根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．

【详解】

A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；

B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；

C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；

D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；

故选C．

【点睛】

本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．

6、C

【解析】
混合液中的酒精与水的容积之比为两瓶中的纯酒精与两瓶中的水之比，分别算出纯酒精和水的体积即可得答案．

【详解】

设瓶子的容积即酒精与水的和是1，

则纯酒精之和为：1×+1×＝+，

水之和为：+，

∴混合液中的酒精与水的容积之比为：(+)÷(+)＝，

故选C．

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，找到相应的等量关系是解决本题的关键．

7、C

【解析】
根据题意列出代数式，化简即可得到结果．

【详解】

根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，

故答案选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.

8、C

【解析】
首先求出P点坐标，进而利用函数图象得出不等式ax2+bx+＞1的解集．

【详解】

∵函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，

∴1=﹣，

解得：x=﹣3，

∴P（﹣3，1），

故不等式ax2+bx+＞1的解集是：x＜﹣3或x＞1．

故选C．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确得出P点坐标．

9、B

【解析】
根据图示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此判断即可．

【详解】

∵b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|= -a-b．
故选B．

【点睛】

此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．

10、B

【解析】
连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH=，即可得BF= ，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=．

【详解】

连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，

∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=3，

又∵AB=4，

∴AE==5，

∵，

∴，

∴BH=，则BF= ，

∵FE=BE=EC，

∴∠BFC=90°，

∴CF== ．

故选B．

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质及勾股定理的应用，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】

解：连接AC，交y轴于D．∵四边形形OABC是菱形，∴AC⊥OB，OD=BD，AD=CD．∵OB=4，tan∠BOC=，∴OD=2，CD=1，∴A（﹣1，2），B（0，4），C（1，2）．设菱形平移后B的坐标是（x，4），C的坐标是（1+x，2）．∵B、C落在反比例函数的图象上，∴k=4x=2（1+x），解得：x=1，即菱形平移后B的坐标是（1，4），代入反比例函数的解析式得：k=1×4=4，即B、C落在反比例函数的图象上，菱形的平移距离是1，反比例函数的解析式是y=．故答案为y=．

点睛：本题考查了菱形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．

12、

【解析】
先画出树状图，用随意摸出两个球是红球的结果个数除以所有可能的结果个数即可.

【详解】

∵从中随意摸出两个球的所有可能的结果个数是12，

随意摸出两个球是红球的结果个数是6，

∴从中随意摸出两个球的概率=；

故答案为：.

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13、13

【解析】

试题解析：圆锥的侧面积=×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

设母线长为R，则： 

解得:

故答案为13.

14、2

【解析】

试题解析：连接EG，

∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=DE=1．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠1，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG．
在Rt△AOD中，OA==4，
∴AG=2AO=2．
故答案为2.

15、8

【解析】

试题解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠BAF=∠DAF，

∵AB∥DF，

∴∠BAF=∠F，

∴∠F=∠DAF，

∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；

∵AD∥BC，

∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE．

∴EC=FC=9-6=3，

∴AB=BE．

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4

可得：AG=2，

又∵BG⊥AE，

∴AE=2AG=4，

∴△ABE的周长等于16，

又∵▱ABCD，

∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，

∴△CEF的周长为8

16、240.

【解析】
试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．

考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）①60；②．理由见解析；（2），理由见解析.

【解析】
（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合，只要证明是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出，根据全等的性质得出，

（2）如图2，求出，，求出，，根据全等三角形的判定得出，求出，推出，解直角三角形求出即可．

【详解】

解：（1）①∵，，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴．

故答案为60.

②如图1，结论：．理由如下：

∵，是的中点，，，

∴，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∵线段绕点逆时针旋转得到线段，

∴，

在和中

，

∴，

∴．

（2）结论：．

理由：∵，是的中点，，，

∴，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∵线段绕点逆时针旋转得到线段，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

而，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

即．

【点睛】

本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．

18、（1）x=1，y=；（2）小华的打车总费用为18元.

【解析】

试题分析：（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组．
（2）根据里程数和时间来计算总费用．

试题解析：

(1)由题意得，

解得；

（2）小华的里程数是11km，时间为14min．

则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）．

答：总费用是18元．

19、（1）被随机抽取的学生共有50人；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角为72°，（3）参与了4项或5项活动的学生共有720人．

【解析】

分析：（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；

（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；

（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．

详解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%=50（人）；

（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角=×360°=72°，

活动数为5项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12=6，

如图所示：

（3）参与了4项或5项活动的学生共有×2000=720（人）．

点睛：本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．

20、（1）y=2x﹣5，；（2）．

【解析】
试题分析：（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可求出三角形ABC面积．

试题解析：（1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，∴反比例解析式为，把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），把A与B坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=2，b=﹣5，则一次函数解析式为y=2x﹣5；

（2）

如图，

S△ABC=

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数及其应用；反比例函数及其应用．

21、﹣1．

【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式

=1﹣3+4﹣3，

=﹣1．

【点睛】

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

22、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

【解析】
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；

（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；

（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝＝﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．

【详解】

解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，

∴点A坐标为（1，4），

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．

故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；

（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，

∴CE＝＝＝5，

当∠QPC＝90°时，

∵cos∠QPC＝，

∴，解得t＝；

当∠PQC＝90°时，

∵cos∠QCP＝，

∴，解得t＝．

∴当t＝或  t＝时，△PCQ为直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有：

，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+2．

∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+2中，得x＝1+，

∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+ 代入y＝﹣（x﹣1）2+4 中，得y＝4﹣．

∴Q点的纵坐标为4﹣，

∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，

∴S△ACQ ＝S△AFQ +S△CFQ

＝FQ•AG+FQ•DG，

＝FQ（AG+DG），

＝FQ•AD，

＝×2（t﹣），

＝﹣（t﹣2）2+1，

∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

【点睛】

考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．

23、（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．

【解析】
（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解

析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值；

（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，1），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）设反比例函数的解析式为y=，

∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），

∴k=﹣4×（﹣3）=12，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），

∴y1==，y2==，

∵y1﹣y2=4，

∴﹣=4，

∴m=1，

经检验，m=1是原方程的解,

故m的值是1；

（2）设BD与x轴交于点E,

∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，

∴D（2m，），BD=﹣=，

∵三角形PBD的面积是8，

∴BD•PE=8，

∴••PE=8，

∴PE=4m，

∵E（2m，1），点P在x轴上，

∴点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．

24、证明见解析

【解析】
若要证明∠A=∠E，只需证明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠BDE，因此利用SAS问题得解.

【详解】

∵DE//BC

∴∠ABC=∠BDE

在△ABC与△EDB中

，

∴△ABC≌△EDB（SAS)

∴∠A=∠E