2023四川省蓉城名校联盟高三上学期入学联考试题数学（理）含解析

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2020级入学联考

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则（）．

A．1    B．2    C．    D．

2．已知集合，，且，则a＝（）．

A．0或   B．0或1   C．1或   D．0

3．若角的终边与单位圆的交点为，则（）．

A．    B．    C．    D．

4．设向量，，则“与同向”的充要条件是（）．

A．   B．   C．   D．

5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（）．

A．8    B．6    C．5    D．3

6．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）．

A．    B．    C．    D．3

7．将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（）．

A．90种    B．540种   C．1620种   D．3240种

8．折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（）．

A．     B．

B．C．    D．

9．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（）．

A．0    B．1    C．    D．3

10．的展开式中的常数项为（）．

A．240    B．   C．400    D．80

11．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知，，，球O的表面积为，下列说法正确的是（）．

A．

B．平面平面OBC

C．OB与平面ABC所成角的正弦值为

D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为

12．对于三个不等式：①；②；③（；）．其中正确不等式的个数为（）．

A．0    B．1    C．2    D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．四川省将于2022年秋季启动实施新高考综合改革，某校开展“新高考”动员大会，参会的有100名教师，1500名学生，1000名家长，为了解大家对推行“新高考”的认可程度，现采用分层抽样调查，抽取了一个容量为n的样本，其中教师与家长共抽取了55名，则n＝______．

14．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．

15．如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．

16．已知点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点P的轨迹长度为a；使直线平面的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”符号连接）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（12分）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．

（1）求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；

（2）若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．

19．（12分）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，点E为棱的中点，点M为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（12分）直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C，D两点．

（1）当时，求的大小；

（2）试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；

（3）分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）当时，已知，是两个不相等的正数且，求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．

（1）当时，求B，C两点的极坐标；

（2）当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2020级入学联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．解：，∴，故选D．

2．解：∵，∴或，∴或，

又由于集合元素的互异性，应舍去1，故选A．

3．解：，故选B．

4．解：，其中同向，反向，故选A．

5．解：∵，∴，由正弦定理得，故选C．

6．解：如图，由，，三点组成的平面区域为可行域，

表示可行域内过与原点的直线的斜率，最优解为点，

故的最大值为3，故选D．

7．解：第一步，医护人员的安排方案有种，

第二步，志愿者的安排方案有种，

∴不同的安排方案共有种，故选B．

8．解：如图，由弧长公式，得，在直角三角形中，

化简得，故选A．

9．解：∵定义在R上的偶函数满足，

∴关于，对称，∴是周期为4的函数，

∴，故选C．

10．解：第一步，关于的展开式，

根据二项式的展开式的应用：，

令，，得，

令，，得，

第二步，原式的常数项为，故选D．

11．解：如图，

图一      图二

由已知中，平面ABC（点为AC中点），，

A选项，如图二，，不成立；

B选项，如图二，假设面面垂直，过点C作OB垂线，则该垂线垂直平面OAB，不成立；

C选项，如图一，OB与平面ABC所成角为，得，成立；

D选项，如图二，，不成立．综上，故选C．

（另解：本题也可以B为原点建立空间直角坐标系计算平面法向量和直线的方向向量来计算验证．）

12．解：选项①：，故①正确；

选项②：，

，

或，故②正确；

选项③：，

由（时等号成立）得，

∴，故③正确，综上可知选D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．130

解：由，得，故填130．

14．1

解：由已知，得，解得，符合题意，

∴，故填1．

15．

解：设点，其中，

易知点，，且有，则，

，

当点P在第一象限时，，，

则，，且，

由基本不等式可得，

∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，

则，即，∴，故填．

16．

解：若点P到点A的距离为2，则点P的轨迹为球的表面与正方体交轨，

在平面ABCD内，P的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆弧，

由对称性知，这样的圆弧同样在平面内和平面内，故P的轨迹长度；

若平面，则点P的轨迹为过点A且平行于平面的平面与正方体交轨，

而平面平面，

所以点P的轨迹长度为三角形的周长（除掉A点，不影响周长），故，

若直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹为圆锥的侧面与正方体交轨，

在平面内，点P的轨迹为对角线（除掉A点，不影响）；

在平面内，点P的轨迹为对角线（除掉A点，不影响）；

在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，

故点P的轨迹长度为，

∵，∴，即．故填．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）

解：（1）∵，

可得，∴是公差为2的等差数列，

∴，．

（2），

∴，

∴

．

18．（12分）

解：（1），解得，

成绩不及格的频率为，

∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，

∵21％＞20％，

∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．

（2）法一：由（1）可知样本中成绩优秀有20人，其中男生5人，故女生15人，

记事件A＝“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生”，

则，

∴所求概率为．

法二：由（1）可知样本中成绩优秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，

记事件A＝“从优秀答卷中随机选取3份，其中至少有1份是男生”，

则“从优秀答卷中随机选取3份，全是女生”，

则，

∴，∴所求概率为．

19．（12分）

解：（1）法一：由已知在四棱柱中，侧棱底面ABCD，

得底面，∴， ①

又易求，，，

由勾股定理的逆定理得：，  ②

由①②，且，

∴平面，∴平面．

法二：如图，建立空间直角坐标系，

根据题意得，，，，，

∴，即，且，

而，∴，，

∴平面．

法三：∵，∴与确定一平面，

∵点E为棱的中点，点M为线段的中点，

∴平面与平面是同一平面，

易得，，

∴平面，即平面；

（2）同（1）法二，建立空间直角坐标系，

∵平面CAM与平面是同一平面，

∴平面CAM的法向量，

又，而，

可求得平面的法向量，

∴，

∴二面角的正弦值为．

20．（12分）

解：（1）设直线l的方程为，

联立，得，

设，，则，，

当时，，，

∵，∴，

∴．

（2）显然，当轴时，由对称性可知直线AD与直线BC交于原点，

下面证明当AB斜率存在时，AD，BC也恒交于原点，

由（1）知，，且此时，，

，，

∴，故O、A、D三点共线，

同理O、B、C三点共线，∴直线AD与直线BC交于原点，

综上，直线AD与直线BC的交点恒为原点．

（3）由（1）知，，

抛物线在A，B两点的切线方程分别为，，

两式相除消去y得，

解得，

∵，∴，

∴两条切线的交点的轨迹方程为．

21．（12分）

解：（1）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即．

（2）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递增，

当时，，∴在上单调递减，

根据题意不妨设，

①先证明，即证，

∵在上单调递增，∴只需证，

设，

则，

∵，，∴，，

∴，在上单调递减，

∴由得，

即得证，∴．

②再证明，

构造过函数的切线，

过与两点函数的割线，

不妨设，

设，，

∴，，

∴，∴单调递增，

∵得，单调递增，

∴得，

∴得．

设，，

由（当地取等），得，

则，

∴得，

∴得．

由得，得，

∴，

∴．综上得．

22．（10分）

解：（1）由题意知在中，，，

∴，∴点B的极坐标为，

在正方形OBCD中，，

∴点C的极坐标为．

（2）设，，且，

由题可知曲线M的极坐标方程为，

当时，O，B两点重合，不合题意，

∴点B的极坐标方程为，

将上式带入得点D的极坐标方程为．

（注：未说明范围不扣分）

23．（10分）

解：（1）∵函数，

∴当时，；

即，解得，∴；

当时，；

即，解得，∴无解；

当时，，

即，解得，∴．

综上，的解集为．

（2）由（1）得的最小值3，

原不等式有解等价于的最小值，

∴，

即，解得或，

∴实数a的取值范围为．