中考冲刺：观察、归纳型问题--巩固练习（基础）

中考冲刺：观察、归纳型问题—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是(    )

A．2       B．4       C．5       D．6

2．求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为(　　)

A．52 012－1     B．52 013－1       C.        D.

3. 如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

二、填空题

4．已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m=　     　．点C2012的坐标是　           　．

5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为　     　．

6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=___________.（用含n的式子表示）

三、解答题

7．观察下列等式：

……

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；

(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝______＝______(n为正整数)；

(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．

8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．

（1）将方程组1的解填入表中．

（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；

9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为…．

如果图①中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和．

10. 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：

⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？

⑵如果剪n次共有An个正方形，试用含n、An的等式表示这个规律；

⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？

⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？

⑸若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an；

⑹试猜想a1＋a2＋a3＋…＋an与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】6个，把边长为1的小正方形的对角线与3乘3网格中的中间正方形任意边重合（其中小正方形的对角线中点与3乘3网格中的中间正方形边上的中点重合），因为对角线的长为＞1，所以这时有6个正方形网格被覆盖.    

2.【答案】C；

【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.

因此，5S－S＝52 013－1，S＝.

3.【答案】A；

【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…，ADn=，

又APn=ADn，

故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，

故可得AP6=．

故选A．

二、填空题

4.【答案】2，（﹣22013，0）．

【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，

∴tan∠BOC==，

∴∠BOC=60°，

∴OC=2OB=2×1=2，

∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，

∴m=2，

∴OC1=2OC=2×2=4=22，

OC2=2OC1=2×4=8=23，

OC3=2OC2=2×8=16=24，

…，

OCn=2n+1，

∴OC2012=22013，

∵2012÷6=335…2，

∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣22013，0）．

故答案为：2，（﹣22013，0）．

5.【答案】45．

【解析】根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，

例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，

右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，

右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，

右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，

…

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，

∵452=2025，45是奇数，

∴第2025个点是（45，0），

第2012个点是（45，13），

所以，第2012个点的横坐标为45．

故答案为：45．

6.【答案】．

【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，

∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，

S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，

S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，

S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，

S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1× =，

∵BnCn∥B1C1，

∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，

∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，

即Sn： =，

∴Sn=．

故答案为：．

三、解答题

7．【答案与解析】

解：根据观察知，答案分别为：

8．【答案与解析】

显然该方程组不符合（2）中的规律．

9．【答案与解析】

   解：(1)67．

       (2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝个数，

其中23个负数，1个0，54个正数，

∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和

＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54

＝(1+2+3+…+23)+(1+2+3+…+54)

＝276+1485＝1761．

10．【答案与解析】

    解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；

⑵An＝3n＋1；

⑶若An＝22，则3n＋1＝22，∴n＝7，故需要剪7次；

⑷若An＝2004，则3n＋1＝2004，此方程无自然数解，

∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；

⑸an＝；

⑹a1＝＜1，a1＋a2＝＋＝＜1，a1＋a2＋a3＝＋＋＝＜1，……从而猜想到：

a1＋a2＋a3＋…＋an＜1.直观的几何意义如图所示.