第3章圆的基本性质-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）

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第3章圆的基本性质-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
一．选择题（共14小题）
1．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
2．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．130°
3．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　）

A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ）
C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）
4．（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四个点中，直线PB经过的点是（　　）

A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
5．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．130°
6．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）

A．m B．m C．m D．（+2）m
7．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（　　）

A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°
8．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π B．3π C．5π D．15π
9．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　）

A．π B．π+ C． D．2π
11．（2021•湖州）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
12．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
13．（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
14．（2020•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°
二．填空题（共8小题）
15．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　 　．

16．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为 　 　．
17．（2021•台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为 　 　．（结果保留π）

18．（2021•温州）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　 　．
19．（2020•浙江）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　 　cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为　 　cm．

20．（2020•宁波）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　 　cm（结果保留π）．

21．（2020•温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　．
22．（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　 　．

三．解答题（共3小题）
23．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

24．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
25．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．


第3章圆的基本性质-【浙教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（浙江）
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
【解答】解：如图，

该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π
＝（840+9π）m2．
故选：B．
2．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．130°
【解答】解：∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，
故选：B．
3．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　）

A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ）
C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）
【解答】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，

∵A′D⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，
在Rt△BOD中，
sinθ＝，cosθ＝
∴BD＝sinθ，OD＝cosθ，
∴BC＝2BD＝2sinθ，
A′D＝A′O+OD＝1+cosθ，
∴A′D•BC＝×2sinθ（1+cosθ）＝sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
4．（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四个点中，直线PB经过的点是（　　）

A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），

∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线PB的解析式为：y＝x+2，
当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，
∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，
当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y＝+2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝2+2，
∴M4（2，）不在直线PB上．
故选：B．
5．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．130°
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
6．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）

A．m B．m C．m D．（+2）m
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），
故选：C．

7．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（　　）

A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°
【解答】解：∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴4∠α+∠β＝180°，
故选：C．
8．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π B．3π C．5π D．15π
【解答】解：扇形面积＝，
故选：D．
9．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：连接OB、OC，如图，

∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
10．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　）

A．π B．π+ C． D．2π
【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''，
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，

作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故选：B．
11．（2021•湖州）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A＝∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
故选：C．
12．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
【解答】解：连接BE，

∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，
∴∠BOD＝2∠BED＝90°．
故选：D．
13．（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．

14．（2020•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
15．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　30°　．

【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
16．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为 　π　．
【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴它的弧长为：＝π，
故答案为：π．
17．（2021•台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为 　2π　．（结果保留π）

【解答】解：长度＝＝2π，
故答案为：2π．
18．（2021•温州）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　π　．
【解答】解：根据弧长公式可得：
l＝＝＝π．
故答案为：π．
19．（2020•浙江）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　16　cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为　　cm．

【解答】解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，
∵OE＝OF＝1cm，
∴EF＝2cm，
∴AB＝CD＝2cm，
∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6＝16（cm），
故答案为16．

（2）如图3中，连接EF交OC于H．

由题意CE＝CF＝×6＝（cm），
∵OE＝OF＝1cm，
∴CO垂直平分线段EF，
∵OC＝＝＝（cm），
∵•OE•EC＝•CO•EH，
∴EH＝＝（cm），
∴EF＝2EH＝（cm）
∵EF∥AB，
∴＝＝，
∴AB＝×＝（cm）．
故答案为．
20．（2020•宁波）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　18π　cm（结果保留π）．

【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
21．（2020•温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　π　．
【解答】解：根据弧长公式：l＝＝π，
故答案为：π．
22．（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　3　．

【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．

三．解答题（共3小题）
23．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝cos30°OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．
∴S阴影＝．

24．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【解答】解：如图：（1）线段AC即为所作，
（2）线段EF即为所作，
（3）四边形ABHG即为所作．

25．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．

【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴＝，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长＝××π×6＝π．