专题22.38 《二次函数》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题22.38 《二次函数》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题22.38 《二次函数》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．已知函数y=（m2+m）+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m ≠-1 C．m≠0，且m≠-1 D．m=-1
2．如图，函数y =-2x2 的图象是(　　)

A．① B．② C．③ D．④
3．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是(　　)
A．B．C． D．
4．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是(       )
A． B．
C． D．
5．已知函数和是关于x的函数，点在函数的图象上，点在函数的图象上，规定：当时，有，那么称函数和具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是（       ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．已知抛物线（）经过，，三点，若，且，则，，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（       ）
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）

30
18
1200＋0.02x2
250
A．250 B．300 C．200 D．550
10．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将△ABC向右平移，直到点B与点D重合为止，设点B平移的距离为x，BC＝2，CD＝4．两个三角形重合部分的面积为Y，现有一正方形FGHT的面积为S，已知＝sin60°，则S关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
11．如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________.
13．如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若 为直角，则a=_______

14．如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）．
（1）当的面积最大时，的大小为______ ．
（2）等边的边长为______ ．

15．已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为_______．
16．如图，等腰的三个顶点分别在等边的三条边上，，已知，则面积的最小值是___________．

17．已知抛物线经过点，且与轴交于，两点，若点为该抛物线的顶点，则当面积最小时，抛物线的解析式为______．
18．若二次函数（a，m，b均为常数，）的图像与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是____________．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．

20．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为__________．

21．如图，正方形的一个顶点与原点重合，与轴的正半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的长为______．

22．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2-a）和点B（0，-3a-5）在y轴上，点M在x轴负半轴上，S△ABM=6．当线段OM最长时，点M的坐标为______．

23．如图，在等边三角形中，是线段上一点，以为边在右侧作等边三角形，连结．
（1）若时， _________
（2）设，当的面积最大时，__________．

三、解答题
24．已知抛物线：与轴交于、两点与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，的顶点为，点为上的一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标．


25．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．



26．某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二   每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）




27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和B（点B在A的右侧），与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当时，求点P的坐标；
(3)连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
























参考答案
1．C
解：由y=（m2+m）+mx+4为二次函数，得m2+m≠0，解得m≠0，m≠-1，
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的概念，明确形如y=a+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，是解题关键.
2．C
解：根据二次函数解析式可知a=-2＜0，函数的图象开口向下，且经过原点，
当x=1时，y=-2，
因此可知其图象为③.，
故选：C.
【点拨】此题主要考查了二次函数y=ax2的图象与性质，解题关键是根据函数的系数a判断其方向，然后根据个别特殊点的坐标确定其位置.
3．A
【分析】
由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除D；根据A、C可知，k＜0，故选A.
解：由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；
根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D；
根据A、C可知，抛物线交y轴于负半轴，所以k＜0，故选A.
【点拨】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.
4．D
【分析】
由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(，y3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；(，y3)关于直线x=1的对称点是(，y3)，
∵-2<<0<1
∴y1＞y3＞y2，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
5．C
【分析】
将点代入函数，点代入函数，根据当时，有，可得一元二次方程，利用判断方程是否有解，即可求解．
解：将点代入可得：
将点代入可得：
∵
∴
∵
∴
∴，即
∵
∴方程无解，故A选项不符合题意
将点代入可得：
将点代入可得：
∵
∴
∵
∴
∴，即
∵
∴方程无解，故B选项不符合题意
将点代入可得：
将点代入可得：
∵
∴
∵
∴
∴，即
∵
∴方程有解，故C选项不符合题意
将点代入可得：
将点代入可得：
∵
∴
∵
∴
∴，即
∵
∴方程无解，故D选项不符合题意
故选C．
【点拨】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的．
6．C
【分析】
先求出抛物线的对称轴，再根据，可知抛物线对称轴为x=m，即M点是抛物线的顶点，再根据m＜1，结合和的横坐标，可知点P距离对称轴x=m更近，Q点距离对称轴x=m更远，再根据a＜0，抛物线开口朝下，即可判断．
解：由可知抛物线的对称轴为，
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为，即M点是抛物线的顶点，
∵m＜1，
∴，
∴可知点P距离对称轴x=m更近，点Q距离对称轴x=m更远，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴越接近对称轴的点其函数值越大，且此时函数有最大值，最大值为，
∴，
当m=-1时，即有，
∴综上有：，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线图像的特征与系数之间的关系、抛物线对称轴的性质，对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，理解这一点是解答本题的关键．
7．C
【分析】
根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可得，
，，，则，故①正确；
∵该函数的对称轴是 ，
∴，得 ，故②正确；
∵，，
∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则，故③正确；
∵该函数的对称轴是，过点（﹣3，0），
∴和时的函数值相等，都大于0，
∴，故④错误；
故正确是①②③，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
8．D
【分析】
①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论．
解：①∵抛物线图象开口朝上，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，
∴c<0，
，故①正确；
③经过，

又由①得c<0，，
，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等，
当时，即
，
即，
经过，即经过，故④正确；
⑤当时，，当时，，
，
函数有最小值，
，
∴，
∴，故⑤正确；
⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结已知条件得出结论是解题的关键．
9．D
【分析】
根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
解：根据题意，得

∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
10．A
【分析】
根据题意由＝sin60°，得：S＝，分段讨论函数图象，根据等边三角形的性质求得，进而根据二次函数图象的性质求解即可
解：由＝sin60°，得：S＝
①当0≤x≤2时，
则两个三角形重合部分为边长为x的正三角形，
则Y＝x2，
故S＝＝×x2＝x2，
则该函数为开口向上的抛物线，当x＝2时，S＝x2＝2；
②当2＜x＜4时，
此时则两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，
故S＝2；
③当4≤x≤6时，
同理可得：S＝（6﹣x）2，
则该函数为开口向上的抛物线，
当x＝4时，S＝（6﹣x）2＝2，当x＝6时，S＝0；
故选：A．
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质和特殊角的三角函数值，根据题意分三段列出函数解析式是解题的关键．
11．B
【分析】
依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可
解：①从图像观察，开口朝上，所以，
对称轴在轴右侧，所以，
图像与轴交点在x轴下方，所以
，所以①不正确；
②点和点，与轴的负半轴交于点，且
设代入,得：

，所以②正确；
③，
设抛物线解析式为：过
，所以③正确；
④如图：设交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，

根据抛物线的对称性， 是等腰直角三角形，
，
，
又对称轴

由顶点坐标公式可知

由题意，解得 或者
由①知，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．
12．
【分析】
将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围.
解：将点代入，
得36a+k=2，
∴，
当时，当时得，
解得，
∴，
故填.
【点拨】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点代入，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a用含k的代数式表示，解不等式组即可求解.
13．
【分析】
直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），利用二次函数的性质得到C（0，1），再证明△ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B（4，-3），然后把B点坐标代入y=ax2+1即可得到a的值．
解：直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），
∵C（0，1），
∴CD=4，
∵AB过点（0，-3）且平行于x轴，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=4，
∴B（4，-3），
把B（4，-3）代入y=ax2+1得16a+1=-3，解得a=-．
故答案为-．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
14．         
【分析】
（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数；
（2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长．
解：过F作，交BC的延长线于D，如图：

为等边三角形，为等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，
，，
，
设等边边长是a，则，
，
当时，有最大值为，
(1)当的面积最大时，，即E是BC的中点，
，，
，
，
故答案为：；
（2）当时，有最大值为，
由图可知最大值是，
，解得或边长，舍去，
等边的边长为，
故答案为：．
【点拨】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积．
15．或7##7或-1
【分析】
对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可．
解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值，
所以，解得，（舍）；
当时，二次函数在x=m时取得最小值，
∴所以，该方程无解；
当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值，
所以，解得，（舍）；
故答案为：或7．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用．
16．
【分析】
过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，则，设，用x、y表示出AB的长度即可得到x、y的关系式，最后根据求最值即可．
解：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，设，

∵等腰
∴（AAS）
∴
∵等边
∴
∴
∵
∴
即
整理得
∴
∴
∴当时，最小．
故答案为：．
【点拨】本题综合考查全等三角形中的一线三垂直模型、等边三角形的性质、二次函数最值，利用二次函数来求最值是解题的关键．
17．y=x2-4x+3
【分析】
A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根据顶点坐标公式得P（），故有，将点（2，-1）代入解析式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5转化为关于m的二次函数，求面积最小时m、n的值．
解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+mx+n上，
∴a+b=-m，ab=n，
又
∵n=-2m-5，
∴
∴，P点纵坐标为，
∴，
所以，当m=-4时，S△PAB最小，此时，
此时，该抛物线解析式为y=x2-4x+3．
故答案是：y=x2-4x+3
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路．
18．，
【分析】
根据抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），得出方程a（x+m）2+b=0的解，然后根据方程a（x+m）2+b=0的解与a（x+m+2）2+b=0的解的关系得出答案即可．
解：∵抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），
∴方程a（x+m）2+b=0的解为x1=-2，x2=1，
∴方程a（x+m+2）2+b=0中，x+2=-2或x+2=1，
∴方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为：x1=-4，x2=-1．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的关系是解题的关键．
19．（2，0）
【分析】
根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．##1.5
【分析】
设，则，过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，证明四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，从而得到，由此利用二次函数的性质求解即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE=90°，
设，则，
过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，
∴∠EQP=90°，
∴四边形EQPF是矩形，
∴EC=EF=PQ，

∴
，
，
当时，面积的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．
【分析】
连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD＝OB，设OD=x，再利用勾股定理列式求出BD，从而表示点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BOC＝45°，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB，设OD=x，
∴，
∴点B的坐标为（，x），
∵点B在抛物线y＝x2的图象上，
∴（）2＝x，
解得x＝1．
∴OB=2,设AO=AB=a，
2a2=4，
∵a>0，解得a=，
故答案为：．

【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后表示点B的坐标是解题的关键．
22．（-3，0）
【分析】
根据A、B点坐标求出AB的长，然后根据三角形面积公式求解出S△ABM的高即OM的长，然后确定AB的最小值时对应的OM长即可确定M点坐标．
解：由题意得：
∵
∴，即
∴当OM最长，即AB最小时对应的OM即为所求
令
∵
∴当时，t取得最小值为4,
∴OM=3
∴M点坐标为
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，利用二次函数的性质进行求解是本题的关键．
23．     4.     3.
【分析】
（1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）作于F，先求出∠CEF=30°，然后用a表示出DC、EF，再用面积公式表示出面积，最后用二次函数的性质即可求解.
解：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB；
∵,
∴DB=6-2=4，
∴CE =4；
故答案是：4.
（2）如图，作于F，

∵，
∴CE =a，DC=6- a，
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABC=60°．
∴∠FCE=180°-60°-60°=60°，
在Rt△ECF中，∠CEF=30°，
∴CF = CE = a，
∴EF=，
∴= ，
∴当a=3时，最大为.
故答案是：3.
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质．发现全等三角形是解决问题的关键．
24．(1)(2)，
【分析】
（1）利用待定系数法解得即可；
（2）先确定抛物线的顶点，由于抛物线和抛物线关于原点对称，确定出抛物线的解析式，设，过点作轴交于点，由，得到直线的表达式为，进而求出用表示出点坐标和的长，
再根据的面积等于的面积得到关于的方程，最后求出的值得解．
解：(1)∵与轴交于、，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为．
(2)∵，
∴．
∴．
：．
∴．
∵与关于原点对称，
∴，
∴．
设，
过点作轴交于点，
由，得到直线的表达式为．
∴．
∴．
∴，即，
解得，．
∴，．

【点拨】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解本题的关键．
25．(1)(2)（-1，-3）(3)或(4)或
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
(1)解：∵抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B，
∴，
∴；
(2)解：由（1）得抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
(3)解：由题意得不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
(4)解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时，当P在A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点，或．

【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
26．(1)500(2)30亩；4500元(3)
【分析】
（1）依据出租方式进行列式计算即可；
（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得到关系式，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围．
解：(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：
（元）
故答案为：500；
(2)设出租亩土地，则方式一的每亩年租金为：，
∴方式一的年总租金为：
方式二的年租金为
设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，



∵
∴当时，y有最大值为4500
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
(3)设出租亩土地，方式一的年收入为：方式二的年收入为：；
设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，


所以，对称轴为直线
∵
∴对称轴直线
∵
∴当时，w取得最小值


租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则
即：
解得，，
∵
∴a的取值范围为：
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式．
27．(1)(2)(3)
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得，求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程即可求解；
（3）在线段上，取,作关于轴的对称点,连接，连接交轴于点，证明，进而根据轴对称图形的性质求得，当且仅当共线时取得最小值，即点在直线上，待定系数法求解析式，进而即可求解．
解：(1)将，，代入，得



(2)
，


设直线的解析式为



联立
解得或


(3)如图，根据题意，可知点在点左侧，
在线段上，取,作关于轴的对称点,连接，连接交轴于点，

，令，解得
则，

是等腰直角三角形，






当且仅当共线时取得最小值，即点在直线上，
，


则
设直线的解析式为，

解得
直线的解析式为
令，解得

【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．