专题22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题22.1.6  二次函数与一元二次方程（知识解读2）

【直击考点】

【学习目标】

1. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
2. 经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．

【知识点梳理】

考点  抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

【典例分析】

【考点1  取值范围】

【例1】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是（　　） 

A．-1<x<3 B．x<-1

C．x>3 D．x<-1或 x>3

【变式1-1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（　　） 

A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1

【变式1-2】（2021九上·开平月考）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1

C．x＞﹣3 D．x＜1

【变式1-3】（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）  

A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1

C．x＞﹣3 D．x＜1

【考点2 二次函数综合】

【例2】己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）请直接写出点A、点B的坐标．

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．

（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

【变式2-1】（2021·江北模拟）如图，已知二次函数 的图象经过点 与点 ，且与 轴交于点 、 . 

（1）求该二次函数的表达式，以及与 轴的交点坐标. 

（2）若点 在该二次函数图象上， 

①求 的最小值；

②若点 到 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出 的取值范围.

【变式2-2】（2020九上·阜阳期末）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ． 

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若点 是抛物线上第一象限内的一动点，设点 的横坐标为 ，连接 ，当 的面积等于 面积的2倍时，求 的值． 

【变式2-3】（2021九上·贵阳期末）如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．

专题22.1.6  二次函数与一元二次方程（知识解读2）

【直击考点】

【学习目标】

3. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
4. 经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．

【知识点梳理】

考点  抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

【典例分析】

【考点1  取值范围】

【例1】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是（　　） 

A．-1<x<3 B．x<-1

C．x>3 D．x<-1或 x>3

【答案】A

【解答】解：∵二次函数y= x2－2x－3的图象如图所示．

∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），

∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1＜x＜3．

故答案为：A．

【变式1-1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（　　） 

A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1

【答案】B

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（-3，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

∴当-3＜x＜1时，y＞0.

故答案为：B.

【变式1-2】（2021九上·开平月考）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1

C．x＞﹣3 D．x＜1

【答案】B

【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），

∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，

故答案为：B．

【变式1-3】（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）  

A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1

C．x＞﹣3 D．x＜1

【答案】B

【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），

∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，

故答案为：B.

【考点2 二次函数综合】

【例2】己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）请直接写出点A、点B的坐标．

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．

（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0） （2）对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）（3）m=2时，S最大

【解答】解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；

（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得

，

解得，

∴y=﹣x2+2x+6，

∵y=﹣（x﹣2）2+8，

∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；

（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则

，

解得，

∴y=x+2，当x=2时，y=4，

即P（2，4）；

（4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，

∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，

∴=（）2=（）2，

即S△BDQ=（m﹣6）2，

又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，

∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6，

∴当m=2时，S最大．

【变式2-1】（2021·江北模拟）如图，已知二次函数 的图象经过点 与点 ，且与 轴交于点 、 . 

（1）求该二次函数的表达式，以及与 轴的交点坐标. 

（2）若点 在该二次函数图象上， 

①求 的最小值；

②若点 到 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出 的取值范围.

【答案】（1）； 、 （2） 的最小值为 ； 或 .

【解答】（1）解：将点 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ， 

故抛物线的表达式为 ，

令 ，解得 或 ，

故抛物线与 轴的交点坐标为 、 ；

（2）解：① ， 

故 的最小值为 ；

②令 ，解得x=0、 或 ，

故 的取值范围的 或 .

【变式2-2】（2020九上·阜阳期末）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ． 

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若点 是抛物线上第一象限内的一动点，设点 的横坐标为 ，连接 ，当 的面积等于 面积的2倍时，求 的值． 

【答案】（1） （2） 的值为1或2.

【解答】（1）解：把 代入 中， 

得 ，

解得

∴抛物线的表达式为 ；

（2）解：过点 作 轴平行线交 于点 ， 

把 代入 中，

得 ，

∴ ，

又∵ ，

∴直线 的表达式为 ．

∵ ，

∴ ，

∴ ．

由 得：

，

∴ ，

整理得 ，

解得 ，

∵ ，

∴ 的值为1或2.

【变式2-3】（2021九上·贵阳期末）如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．

【答案】(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.

【解答】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=PD×OA=PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．

(1)解：设y=0，则0=﹣x2﹣x+4

∴x1=﹣4，x2=2

∴A（﹣4，0），B（2，0）

(2)作PD⊥AO交AC于D

设AC解析式y=kx+b

∴

解得：

∴ AC解析式为y=x+4.

设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）

∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2

∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4

∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.