专题4.2.3 相似三角形的性质（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版）

专题4.2.3 相似三角形的性质（能力提升）（解析版）

一、选择题。

1．（2022•泗阳县一模）两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（　　）

A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定

【答案】C 。

【解答】解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，

∴其相似比为3：2，

∴其面积比为9：4．

故选：C．

2．（2022•灞桥区校级四模）如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】D。

【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，

∴D是AB的中点，E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴＝＝，

故选：D．

3．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）

A．2 B． C． D．4

【答案】B。

【解答】解：∵△ABC∽△BDC，

∴＝，

∵AC＝4，CD＝2，

∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，

∴BC＝2．

故选：B．

4．（2021春•永嘉县校级期中）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D。

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为，

∴△ABC与△DEF的相似比为，

∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为，

故选：D．

5．（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）

A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2

【答案】B。

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵DE：EC＝3：1，

∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，

∵DE∥AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴＝＝，

∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．

故选：B．

6．（2021秋•闵行区校级期中）如果两个相似三角形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：81

【答案】C。

【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比1：9，

∴两个相似三角形的相似比为1：9，

∴它们的对应中线之比是1：9，

故选：C．

7．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（　　）

A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）

【答案】B。

【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．

A．当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；

B．当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；

C．当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；

D．当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC≠CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．

故选：B．

8．（2021秋•高邑县期中）如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（　　）

A．35° B．45° C．65° D．80°

【答案】C。

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，

∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，

∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．

故选：C．

9．（2021春•肇源县期末）已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若＝，B1D1＝4，则BD的长是（　　）

A． B． C．6 D．8

【答案】C。

【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，

∴，

∴，

∴BD＝6，

故选：C．

10．（2021秋•上城区校级期中）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】B。

【解答】解：∵△ABC∽△EDF，

∴∠BAC＝∠DEF＝135°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，

故选：B．

二、填空题。

11．（2021春•定陶区期末）如图，△ADE∽△ABC，AD＝3，AE＝4，BE＝5，CA的长为　12　．

【答案】12。

【解答】解：∵△ADE∽△ABC，

∴＝，

∵AD＝3，AE＝4，BE＝5，

∴＝，

解得：AC＝12．

故答案为：12．

12．（2021•江华县一模）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是　36　．

【答案】36。

【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，

∴相似比是：＝，

∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，

∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，

故答案为：36．

13．（2021•蒙城县校级模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，

（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝　1或　；

（2）四边形PCDQ面积的最大值为　　．

【答案】1或；。

【解答】解：（1）设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，

∵∠A＝∠B＝60°，

∴，当△ADQ∽△BPC时，＝，

即＝，解得x＝1或，

∴当△ADQ∽△BPC时，AQ＝1或，

故答案为：1或；

（2）设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，

∵x的最大值为3﹣＝，

∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，

故答案为：．

14．（2021•海东市模拟）如图，△ABC∽△ACD，∠ACB＝∠D＝90°，AB∥CD，AC2＝　AB•DC　．

【答案】AB•DC。

【解答】解：∵∠ACB＝∠D＝90°，且△ABC∽△ACD，

∴，

即AC2＝AB•DC，

故答案为：AB•DC．

15．（2021秋•江阴市校级月考）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，则第三边长为　　．

【答案】。

【解答】解：设△DEF的第三边长为x，

∵△ABC∽△DEF，

且△ABC的三边长分别为，，2，△DEF的其中的两边长分别为1和，

∴，

∴x＝，

即：△DEF的第三边长为．

16．（2022春•松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为 　：2　．

【答案】：2。

【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，

∴相似比是：2，

∵相似三角形的周长比等于相似比，

∴这两个三角形的周长之比为：：2，

故答案为：：2．

17．（2021秋•巨野县期中）已知两个直角三角形的三边长为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为 　5+2或10+　．

【答案】5+2或10+。

【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似；

当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似；

当3，4为直角边时，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：n＝＝2，

故m+n＝5+2；

当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：m＝＝，

故m+n＝10+；

综上所述：m+n的值为5+2或10+，

故答案为：5+2或10+．

18．（2021秋•温江区校级期中）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　．

【答案】3秒或4.8秒。

【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，

则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．

①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．

∴AD：AB＝AE：AC，

∴t：6＝（12﹣2t）：12，

∴t＝3；

②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．

∴AD：AC＝AE：AB，

∴t：12＝（12﹣2t）：6，

∴t＝4.8．

故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．

三、解答题。

19．（2021秋•霍邱县期中）如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．

【解答】解：连接AB、BD、AD、AC，

∵AB＝＝，AC＝＝，BC＝4，CD＝2，BD＝＝2，AD＝＝5，

∴，，，

∴，

∴△ABD∽△DCB，相似比．

20．（2021秋•泗县期中）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．

【解答】解：∵△ADE∽△ABC，

∴＝，

∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，

∴＝，

∴AC＝8，

∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．

21．（2021•市中区校级开学）如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°．

求：（1）∠AED和∠ADE的度数；

（2）DE的长．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，

∴∠ABC＝95°，

∵△ABC∽△ADE，

∴∠AED＝∠ACB＝40°，

∠ADE＝∠ABC＝95°；

（2）∵△ABC∽△ADE，

∴＝＝＝，

又∵BC＝70cm，

∴DE＝43.75cm．

22．（2021秋•秦都区月考）已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm2，求小三角形的面积．

【解答】解：设小三角形的面积为S，

∵两相似三角形对应角平分线的比为3：10，

∴两相似三角形的相似比为3：10，

∴，

∴S＝36，

即小三角形的面积为36cm2；

23．（2022•沈阳模拟）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．

（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；

（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．

【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，

∴∠B＝∠BCD，

∴AB∥CD，

即AB∥CG，

∵CD＝2AB，CG＝CD，

∴AB＝CG，

∴四边形ABCG是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，

∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，

∵∠GAD＝90°，

∴∠AEB＝90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得：

BE＝，

即BE＝＝，

∵△AEB∽△DEC，

∴＝＝，

∴CE＝2，

∴BC＝BE+CE＝3，

∴AG＝BC＝3．

24．（2021•盐都区二模）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP．

（1）求证：BP＝MN；

（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM＝MC．

【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，

在△ABM和△BCP中，

，

∴△ABM≌△BCP（SAS），

∴AM＝BP，

∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，

∴AM＝MN，

∴BP＝MN；

（2）解：∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠AMB+∠CMQ＝90°，

∴∠BAM＝∠CMQ，

又∵∠ABM＝∠C＝90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴，

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴，

∴，

∴BM＝MC．

25．（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．

（1）求∠ADC度数；

（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．

【解答】解：（1）∵△CBD∽△ACD，

∴∠CDB＝∠ADC，

∵∠CDB+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝90°．

（2）如图，

∵△CBD∽△ACD，

∴∠ACD＝∠B，

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝2（负根已经舍弃），

∴CD＝＝＝2．

26．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．

（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；

（2）若AP＝，求BE；

（3）若△PFD∽△BFP，求．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形．

∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，

∴∠ADP+∠APD＝90°，

∵∠DPE＝90°，

∴∠APD+∠FPB＝90°，

∴∠ADP＝∠FPB＝32°；

（2）过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP＝∠A＝90°，

又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，

∴△PAD≌△EQP（AAS），

∴EQ＝AP，AD＝AB＝PQ，

∴AP＝EQ＝BQ＝，

∴BE＝；

（3）∵△PFD∽△BFP，

∴＝，

∵∠A＝∠PBC，∠ADP＝∠FPB，

∴△APD∽△BFP，

∴＝，

∴AP＝BP，

∴＝．