2022年湖北省黄石市中考数学试卷（Word解析版）

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2022年湖北省黄石市中考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆
C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆

3. 由个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 函数的自变量的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D. 且

6. 我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这位同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

7. 如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，图中圆内接正六边形的周长，则再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：
    ；若为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中，正确结论的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 分解因式：______．
13. 据新华社年月日报道，年全年新增减税降费约万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复．用科学记数法表示万亿元，可以表示为______元．
14. 如图，圆中扇子对应的圆心角与剩余圆心角的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取，则的度数是______．

15. 已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是______．
16. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______
    参考数据：，结果按四舍五入保留一位小数

17. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点和点，点、在轴上，的面积为，则______．

18. 如图，等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______，的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值．
20. 本小题分
    如图，在和中，，，，且点在线段上，连．
    求证：≌；
    若，求的度数．

21. 本小题分
    某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：

请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
本次调查一共随机抽取了______名学生；表中______，______，______；
求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
样本数据中优秀等级学生有人，其中仅有名男生．现从中任选派名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选名同学中有男生的概率．

22. 本小题分
    阅读材料，解答问题：
    材料
    为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
    材料
    已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
    根据上述材料，解决以下问题：
    直接应用：
    方程的解为______；
    间接应用：
    已知实数，满足：，且，求的值；
    拓展应用：
    已知实数，满足：，且，求的值．
23. 本小题分
    某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数单位：人与时间单位：分钟的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：，数据如表．

求，，的值；
如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有个，每个检测点每分钟检测人，求排队人数的最大值排队人数累计人数已检测人数；
在的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

24. 本小题分
    如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
    求证：直线是的切线；
    若，求的值；
    在的条件下，作的平分线交于，交于，连、，若，求的值．

25. 本小题分
    如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
    ，，三点的坐标为______，______，______．
    连接，交线段于点，
    当与轴平行时，求的值；
    当与轴不平行时，求的最大值；
    连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是；
故选：．
直接利用绝对值的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B.原式，故B不符合题意
C.原式，故C不符合题意
D.原式，故D符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数的自变量的取值范围是：
，且，
解得：且．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，要判断是否进入前名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的大小．
故选：．
参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
正方形的边长为，
，，，
，
将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置，
在轴正半轴上，且，
点的坐标为，
故选：．
连接，由正方形的性质和勾股定理得，再由旋转的性质得在轴正半轴上，且，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，即，
的周长．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换得到，然后计算的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：在正十二边形中，，
，
，，
，
，
故选：．
利用圆内接正十二边形的性质求出，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．
本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以正确；
时，有最小值，
为任意实数，
即，所以正确；
图象经过点时，得的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，
即，，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对进行判断；利用二次函数当时有最小值可对进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、有理数的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：万亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得，
，
故答案为：．
根据已知，列出关于，的方程组，可解得，的度数，即可求出答案．
本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为和已知，列出方程组．
 

15.【答案】且 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且且，
且，
的取值范围是且，
故答案为：且．
先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为．
本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点．

则，，，，
设，
在中，，
解得，
则，
在中，，
解得，
．
故答案为：．
设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点设，在中，，解得，则，在中，，解得，根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

设点，，
点是矩形的对角线的交点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
的面积为，
，
，
故答案为：．
先设点，，进而得出点的坐标，再由点在反比例函数图象上，得出，最后由的面积为，建立方程求出的值．
此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出是解本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，

是等边三角形，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
作点关于的对称点，连接，，，交于点，连接，此时的值最小，最小值线段的长．
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：，．
首先证明≌，推出，作点关于的对称点，连接，，，交于点，连接，此时的值最小，最小值线段的长．
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
故，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
． 

【解析】可利用证明结论；
由全等三角形的性质可得，利用等腰直角三角形的性质可求得，再根据三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求可求解
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：本次抽取的学生共有：名，
，，，
故答案为：，，，；
所抽查学生阅读量为本的学生最多，有名，
所抽查学生阅读量的众数为，
平均数为：；
画树状图如下：

共有种情况，其中所选名同学中有男生的有种结果，
所选名同学中有男生的概率为．
由一般的频数和频率，求本次调查的总人数，然后即可计算出、、的值；
由众数和平均数的定义即可得出答案；
画树状图，共有种情况，其中所选名同学中有男生的有种结果，再由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、众数、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】，，， 

【解析】解：令，则有，
，
，，
或，
，，，；
故答案为：，，，；

，
或，
当时，令，．
，则，，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
此时．
当时，，此时，
综上所述，或．
令，，则，，
，
，即，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
故．
利用换元法降次解决问题；
模仿例题解决问题即可；
令，，则，，再模仿例题解决问题．
本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
 

23.【答案】解：由题意，，
解得，；

设第分钟时的排队人数为，
根据题意得：，
，
当时，
，
当时，，
当时，，
，
随的增大而减小，
，
故排队人数最多时有人；

设从一开始就应该至少增加个检测点，根据题意得：
 ，
解得：，
为整数，
，
答：从一开始就应该至少增加个检测点． 

【解析】根据题意列方程，解方程即可得到答案；
根据排队人数累计人数已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
设从一开始就应该增加个检测点，根据不等关系“要在分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于的一元一次不等式，结合为整数可得到结果．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出与之间的函数关系式是本题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
 在中，
，
，
；
解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论；
先得出∽，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果；
由的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出∽，最后根据得出结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：令，则，
；
令，则，
或，
，．
故答案为：；；．
轴，，
，
，，
轴，
．
如图，过点作交于点，

直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
则，．
，
，
，
当时，的最大值为．
另解：分别过点，作轴的平行线，交直线于两点，仿照以上解法即可求解．
假设存在点使得，即．
过点作轴交抛物线于点，

，，
，
延长交轴于点，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
直线的解析式为：，
令，
解得或舍，
存在点满足题意，此时．
令，则，令，则，所以或，由此可得结论；
由题意可知，，所以，，由平行线分线段成比例可知，．
过点作交于点，所以直线的解析式为：设点的横坐标为，则，所以，因为，所以，由二次函数的性质可得结论；
假设存在点使得，即过点作轴交抛物线于点，由，可知平分，延长交轴于点，易证为等腰三角形，所以，所以直线的解析式为：，令，可得结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点的坐标．