2023南通海安高三上学期期初学业质量监测数学试题含答案
展开2023届高三期初学业质量监测试卷
数 学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共6页，满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卷交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上.
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.
4. 作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位，若，则实数的值为（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
2. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3. 已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本） | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数（单位：人） | 5 | 8 | 13 | 11 | 9 | 4 |
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）
A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 10
【答案】C
5. 设函数，，则函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
7. 已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】A
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在正方体中，已知为棱的中点，上底面的中心，下列图形中，的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 的准线方程为
B. 直线与相切
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的周长的最小值为11
【答案】BCD
11. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ）
A. B. 一等奖与三等奖的作品数之比为
C. D.
【答案】ABD
12. 设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 的解析式唯一
C. 若是周期为的函数，则
D. 若时，，则是上的增函数
【答案】ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在边长为6的等边三角形中，若，则_________.
【答案】
14. 已知，，则_________.
【答案】
15. 在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为_________.
【答案】
16. 已知函数的零点为、、，且，则的最小值是_________.
【答案】##
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记内角A，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求角的取值范围.
【答案】（1）
（2）
18. 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
（1）若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
（2）当为何值时，概率最大？并说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，
（2）
19. 已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）（i）求证：；
（ii）求所有满足的正整数，.
【答案】（1），；
（2）（i）证明见解析；（ii）或.
20. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，，且，，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
21. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
22. 已知函数.
（1）求证：函数存在唯一的极大值点；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
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