初中数学8下2017-2018学年江西省上饶市余干县沙港中学八年级（上）期末数学试卷含答案含答案

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2017-2018学年江西省上饶市余干县沙港中学八年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（本题共18分，每小题3分）
1．下列运算中正确的是（　　）
A．a2•a3=a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a5+a5=2a10
　
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
　
3．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
　
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．72° B．60° C．50° D．58°
　
5．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
　
6．如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC=（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
　
　
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
7．因式分解：3x2﹣6x+3=　　　　　　．
　
8．计算：a2b2÷（）2=　　　　　　．
　
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=　　　　　　．

　
10．使分式有意义的x的取值范围是　　　　　　．
　
11．若分式的值为0，则x的值为　　　　　　．[来源:学科网]
　
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　　　　　　．
　
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有　　　　　　个．
　
14．中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第n个数据是　　　　　　．
　
　
三、解答题（本题共24分，每小题6分）
15．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
　
16．已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．
　
17．先化简，（﹣x+1）÷，再选一个你喜欢的数代入求值．
　
18．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

　
　
四、解答题（本题共32分，每小题8分）
19．解方程：
（1）+=
（2）﹣=．
　
20．△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．

　
21．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为并证明．

　
22．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC=180°，求证：①DC=BC； ②AD+AB=AC．

　
23．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．

　
24．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
　
　

2017-2018学年江西省上饶市余干县沙港中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共18分，每小题3分）
1．下列运算中正确的是（　　）
A．a2•a3=a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a5+a5=2a10
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据合并同类项，可判断D．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A正确；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母部分不变，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
　
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】利用分式的基本性质化简各项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、﹣=，本选项错误；
B、﹣=，本选项错误；
C、=，本选项错误；
D、﹣=，本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
　
3．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1）．
故选A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
　
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．72° B．60° C．50° D．58°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由全等三角形是性质得到∠1=∠2=58°．
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1=∠2=58°．
故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．
　
5．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
（1）当4是底边时，4+4=8，不能构成三角形；
（2）当8是底边时，不难验证，可以构成三角形，周长=8+4+4=20．
故选C．
【点评】本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键．
　
6．如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC=（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】要求BC，因为BC=BD+CD，且BD=2CD，所以求CD即可，求证△ADE≌△ADC即可得：CD=DE，可得BC=BD+DE．
【解答】解：∵在△ADE和△ADC中，
，∴△ADE≌△ADC，
∴CD=DE，∵BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3DE=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，解本题的关键是求证△ADE≌△ADC，即CD=DE．
　
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
7．因式分解：3x2﹣6x+3=　3（x﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6x+3，
=3（x2﹣2x+1），
=3（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
　
8．计算：a2b2÷（）2=　a4　．
【考点】分式的乘除法．
【分析】首先计算乘方，然后把除法转化为乘法，进行约分即可．
【解答】解：原式=a2b2÷
=a2b2•
=a4．
故答案是：a4．
【点评】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
　
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=　6　．

【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】先作辅助线，然后利用垂直平分线的性质求出AD=BD，最后解直角三角形计算．
【解答】解：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DBA=∠A=30°
∴∠CBD=30°
∴BD=2CD=4
∴AC=CD+AD=CD+BD=2+4=6．
答案6．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质．
　
10．使分式有意义的x的取值范围是　x≠3　．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．[来源:学*科*网]
　
11．若分式的值为0，则x的值为　﹣1　．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x2﹣1=0且x﹣1≠0，
解得x=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
　
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　60°或120°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；
当高在三角形外部时，顶角是60°．
故答案为：60°或120°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
　
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有　4　个．
【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质．[来源:Zxxk.Com]
【分析】要使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，则点P即为OA的垂直平分线和x轴的交点；当OA是腰时，则点P即为分别以O、A为圆心，以OA为半径的圆和x轴的交点（点O除外）．
【解答】解：当OA当底边时，则点P（2，0）；
当OA当腰时，则点P（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．
故答案为：4．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形的性质，注意分情况考虑．
　
14．中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第n个数据是　　．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
【专题】规律型；猜想归纳；实数．
【分析】由前四个数可知，分子是序数与2和的平方，分母比分子小4，可得第n个数据．
【解答】解：∵第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
第4个数：；
…
∴第n个数据是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的切入点在分子这一平方数，据此容易得到第n个数据．
　
三、解答题（本题共24分，每小题6分）
15．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，即x2﹣4x=1，
∴原式=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2=3x2﹣12x+9=3（　　）+9=12．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．[来源:学科网]
　
16．已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，
∴（x+3）2+（y﹣2）2=0，
∴x+3=0，y﹣2=0，
∴x=﹣3，y=2，
∴（xy）﹣2=（﹣3×2）﹣2=．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　
17．先化简，（﹣x+1）÷，再选一个你喜欢的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】根据分式的混合运算法则化简即可，取值时使得分式有意义．
【解答】解：原式==•=，
当x=0时，原式=1．
【点评】本题考查分式的混合运算法则，熟练掌握法则是正确解题的关键，注意取值时使得分式有意义．
　
18．如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
【解答】证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．
　
四、解答题（本题共32分，每小题8分）
19．解方程：
（1）+=
（2）﹣=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：4+3x+9=7，
移项合并得：3x=﹣6，
解得：x=﹣2，[来源:学科网]
经检验x=﹣2是分式方程的解；
（2）去分母得：x﹣3+2x+6=12，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
20．△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，利用角角边定理可证此题，
【解答】证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠ABC=∠ACB，BD=DC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
　
21．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】在AE上取一点F，使AF=AB，即可得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论．
【解答】解：AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE．

【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
　
22．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC=180°，求证：①DC=BC； ②AD+AB=AC．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】①在AN上截取AE=AC，连接CE，先证明△ACE是等边三角形，得出∠AEC=60°，AC=EC=AE，再证明△ADC≌△EBC，得出DC=BC即可；
②由全等三角形的性质得出AD=BE，即可得出结论．
【解答】证明：①在AN上截取AE=AC，连接CE，如图所示：
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AC=EC=AE，
又∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴DC=BC，AD=BE；
②由①得：AD=BE，
∴AB+AD=AB+BE=AE，
∴AB+AD=AC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质；通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
　
23．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，证出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE；
（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，证出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
　
24．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×15+=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．

（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）=225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．