2021-2022学年湘鄂冀三省七校高一下学期期末联考数学试卷含解析

2021~2022年度湘鄂冀三省七校春季学期期末联考

高一数学试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 的值为（    ）

A. 1 B. －1 C.  D.

【答案】B

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

【答案】C

3. 年月日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为、、…、的号码中选取个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，则第个被选中的号码为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

4. 已知，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】A

5. 2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 学生评分的中位数的估计值为85

C. 学生评分的众数的估计值为85

D. 若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过80分的学生人数为1200

【答案】C

6. 投掷一枚骰子10次，并记录骰子向上的点数.下列选项的统计结果中，可以判断一定没有出现点数6的是（    ）

A. 平均数为2，方差为1.4 B. 中位数为4，众数为3

C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为4，方差为3.2

【答案】A

7. 已知，且，则的最小值是（    ）

A. 6 B. 8 C. 14 D. 16

【答案】A

8. 已知函数若关于x方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

二､多选题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9. 已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】AD

10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，，则角A的可能取值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

11. 某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如图，已知退休前工资收入为6000元/月，退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元，则下面结论中正确的是（　    ）

A. 黄师傅退休后储蓄支出900元/月

B. 黄师傅退休工资收入为5000元/月

C. 黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化

D. 黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多50元/月

【答案】BD

12. 如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（    ）

A.

B. EF和BC所成的角是60°

C. 直线AC和平面ABE所成的角是30°

D. 如果平面平面，那么直线直线.

【答案】BCD

三､填空题，本题共4小题，每题5分，共20分.

13. 已知角的终边经过点），且，则=_________.

【答案】

14. 已知平面向量，满足，，，则与的夹角为______．

【答案】##

15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则__________．

【答案】

16. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为______.

【答案】

四､解答题（17题10分，其它各题12分）

17. 已知集合，．

（1）若，求；

（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．

【答案】

【小问1详解】

因为，所以，

又因为，所以．

【小问2详解】

若选①：则满足或，              

所以的取值范围为或．                   

若选②：所以或，                 

则满足，所以取值范围为．                       

若选③： 由题意得，

则满足                                 

所以的取值范围为

18. 已知向量.

（1）若，求k的值；

（2）若，求k的值.

【答案】

【详解】（1）由，知：，解得或

（2）由题意知：

又∵

∴

解得或

19. 已知函数.

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间；

【答案】

【小问1详解】

函数

∴；

【小问2详解】

令，，

解得，；

所以函数的单调递增区间是 ．

20. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

【答案】

【小问1详解】

本次考试成绩的平均数为

．

【小问2详解】

第五组与第六组学生总人数，

其中第五组有4人，记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C，

从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，

设“所抽取的2人中至少1人成绩优秀的事件”为,包含的基本事件有：aA、aB、aC、

bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15种，

所以所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝．平面PAD⊥平面ABCD，∠PDA＝90°．

（1）若平面PAD∩平面PBC＝l，求证：l∥BC；

（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（3）若二面角B﹣PA﹣D的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

【答案】

【小问1详解】

证明：∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BC∥平面PAD，

又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，

∴BC∥l．

【小问2详解】

证明：∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，

∵，∴，

∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DAC+∠DCA＝90°，

∴∠CDB+∠DCA＝90°，∴AC⊥BD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，

∴PD⊥平面ABCD，

∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵AC⊂平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBD．

【小问3详解】

如图，取AD中点E，连接BE，作EF⊥PA，垂足为F，连接BF，

易知BCDE为正方形

∴BE∥CD，BE⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BE⊥AD，

∴BE⊥平面PAD．

∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥BE，

又BE∩EF＝E，平面BEF，平面BEF

∴PA⊥平面BEF．

∵BF⊂平面BEF，∴PA⊥BF，

∴二面角B﹣PA﹣D的平面角为∠EFB，

∴，

∴，∵AE＝1，

∴∠PAD＝30°，∴，

∴．

22. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．

（1）证明：．

（2）求函数的值域．

【答案】

【小问1详解】

证明：因为，

所以，

所以，

所以，

所以，即．

因为△ABC是锐角三角形，

所以，

所以，

所以，

则，即．

【小问2详解】

因为△ABC是锐角三角形，所以，

解得，则，

从而，故．

设，则，．

设函数，则其图象的对称轴方程为．

①当，即时，在上单调递增，

因为，，所以的值域是；

②当，则时，在上单调递减，在上单调递增，

因为，，所以的值域是；

③当，即时，在上单词递减，在上单调递增，

因为，，所以的值域是；

④当，即时，在上单词递减，

因为，，所以的值域是．

综上，当时，的值域是；当时，的值域是；当时，的值域是；当时，的值域是．