2021-2022学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．下列说法错误的是（       ）

A．线性相关系数时，两变量正相关

B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于

C．在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加8个单位

D．对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大

【答案】C

【分析】AB选项，利用相关系数的定义进行判断；C选项，利用回归直线方程中的几何意义进行求解；D选项，利用独立性检验卡方的意义进行判断.

【详解】线性相关系数时，两变量正相关，A正确；

两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于，B正确；

在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加2个单位，C错误；

对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程程度越大，D正确.

故选：C

2．现有甲班三名学生，乙班四名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有（       ）

A．种 B．种 C．21种 D．22种

【答案】B

【分析】根据甲乙两班参加的人数分类讨论，利用两个计数原理即可求解.

【详解】若甲班一人参加,则必为A,则乙班选3人有种；若甲班2人参加,则有,则乙班选2人有,此时有2×6=12种；若甲班3人参加,则乙班选1人有,所以一共有4+12+4=20.

故选: B

3．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果直线与相交于点，那么（       ）

A．点一定在直线上

B．点一定在直线上

C．点可能在直线上，也可能在直线上

D．点既不在直线上，也不在直线上

【答案】A

【分析】画出图形，利用点，线，面的关系，得到点直线，结合AC与BD为异面直线，所以直线BD.

【详解】如图，空间四边形，因为平面ABC，平面ACD，

所以点平面ABC，且平面ACD，而平面ABC平面ACD=AC，

所以点直线.

因为AC与BD为异面直线，所以直线BD.

故选：A

4．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据条件只需，设分段讨论去绝对值求出最小值，即可得出结论.

【详解】设，

当或时，，

关于的不等式的解集不是空集，，

实数的取值范围是.

故选：D.

5．设，则的最大值为（       ）

A．0 B．不存在 C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】因为，则，

当且仅当即时等号成立，

则的最大值为则.

故选：C.

6．已知等式成立，则（       ）

A． B．0 C．14 D．6

【答案】A

【分析】利用赋值法求解偶数项和及，进而计算出答案.

【详解】，

令得：，

即①，

令得：，

即②，①＋②得：

，

解得：，

令得：，

所以

故选：A

7．圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍．则两底面的面积之和是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出符合题意的图形，结合题设条件可以解得上底面的半径与的数量关系，即可求解

【详解】

如图所示，过作，垂足为，则在中，

所以

设圆台上底面的半径为，则即

所以圆台两底面的面积之和为

故选：B

8．下列说法中正确的是（       ）

①设随机变量服从二项分布，则

②已知随机变量服从正态分布且，则

③小赵，小钱，小孙，小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；

④；．

A．①③ B．②③

C．①②③ D．①③④

【答案】A

【分析】①：根据二项分布求概率公式进行求解；②：根据正态分布对称性进行求解；③：求出与，从而利用条件概率公式进行计算；④：根据期望和方差的性质进行判断.

【详解】①：，①正确；

②：已知随机变量服从正态分布且，

则，②错误；

③：小赵，小钱，小孙，小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，

，，则，③正确；

④：；，④错误

故选：A

9．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据三视图得出原几何体是由一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，即可求体积和表面积.

【详解】由三视图可知：该几何体为一个底面是边长为的正方形，高为的正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图：

四个侧面剩余的部分为全等的梯形，侧面积为，

底面为全等三角形，底面积为：，

新切割面为的等边三角形：面积为，

所以表面积为.

，

故选：A

10．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（       ）（参考数据：，，）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求.

【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为．

故选：B．

【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.

11．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，根据三角形ABC三边关系得到，从而得到三棱锥外接球球心O在△ABC上的投影为AC的中点E，且当D，O，E三点共线时三棱锥体积最大值，求出三棱锥的高，进而求出最大体积.

【详解】设三棱锥的外接球球心为O，半径为R，则，

解得：，

因为，所以，

所以，

设AC中点为E，则三棱锥外接球球心O在△ABC上的投影为E，

当D，O，E三点共线时，三棱锥的体积取得最大值，

此时，则，

所以

故选：D

12．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料其各棱长都为2,已知点，分别为上，下底面的中心，M为的中点，过A， B，M三点的截面把该木料截成两部分，则此截面面积为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】取的中点，的中点，连接并延长交与，过作，则梯形即为所求的截面，然后根据M为中点，为中心，得到， 进而求得和梯形的高即可.

【详解】如图所示：

取的中点，的中点，连接并延长交与，过作，

因为，所以，

则梯形即为所求的截面，

则，

因为M为中点，为中心，为中心，

所以，

因为，，

所以梯形的高为，

故S梯形ABFE=，

故选：C

【点睛】本题主要考查空间几何体的截面问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．设随机变量的分布列为，，，，，，且，则______

【答案】

【分析】，利用二项分布期望和方差的计算公式求解即可

【详解】依题意可知，所以，所以

则

故答案为：

14．某公司对年月份公司的盈利情况进行了数据统计，结果如下表所示：

利用线性回归分析思想，预测出年月份的利润为万元，则关于的线性回归方程为__________．

【答案】

【分析】先求得，根据回归方程必过样本中心，结合题意可知线性回归方程过，设方程代入求解．

【详解】∵

根据题意可得线性回归方程过

设回归方程为，则，解得

∴

故答案为：．

15．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．

【答案】

【详解】设AB=a,BC=b,CC1=c，则连接AB1，则AB1//C1D，故就是异面直线和所成角,，

16．若不等式的解集为，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】分两种情况与，对去掉绝对值，结合单调性求出最小值，从而列出不等式，求出实数的取值范围.

【详解】令，

当，即时，，

根据单调性可知：，

则，解得：，

和取交集后得到；

当，即时，，

根据单调性可知：，

则，解得：，

与取交集后得到

故答案为：

三、解答题

17．设，，均为正数，且1．

(1)求的最小值；

(2)证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件；

（2）法一：应用柯西不等式证明，注意等号成立条件；法二：应用分析法，将问题转化为证，再结合基本不等式求证，注意等号成立条件；

【详解】(1)，均为正数，且，

，

当且仅当，即 时等号成立，

故的最小值为．

(2)法一：由柯西不等式得，，

即，

故不等式成立，当且仅当等号成立．

法二：要证明

只需证明

只需证明

只需证明

因为，当且仅当，即时等号成立.

综上所述：.

18．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.

(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；

(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）求出选出的名同学是来自互不相同大学的情况种类，除以从10名学生选出4名的情况种类即为答案；（2）求出X的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望和方差

【详解】(1)设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件，

 则，

所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为；

(2)随机变量的所有可能值为，，，，4.

，

∴，，

，，.

所以随机变量的分布列是： 

=

．

19．如图，在直角梯形中，,点是中点，且,现将三角形沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为.

(1)求证:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；

（2）.

【分析】（1）可证平面，从而可证平面平面.

（2）以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系, 求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.

【详解】(1)证明:在平面中，

为沿折起得到，

平面，

又平面平面平面

(2)解:在平面中，

由(1)知平面平面而平面故.

由与平面所成的角为，得，

为等腰直角三角形，,

，又，得,

，故为等边三角形，

取的中点,连结,

平面，

以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线轴所在的直

线为轴建立空间直角坐标系如图，

则

从而，

设平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为,

则由得

，令得，

由得，令得，

所以，

设二面角的大小为，则为钝角且，

即二面角的余弦值为

【点睛】面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

20．某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．

(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？

(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．

【答案】(1)元

(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件

【分析】（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；

（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求

【详解】(1)设每件定价为元，

则，

整理得，

要满足条件，每件定价最多为元；

(2)由题得当时：有解，

即：有解．

又，

当且仅当时取等号，

即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件

21．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.

（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？

（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；

（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？

附：

【答案】（1）45户（2）0.45（3）填表见解析；有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.

【解析】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，然后求解应收集户山区家庭的户数.

（2）由直方图直接求解该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率.

（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，完成列联表，求出k2，即可判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.

【详解】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机450×0.1＝45户山区家庭的样本数据.

（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为（0.500+0.300+0.100）×0.5＝0.45.

（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.

而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：

所以，

∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.

【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于简单题.

22．如图，三棱柱中，底面为等边三角形，且平面，，且为棱的中点.

（1）求四棱锥的体积；

（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，否则说明理由.

【答案】（1）；（2）为中点.

【分析】（1）取中点，证明平面，从而确定四棱锥的高，再由体积公式计算体积；

（2）假设在棱上存在一点，使得与平面所成角的余弦值为.

分别取，的中点，，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出平面的法向量，法向量与夹角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值，由此求出的值，从而也确定点符合题意的点存在．

【详解】（1）取中点.连结.因为为等边三角形，所以.

因为平面，平面，所以.

因为，

所以平面，

所以点到平面的距离即是点到的距离，

又四边形的面积是，

所以多面体的体积为；

（2）假设在棱上存在一点，使得与平面所成角的余弦值为.

分别取，的中点，，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

设，则，，

，，，则，，.

设是平面的一个法向量，

则，

令，则，

因为与平面所成角的余弦值为，故其正弦值为，

则有.

解得或（舍去）.

故在棱上存在一点为中点，使得与平面所成角的余弦值为.

【点睛】本题考查棱锥的体积，考查线面角问题．在立体几何中求空间角时常用方法是空间向量法，可建立空间直角坐标系，得用平面的法向量和直线的方向向量来求线面角、面面角．只是解题时要注意计算正确．