第26-29章（锐角三角函数等）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川绵阳、自贡、泸州）

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第26-29章（锐角三角函数等）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川绵阳、自贡、泸州）
一．反比例函数的图象（共1小题）
1．（2020•自贡）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．

三．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
3．（2020•自贡）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　 　，前25个等边三角形的周长之和为　 　．

4．（2022•绵阳）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．

5．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
6．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

四．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
五．黄金分割（共1小题）
8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
六．相似三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2021•绵阳）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）

A． B． C． D．
10．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　 　．

七．特殊角的三角函数值（共1小题）
11．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．16π D．64π
八．解直角三角形（共2小题）
12．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）

A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
13．（2021•绵阳）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　 　．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
14．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　 　海里（计算结果不取近似值）．

15．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
16．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米（结果保留根号）．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
17．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

18．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
19．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

20．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

一十三．简单几何体的三视图（共2小题）
21．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
一十四．简单组合体的三视图（共3小题）
23．（2022•绵阳）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
24．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
25．（2020•自贡）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
一十五．由三视图判断几何体（共1小题）
26．（2021•绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（　　）

A．2 B．3 C． D．

第26-29章（锐角三角函数等）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川绵阳、自贡、泸州）
参考答案与试题解析
一．反比例函数的图象（共1小题）
1．（2020•自贡）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．

【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（，2），点B的坐标为（1，k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（1，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，
∴1+（k﹣2）2＝，
∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，
∴k＝，
∴C（1，2），E（2，2），k＝；
（2）由（1）可得，AC＝，BC＝，CE＝1，
设AB的中点为D，
AB＝＝，BD＝＝，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴＝，
∴BM＝×＝，
∴S△MBE＝＝×1＝．

三．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
3．（2020•自贡）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　4　，前25个等边三角形的周长之和为　60　．

【解答】解：设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y＝﹣x+b，
∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD＝﹣b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，
∴﹣x+b＝，
整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，
∵＝cos60°＝，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝k＝16，
解得：k＝4．
由题意可以假设D1（m，m），
∴m2•＝4，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，n），
∵（4+n）•n＝4，
解得n＝2﹣2，
∴E1E2＝4﹣4，即第二个三角形的周长为12﹣12，
设D3（4+a，a），
由题意（4+a）•a＝4，
解得a＝2﹣2，即第三个三角形的周长为12﹣12，
…，
∴第四个三角形的周长为12﹣12，
∴前25个等边三角形的周长之和12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，
故答案为：4，60．

4．（2022•绵阳）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB＝＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8+）•（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2＝﹣（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y＝＝﹣4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．

5．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝＝＝4，
联立，
得：﹣x﹣4＝，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，
将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，
经检验：和都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴PQ＝＝＝2，
∴＝＝．

6．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）如图，

∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）由得：，，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．
四．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
【解答】解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，
∴蓄电池的电压是36V．
∴A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，
∴D错误，
故选：C．
五．黄金分割（共1小题）
8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2，
∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴DE＝2HE＝4﹣8
∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4．
故选：A．

六．相似三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2021•绵阳）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵△DAB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．

10．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　　．

【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中

∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案为：．
七．特殊角的三角函数值（共1小题）
11．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．16π D．64π
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
故选：A．
八．解直角三角形（共2小题）
12．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）

A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，
则直线MN为符合条件的直线l，如图，

∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐标为（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四边形ABEF为菱形，
BE＝AB＝10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
设EG＝4k，则BG＝3k，
∴BE＝＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，
∴A（0，4）．
∵点N为AE的中点，
∴N（2，8）．
设直线l的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，
故选：D．
13．（2021•绵阳）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　3　．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，
∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
在Rt△BDF中，BF＝＝，
∴AC•BC＝（2+）（2+）
＝4（1+++1）
＝4（2+）
＝18，
AC+BC＝（2+）+（2+）
＝4+2（+）
＝4+5
＝9，
∴AB2＝AC2+BC2
＝（AC+BC）2﹣2AC•BC
＝81﹣36
＝45，
即AB＝3，
故答案为：3．

九．解直角三角形的应用（共2小题）
14．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　（5﹣5）　海里（计算结果不取近似值）．

【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

由题意得：
AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，
∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×＝5（海里），
设DE＝x海里，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝45°，
在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），
DC＝＝＝x（海里），
∵AE+EC＝AC，
∴x+x＝5，
∴x＝，
∴DC＝x＝（5﹣5）海里，
故答案为：（5﹣5）．

15．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝，
∴BM＝＝CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝＝＝10（米），
∴CD＝MN＝MB+BN＝×30+10＝40+10（米），
答：C，D两点间的距离为（40+10）米．

一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
16．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　6　米（结果保留根号）．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．

∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
17．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由图可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．
18．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD＝≈18.05（米）．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
19．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．

20．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
一十三．简单几何体的三视图（共2小题）
21．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：三棱柱的主视图是中间有一条线的长方形，圆柱的主视图是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
22．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
一十四．简单组合体的三视图（共3小题）
23．（2022•绵阳）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从上向下看，可得如图：

故选：D．
24．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形．
故选：C．
25．（2020•自贡）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．
故选：B．
一十五．由三视图判断几何体（共1小题）
26．（2021•绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（　　）

A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵某圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，
∴圆锥的底面半径为2÷2＝1，母线长为2，
∴此圆锥的高是＝．
故选：D．