四川省泸州市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】

这是一份四川省泸州市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】，共40页。试卷主要包含了两点，两点，直线x＝3与x轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
四川省泸州市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
二．根与系数的关系（共2小题）
2．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
3．（2020•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
5．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
6．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
7．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
8．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
六．二次函数综合题（共2小题）
9．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

七．垂径定理（共1小题）
11．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
八．圆周角定理（共1小题）
12．（2020•泸州）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
九．直线与圆的位置关系（共1小题）
13．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

一十．切线的性质（共3小题）
14．（2021•泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．
15．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

16．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

一十一．中心对称图形（共1小题）
17．（2020•泸州）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
一十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
18．（2022•泸州）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 　 　．
一十三．黄金分割（共1小题）
19．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　 　．

一十五．特殊角的三角函数值（共1小题）
21．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．16π D．64π
一十六．解直角三角形（共1小题）
22．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）

A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
23．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
24．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

25．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

一十九．简单几何体的三视图（共2小题）
26．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
27．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
二十．简单组合体的三视图（共1小题）
28．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
二十一．概率公式（共1小题）
29．（2021•泸州）不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　 　．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
30．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝　 　，a＝　 　；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

31．（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行驶路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．

四川省泸州市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版七年级】
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+2m﹣1+1＝3，
解得：m1＝1，m2＝﹣3，
∵方程有两实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
即m≤，
∴m2＝1（不合题意，舍去），
∴m＝﹣3；
故选：A．
二．根与系数的关系（共2小题）
2．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【解答】解：由题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
3．（2020•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝＝＝4，
联立，
得：﹣x﹣4＝，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，
将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，
经检验：和都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴PQ＝＝＝2，
∴＝＝．

5．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）如图，

∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）由得：，，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
6．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【解答】解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
∴直线l为：y＝4，
∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a的图象与直线l有两个不同的交点，
∴（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝4，
整理得：3x2﹣12ax+12a2+a﹣4＝0，
△＝（﹣12a）2﹣4×3（12a2+a﹣4）＝144a2﹣144a2﹣12a+48＝﹣12a+48＞0，
∴a＜4，
又∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝3x2﹣12ax+12a2+a对称轴在y轴右侧，
∴﹣＝2a＞0，
∴a＞0，
∴0＜a＜4，
故选：D．
7．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b＝，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
8．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
六．二次函数综合题（共2小题）
9．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
10．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
（一）当A与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
∵在Rt△AOC中，G是AC中点，
∴OG＝AG，
∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，
∴∠DEC＝∠GOA，
（二）当O与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
∵OG＝AG，
∴＝与＝答案相同，同理＝与或＝答案相同，
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．
七．垂径定理（共1小题）
11．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
八．圆周角定理（共1小题）
12．（2020•泸州）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
【解答】解：∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
九．直线与圆的位置关系（共1小题）
13．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　2+1　．

【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴OA＝＝2，
∴AD＝2+1，
故答案为：2+1．

一十．切线的性质（共3小题）
14．（2021•泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．

∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH＝＝＝6，
设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直线OC的解析式为y＝﹣x，直线BD的解析式为y＝4x﹣4，
由，解得，
∴F（，﹣），
∴BF＝＝，
解法二：设DH交OC于G，利用△OBF∽△GDF求解即可．

故选：A．
15．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA+∠ACF＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴＝，
∵AF＝2，CF＝4，
∴，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．
16．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴＝，
∴AC＝9，
∴AB＝＝3，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝，EH＝2，
如图，连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝，
∴EF＝﹣2．

一十一．中心对称图形（共1小题）
17．（2020•泸州）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
一十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
18．（2022•泸州）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 　（2，﹣3）　．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，
∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案为（2，﹣3）．
一十三．黄金分割（共1小题）
19．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2，
∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴DE＝2HE＝4﹣8
∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4．
故选：A．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　　．

【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中

∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案为：．
一十五．特殊角的三角函数值（共1小题）
21．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．16π D．64π
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
故选：A．
一十六．解直角三角形（共1小题）
22．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）

A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，
则直线MN为符合条件的直线l，如图，

∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐标为（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四边形ABEF为菱形，
BE＝AB＝10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
设EG＝4k，则BG＝3k，
∴BE＝＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，
∴A（0，4）．
∵点N为AE的中点，
∴N（2，8）．
设直线l的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，
故选：D．
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
23．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝，
∴BM＝＝CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝＝＝10（米），
∴CD＝MN＝MB+BN＝×30+10＝40+10（米），
答：C，D两点间的距离为（40+10）米．

一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
24．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．

25．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
一十九．简单几何体的三视图（共2小题）
26．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：三棱柱的主视图是中间有一条线的长方形，圆柱的主视图是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
27．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
二十．简单组合体的三视图（共1小题）
28．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形．
故选：C．
二十一．概率公式（共1小题）
29．（2021•泸州）不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　　．
【解答】解：∵袋子中共有3+5+4＝12个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为3，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是＝，
故答案为：．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
30．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝　80　，a＝　20　；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

【解答】解：（1）m＝12÷15%＝80，
a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20；
故答案为：80；20；
（2）640×＝160（人），
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
31．（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行驶路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：

（2）600×＝150（辆），
即估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行驶路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行驶路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为＝．