2023江苏省百校联考高三上学期第一次考试数学含解析

江苏省百校联考高三年级第一次考试

数学试卷

09.02

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是（）

A.  B.  C.  D.

4. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

A. 38680千米 B. 39375千米 C. 41200千米 D. 42192千米

5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）

A. －4 B. 4 C. 5 D. 8

6. 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

7. 若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（）

A. 事件发生的概率  B. 事件发生的概率

C. 事件不发生条件下事件发生的概率 D. 事件，同时发生的概率

8. 已知，，，则（）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的有（）

A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8

B. 已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2

C. 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则

D. 若随机变量服从正态分布，，则

10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（）

A. 的图象关于点对称

B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称

C.在上的值域为

D.在上单调递增

11. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（）

A. 异面直线与所成角的余弦值为

B.

C. 四面体的外接球体积为

D. 平面截正方体所得的截面是四边形

12. 已知是数列的前项和，，则（）

A.

B.

C. 当时，

D. 当数列单调递增时，的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 展开式中的系数为_________.

14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则_________.

15. 已知函数，.若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是_________.

16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平而的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形如图所示.若将图形被直线所截得的两条线段绕轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_________；若将图形绕轴旋转一周，则形成的旋转体的体积_________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

已知数列满足，_________.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.

18.（12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且，.

（1）若的周长为，求，的值；

（2）若的面积为，求的值.

19.（12分）

近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）

（1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？

（2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.

附：，.

20.（12分）

在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点.

（1）证明：平面.

（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.（12分）

设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.

（1）当时，求；

（2）在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

已知函数，.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，求实数的取值范围.

江苏省百校联考高三年级第一次考试

数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.【答案】A

【解析】，，选A.

2.【答案】D

【解析】位于第四象限，选D.

3.【答案】C

【解析】，是相互垂直的单位向量，由是与垂直的单位向量，选C.

4.【答案】B

【解析】设地球半径为，则，

∴，选B.

5.【答案】C

【解析】的解集为，

则，且，是方程的两根，，∴，

，，∴，选C.

6.【答案】A

【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，∴，∴，选A.

7.【答案】B

【解析】图中阴影既有发生的情况，又有不发生的情况，排除ACD，选B.

8.【答案】D

【解析】且，，∴最大构造，，

∴，∴在上，∴，即，∴，选D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.【答案】BD

【解析】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A错.

，，…，方差为2，则，，…，方差为2，B正确.

，则，C错，选BD.

10.【答案】ABD

【解析】相邻两对称轴间距离为，则，∴，

∴，，，关于对称，A对.

关于轴对称，B对.

，则，则，，

∴，C错误.

，∴，的一个单调增区间为，而，∴在，D对.

11.【答案】BC

【解析】建系，，，，

，A错.

，，，∴，B正确；

外接球半径，，∴，C正确；

截面为五边形，D错误.

12.【答案】ACD

【解析】方法一：，①

时，，②

①－②，，A正确；

时，，即；时，，∴，时，不满足条件，B错误；

时，为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；为偶数时是首项为1，

公差为2的等差数列，共25项，所以，

C正确；

是单调递增数列，∴，即，即；

，即，即；

，即，即，即，

，即依次类推可知，D正确.

方法二：，①

当时，，②，∴时①－②，

即，A正确；

，∴，由于未知，B错误.

，，∴

，C正确；

对于D，∵，分别递增，要使，只需，

而，，，

∴，D正确；选ACD.

对于D，法三：由，

，

要使，则必有且，

∴且，D正确，选ACD.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.【答案】26

【解析】展开式第项，，，，，∴展开式中系数26.

14.【答案】

15.【答案】

【解析】直线过定点，过四个象限与在正负半轴都有两个交点，过作的切线，切点设为，，，切线过，时，时，斜率为1.

∴与轴交于，，∴.

16.【答案】；

【解析】如图所示，双曲线，，，，.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【解析】

（1）选①，由及，可知，所以，

当时，有

.

当时，，故.

选②，由，得，所以为等差数列，

由，，得该数列的公差，

所以.

（2），∴，

∴.

18.【解析】

（1）因为，，所以①

在中，由余弦定理得，即②

由①②得③.

由①③得.

（2）由，得，

由正弦定理，得，，

所以，即.

19.【解析】

（1），

∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.

（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率，

的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列如下：

∴，.

或由的二项分布知，.

20.【解析】

（1）取中点，连接，，∵为的中点，

∴，又∵，∴，∴四边形为平行四边形，

∴，∵平面，平面，∴平面.

（2）∵平面平面，平面平面，

平面，，∴平面，取中点，连接，

∴，平面，∴，，

∴，∴，，

如图建系，∴，，，

∴，，设平面的一个法向量，

∴，

平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，

∴.

21.【解析】

解析一：（1）设直线的方程为，，，

，

，，

∴，

∴，

或设，，∴，即.

（2）假设存在符合题意，则易知当轴时，，

此时，这个定值一定为－1.

当时，，

∴，

∴存在符合题意.

解析二：（1）设，.

由，得，即，

因为，在椭圆上，所以，解得，

所以.

（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.

设直线的方程为，

联立直线与椭圆的方程，得，

由韦达定理，得，，所以.

所以.

要使为定值，则，解得或（舍去），此时.

故在轴上存在异于的定点，使得为定值.

22.【解析】

解析一：（1）时，，，，

切点，切线方程为.

（2）法一：，

，，

∴，∴.

法二：必要性探路（端点效应）由，，，

，，

若，即时，则存在，使得当时，，

此时在上，

∴，这与矛盾，舍去.

若，即时，，在上

∴，∴在上，∴符合题意，

综上：.

法三：由，

得，.

构造函数，，则恒成立.

构造函数，，

则，所以在上单调递增，

得，即当时，恒成立，

所以，为单调递增函数，

所以，，故.

法四：由题意得，，

令，，则.

①当时，，所以在上单调递增，得

，即，

所以在上单调递增，得.故当时，.

②当时，在上单调递增.

因为，当时，，

，

所以存在唯一，使得.

当时，，即在上单调递减，又，

所以，即，所以在上单调递减，

又，所以当时，，不符合题意.

故的取值范围为.