专题1.4一元二次方程的解法：因式分解法-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典【苏科版】

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题1.4一元二次方程的解法：因式分解法
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•南京期末）方程x2﹣x＝0的根为（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝0
【分析】先将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解析】x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x﹣1＝0或x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0，
故选：B．
2．（2020秋•鼓楼区期末）方程x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝0，x2＝1
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而解方程即可．
【解析】x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故选：D．
3．（2020秋•天津期末）方程x2+5x＝0的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解析】∵x2+5x＝0，
∴x（x+5）＝0，
∴x＝0或x＝﹣5，
故选：D．
4．（2020秋•常州期末）若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（　　）
A．2 B．0 C．2或﹣2 D．0或2
【分析】先列方程x2＝2x，然后利用因式分解法解方程．
【解析】根据题意得x2＝2x，
移项得x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：D．
5．（2020•开福区校级二模）方程x（x﹣2）＝3x的解为（　　）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解析】x（x﹣2）＝3x，
x（x﹣2）﹣3x＝0，
x（x﹣2﹣3）＝0，
x＝0，x﹣2﹣3＝0，
x1＝0，x2＝5，
故选：B．
6．（2019秋•渠县期末）解方程3（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
【分析】根据解一元二次方程的方法进行判断．
【解析】先移项得到3（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
故选：C．
7．（2020春•丽水期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24或25 B．24 C．85 D．24或85
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高＝25，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【解析】x2﹣16x+60＝0，
（x﹣6）（x﹣10）＝0，
x﹣6＝0或x﹣10＝0，
所以x1＝6，x2＝10，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高=62−42=25，此时三角形的面积=12×8×25=85
当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积=12×8×6＝24．
故选：D．
8．（2020•浙江自主招生）若4x2﹣5xy﹣6y2＝0，其中xy≠0，则x+yx−y的值为（　　）
A．﹣3或17 B．3或−17 C．3 D．17
【分析】先分解因式，即可求出x=−34y或x＝2y，再分别代入求出即可．
【解析】4x2﹣5xy﹣6y2＝0，
（4x+3y）（x﹣2y）＝0
4x+3y＝0，x﹣2y＝0
x=−34y．x＝2y，
∵xy≠0，
∴当x=−34y时，x+yx−y=−17，
当x＝2y时，x+yx−y=3，
故选：B．
9．（2019•晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（　　）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．
【解析】∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
10．（2020•丰泽区校级模拟）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．
【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，
∴3x2＝9x，
3x2﹣9x＝0，
3x（x﹣3）＝0，
3x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•宝应县期末）方程3（x﹣4）＝x（x﹣4）的解是　x1＝4，x2＝3　．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解析】∵3（x﹣4）＝x（x﹣4），
∴3（x﹣4）﹣x（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（3﹣x）＝0，
∴x﹣4＝0或3﹣x＝0，
解得x1＝4，x2＝3，
故答案为：x1＝4，x2＝3．
12．（2020秋•潮州期末）方程x2＝2020x的解是　x1＝0，x2＝2020　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x1＝0，x2＝2020，
故答案为：x1＝0，x2＝2020．
13．（2020秋•高邮市期末）一元二次方程x2+9x＝0的较大的根为　0　．
【分析】利用因式分解法求解即可得出答案．
【解析】∵x2+9x＝0，
∴x（x+9）＝0，
则x＝0或x+9＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣9，
所以一元二次方程x2+9x＝0的较大的根为0，
故答案为：0．
14．（2020秋•郁南县期末）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是　x1＝1、x2＝﹣2　．
【分析】由题已知的方程已经因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
【解析】∵（x﹣1）（x+2）＝0
∴x﹣1＝0或x+2＝0
∴x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为x1＝1、x2＝﹣2．
15．（2018秋•长沙期末）等腰△ABC的腰和底边分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个不相等的解，则此三角形的周长为　7或8　．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系列出不等式，确定是否符合题意．
【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，
当2为腰，3为底时，2﹣2＜3＜3+3，能构成等腰三角形，周长为2+2+3＝7；
当3为腰，2为底时，3﹣2＜3＜3+2，亦能构成等腰三角形，周长为3+3+2＝8．
故周长为7或8，
故答案为7或8．
16．（2020•宜城市模拟）一个菱形的边长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为　24　．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【解析】x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝252−32=8，
∴菱形的面积=12×6×8＝24．
17．（2020•呼和浩特一模）若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是　x＝0　；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是　x＝0或x＝1　．
【分析】第一个方程两边都除以a可得；第二个方程利用因式分解法求解可得．
【解析】∵a≠0，
∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，
解得x＝0；
∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x＝0或x＝1，
故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．
18．（2020春•丽水期中）已知菱形ABCD的一条对角线的长为4，边AB的长是x2﹣5x+6＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为　12　．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝3，再利用菱形的性质和三角形三边的关系可判断AB的长为3，从而得到菱形ABCD的周长．
【解析】x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∵菱形ABCD的一条对角线的长为4，
∴AB的长为3，
∴菱形ABCD的周长＝4×3＝12．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•武进区模拟）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）∵x2﹣6x﹣3＝0，
∴x2﹣6x＝3，
则x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±23，
∴x1＝3+23，x2＝3﹣23；
（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2=−23．
20．（2020秋•南京期末）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2=−23．
21．（2020春•新昌县期末）解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）∵x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
则x1＝2，x2＝﹣2；

（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），
∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，
∴（x+3）（﹣x+4）＝0，
则x+3＝0或﹣x+4＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝4．
22．（2018秋•定州市期中）根据要求解方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；
（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．
【分析】（1）直接求出△＝b2﹣4ac＝25，进而利用公式法解方程即可；
（2）直接利用配方法解方程得出答案；
（3）直接利用提取公因式法解方程得出答案．
【解析】（1）∵△＝b2﹣4ac＝25＞0，
∴x=−3±52，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；

（2）x2+4x﹣12＝0，
x2+4x＝12，
（x+2）2＝16，
则x+2＝±4，
解得：x1＝﹣6，x2＝2；

（3）（x+4）2＝7（x+4）
（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，
则x+4＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4．
23．（2019秋•南关区校级月考）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣11x+30＝0的一个根，求三角形的面积．
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，从而得出等腰三角形三边的长度，再利用勾股定理求出高，继而利用面积公式计算可得．
【解析】解方程x2﹣11x+30＝0得x1＝5，x2＝6，
当腰长为5时，三角形三边长度为5、5、8，此时底边上的高为3，
所以等腰三角形的面积为12×8×3＝12；
当腰长为6时，三角形三边长度为6、6、8，此时底边上的高为25，
所以等腰三角形的面积为12×8×25=85；
综上，三角形的面积为12或85．
24．（2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
①解得：　x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）　．
②综上，原方程的根是　x1＝2，x2＝﹣2　．
③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　x1＝2，x2＝﹣3　．
【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】①当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
②综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；
③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．
当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3．