数学选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征教学课件ppt

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学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列分别为
那么最好选择哪名同学呢?
一、离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X).
名师点析随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
微思考随机变量的方差与样本的方差有何不同?提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.
微练习已知离散型随机变量X的分布列如下表.
若E(X)=0,D(X)=1,则a=　　　　,b=　　　　　. 
二、离散型随机变量的方差的性质一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).
微练习已知X的分布列如下表.
若Y=3X-1,则D(Y)的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.-1B.5C.10D.20
求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
解:(1)X的分布列为
(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,解得a=±2.又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
反思感悟 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:
2.已知随机变量η=aξ+b求D(η)时,注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用,这样既避免求随机变量η的分布列,又避免繁杂的计算,简化计算过程.
变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.
离散型随机变量的方差的应用例2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:甲:
试评定这两个保护区的管理水平.
解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些.
反思感悟 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定.
变式训练2甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下.
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.
解:E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由于E(X)=E(Y)>120,而D(X)