小升初专题讲义-数与代数（无答案）

这是一份小升初专题讲义-数与代数（无答案），共74页。试卷主要包含了 按糖和水的比为1， 在一幅比例尺是1， 有一串真分数,按下列方法排列等内容，欢迎下载使用。
第一讲 数与代数
课前自测
1. 1的分数单位是( ),再加上( )个这样的分数单位后是自然数范围内最小的合数。

2. 一个棱长为6分米的正方体木块的表面积是( )平方分米,把它削成最大的圆锥,这个圆锥的体积是( )立方分米。

3. 按糖和水的比为1:19配制一种糖水,这种糖水的含糖率是( )%，有糖50克，可以配制这种糖水（ ）克。

4. 在一幅比例尺是1:5000的学校平面图上,量得校门口到高年级数学教学楼的距离是4.5厘米,校门口到高年级教学楼的实际距离是( )米。









知识导图
比较大小
①分子相同比分母；分母相同比分子
②与1,做比较
③倒数法
整除与因数倍数
①因数和倍数的关系
②2,3,5的倍数特征，拓展9,7,11,13的倍数特征
③最大公因数和最小公倍数
奇偶性和余数
①等差数列求和公式
②余数的可加性、可乘性
找规律
①数形结合

重点题型精讲
比较大小
例题1. 请把，，，，这4个数从小到大排列。


练习1. 在80%，，，中,最大数和最小数之积为（ ）。


练习2. 在分数，，，，中,最大数与最小数的差是（ ）。


例题2. ，括号内可以填的最大整数是（ ）。


练习1. 若，括号内可以填的最小整数是（ ）。


练习2. 若,式中A最多可以表示( )个不同的自然数。


例题3. 有两个分数A=，B=，（ ）比（ ）大。

练习1. 比较大小：（ ） （ ）

（ ）


例题4. 已知，并且A，B，C，D都不等于0,那么A，B，C，D这四个数的大小关系是（ ）。

练习1. 已知，则A，B，C，D四个数中最大的是（ ）。

练习2. 在下面几个算式中,第( )个式子的得数最大。
A. B.
C. D.

例题5. 若x=135679×975431，y=135678×975432，则x与y的大小关系是( )。

练习1. 设A=5.4321×1.2345，B=5.4322×1.2344,则A与B的大小关系是( )。


整除及因数与倍数问题
例题1. 如果六位数能被105整除,那么后两位是（ ）。

练习1. 已知能被72整除,那么□中分别填（ ）和（ ）。

练习2. N是比10小的非0自然数,S是0,则下面四个数中,一定能被3和5整除的是( )。
A. NNNSNN B. NSNSNS C. NSSNSS D. NSSNSN

例题2. 商店里有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克,两个顾客买走了其中5箱。已知一个顾客买走的质量是另一个顾客的2倍,商店里剩下的一箱货物重（ ）千克。


练习1. 商店里有6箱货物,分别重14千克、17千克、20千克、21千克、22千克、30千克,两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物的质量是（ ）千克。


练习2. 某班有49名同学,其中男同学的和女同学的参加了数学小组,那么这个班中没有参加数学小组的同学有（ ）名。


例题3. 一个数除150余6,除250余10,除350余14,这个数最大是（ ）。


练习1. 用一个数除96余6,除134余8,除243余9,这个数最大是（ ）。


练习2. 有三根木棒,分别长12厘米、16厘米、44厘米，把它们截成同样长的小棒(整数厘米长),不许有剩余,每根小棒最长能有（ ）厘米。

例题4. 某体育代表团在运动场上列队,现知道人数在90~110人,且排成3列无余,排成5列差2人,排成7列差4人,这个体育代表团共有运动员（ ）人。


练习1. 操场上做操的人数有400~450人,且4人一排、6人一排或7人一排都正好多2人,操场上共有（ ）人。


练习2. 甲、乙、丙三人绕圆形跑道赛跑,甲跑一圈要1分钟，乙跑一圈要1分30秒，丙跑一圈要1分15秒。现三人同时从同地出发,（ ）分钟后,三人又在原地相会。


练习3. 大雪后的一天,小明和爸爸共同步测一个圆形花园的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小明的平均步长是54厘米,爸爸的平均步长是72厘米,由于两人的脚印有重合,一圈下来,雪地上刚好留下60个脚印。这个花园的周长为（ ）米。



奇偶数与余数问题
例题1. 黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数:1,3,5,7,9,11,…擦去其中的一个奇数后剩下的所有数的和是1998,那么擦去的奇数是( )。

练习1. 有1989位同学坐成一排,从左至右依次编上号:1,2,3,…,1989,第一次老师让编号是双数的同学站起来,然后余下的同学再从左至右编上号:1,2,...第二次老师又让编号是双数的同学站起来。如此做了5次,这时有( )名同学站着。

例题2. 用一个大于1的自然数,分别去除35，59和123，所得的余数相同,则这个数是（ ）。

练习1. 三个数23，51，72,分别除以同一个大于1的自然数,得到同一个余数,则这个除数是（ ）。

练习2. 一个大于1的自然数去除300，243，205时,得到的余数相同,则这个自然数是（ ）。

例题3. 两数相除,商4余3,被除数、除数、商、余数四数之和等于135,则被除数是（ ）。


练习1. 被除数、除数和余数的和是1600,已知除数是20,余数是10,那么商是（ ）。


例题4. 418×814×1616除以13所得的余数是（ ）。


练习1. 15×38×412×541除以13所得的余数是（ ）。

练习2. 22003与20032的和除以7的余数是（ ）。

规律问题
例题1. 有一串数则：（1）是第（ ）个数；（2）第115个分数是（ ）

练习1. 按规律在括号内填上适当的数：（ ）

练习2. 把自然数依次分组如下：(1，2，3，4，5)，(6，7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)……第49组的第3个数是（ ）


例题2. 将自然数1，2，3，4……按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7，10等数的位置处拐弯，如果2算作第1次拐弯处,那么第50次拐弯处的数是（ ）。




练习1. 将奇数按下表排列成5列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行

1
3
5
7
第2行
15
13
11
9

第3行

17
19
21
23
第4行
31
29
27
25

…

…
…
…
…
根据表中的规律，奇数2019应排在第（ )行，第（ ) 列。
练习2. 将自然数按下列三角形规律排列,则第15行的各数之和是（ ）。



例题3. 在1×2×3×...×1999×2000的乘积尾部有（ ）个连续的零。


练习1. 乘积202×203×204×205×…×2000×2001×2002是一个多位数，这个多位数的末尾有（ ）个0。


随堂巩固
1. 有四个数，，，其中最大的数是( )。


2. ，括号内可以填的最大整数是（ ）。



3. 如果，则A，B，C，D从大到小排列是（ ）。
4. 若A=8765432×2345678，B=8765433×2345677。则A与B的大小关系是( )。

5. 甲、乙、丙三班同学去公园划船,甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组,分乘若干条小船,使每条船上人数相等,最少要有（ ）条船。

6. 分一堆苹果,每份3个,最后还剩1个；每份5个,最后还剩3个；每份7个,最后还剩5个。这堆苹果最少有（ ）个。

7. 用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和是25,那么n=（ ）。

8. 假如今天是星期六,再过10200天是星期（ ）。

9. 有一串真分数,按下列方法排列：则第2012个分数是（ ）。

10. 如图，将黑、白两种小珠自上而下一层层地排，每层又是从左到右逐颗地排。当白珠第一次比黑珠多2003颗时，那么，恰好排列到第（ ）层的第（ ）颗。

11. 20×21×22×…×49×50的积末尾有（ ）个连续的0
第二讲 计算专题
课前自测
1. 甲、乙两个队合修一条公路，共同工作3天后完成全部任务的75%，已知甲、乙两队的工作效率之比是2:1，余下的任务由甲队单独去做，还要（ ）天完成？


2. 兄弟三人分24个橘子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得橘子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有橘子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有橘子的一半平分给老二与老三，这时每人的橘子数恰好相等。问：兄弟三人现在的年龄各是多少岁?


3. 现有1张5角币，4张2角币，8张1角币，要拿出8角钱，你能找出几种拿法？


4. 一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？



知识导图
运算定律

加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c）
乘法分配律：a×（b＋c）＝a×c＋b×c
减法的性质、除法的性质
数的运算
四则混合运算
求比值和化简比
繁分数的计算
简便计算之裂项法
简便计算之分组法
简便计算之字母代换法
式与方程
解一般方程
解分数方程
解比例方程






重点题型精讲
运算定律
例题1.




练习1.




四则混合运算
例题1.



练习1.



练习2.





化简比和求比值（❤：化简比，★：求比值）
例题2.
❤ ： ★2.5千克 ：400克


练习1.
❤ ：27 ★30分钟 ：小时


练习2.
★400厘米 ：6米 ❤308立方厘米 ：2立方分米





繁分数的计算
例题3.





练习1.







裂项法
1. 裂和公式 2. 裂差公式


3. 附加公式



例题4.








练习1.







分组法
技巧总结
寻找规律，先分组；
有公因数时提取公因数，无公因数时按规律计算。

例题5.








练习1.








字母代换法
设元技巧
若无特殊规律，设最短式子为a，次短式子为b;
单独分离整数，即整数不包含在a，b之内。
例题6.









练习1.









解方程
例题7.




练习1.




练习2.





随堂巩固










































第三讲 平面几何
课前自测
1.在三角形ABC中(如图),3BD=DC,阴影部分的面积是20dm2.求三角形ABC的面积.



2.一个平行四边形的底是3分米，高是2分米，如果它的底和高同时扩大到原来的2倍后，面积变成（ ）平方分米，是原来面积的（ ）倍？

3.如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的中点， 求阴影部分的面积。



4.如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加2平方米。问原来的三角形的面积是多少平方米
1米






知识导图
三角形
（1） 按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形
（2） 按边分:等边三角形，等腰三角形，其他三角形
四边形
（1） 平行四边形：长方形，正方形
（2） 梯形:直角梯形，等腰梯形
圆形
扇形

重点题型精讲
等积变形
例题1.∆ABC中,BD=DC,AE=2BE,已知∆ACD的面积是60平方厘米,求阴影部分的面积。



练习1. 如图,在∆ABC中,D是BC的中点,E、F是AC的三等分点,已知∆ABC的面积是108平方厘米,求∆CDE的面积.


练习2. 下图中,BD=2厘米,DE=4厘米,EC=2厘米,F是AE的中点,∆ABC的BC边上的高是4厘米,阴影面积是多少平方厘米?







例题2. ∆ABC中,D、E为BC边的三等分点,M、N分别为AE、AC的中点,若S∆ABC=24cm²,则S∆MCN=?


练习1. 如图所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE= EA，若三角形ABC的面积是1，则阴影部分的面积是多少？



练习2. 将一个正方形分成6个等腰直角三角形，已知ABC面积为2，求正方形的面积。




例题3. 如图:将一个三角形(有阴影的)两条边分别延长2倍,得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的多少倍?


练习1. 边长是9厘米的正三角形的面积是边长三厘米的正三角形的多少倍？



例题4. 如图是两个完全一样的等腰直角三角形,将其中一部分叠在一起,阴影部分的面积是多少平方厘米?



练习1. 如图是两个一样的直角三角形重叠在一起,求图中阴影部分面积。单位：厘米



割补法
例题1. 如图,在直角∆ABC中,四边形DECF为正方形,若AD=5,DB=6,则∆ADE与∆BDF的面积之和为多少?






练习1. 如图所示,在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF,E点正好落在直角三角形的斜
边AC上。已知AE=8厘米,EC=10厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?




练习2. 如图,三个边长分别为5cm、6cm、4cm的正方形拼在一起,求阴影部分的面积。



例题2. 求阴影部分的面积。








练习1. 求阴影部分的面积。（单位：cm）







例题3. 已知长方形长6厘米，宽4厘米，则阴影部分面积?


练习1. 三角形ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积.


练习2. 求阴影部分的面积。（单位：cm）



平移法
例题1. 小明爷爷家的院落为东西长32米,南北宽21米的长方形,为了行走方便要修筑同样宽的三条道路(如图阴影部分),余下的部分要种上西红柿,设道路宽为1米,爷爷让小明算一下,用于种菜的面积是多少?




练习1. 一块长方形草地，长16米，宽10米，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么草地部分面积？



练习2：一个长方形的草坪，中间有两个人行道。高是14m,求草坪的面积。(单位：米)



等差法
例题1. 下图中长方形长6cm，宽4cm，已知阴影①比阴影②面积少3cm2，求EC的长。


练习1. 如图，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。




练习2. 平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求CF的长。



例题2.图中阴影①比阴影②面积小48平方厘米，AB=40cm，求BC的长。







练习1.图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大16平方厘米，求AB的长。







整体减空白
例题1.如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。


练习1. 求阴影部分的面积，单位：cm





例题2. AB=8cm，AD=12cm，三角形ABE和三角形ADF的面积，各占长方形ABCD的，求三角形AEF的面积。


练习1.求阴影部分的面积，单位：cm














随堂巩固
1. 在∆ABC中，DC=2BD,CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求∆ABC的面积。





2.已知∆ABC面积为8cm2,2BD=AB,BE=CE,求∆DBE的面积?



3. ∆ACD的面积为4cm2,CD=2BD,求∆ABC的面积。



4.如图ABCG是长方形,AB=5,AG=3,DEFG是长方形，GF=1,FE=9,那么,
三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少?



5.如下图，在一块长80米、宽30米的长方形地上，修了两条宽分别为2米和3米的小路，其余的地方做草地，你知道草地的面积有多大吗？



6.如下图，是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大？


7.如图，是一张长方形卡纸和一张三角形卡纸重叠在一起的图形。已知长方形卡纸的面积比三角形卡纸的面积小16平方厘米，求DE的长度。
6
8
A
C
B
D
E




8.右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）



第四讲 立体几何
课前自测
1.圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的侧面积扩大____倍，体积扩大____倍。


2.把两块棱长分别是10分米和8分米的正方体铁块，熔化铸造成一块长方体铁块，它的横截面是边长为4分米的正方形，则这个长方体铁块长多少分米?



3.如下图，有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体小孔，剩下部分的表面积是_____厘米.

4.用长12厘米,宽12厘米,高4厘米长方形木料,最多可以削出____个底面半径是1.5厘米,高是2厘米的象棋子。








知识导图

长方体
正方体
圆柱
圆锥
表面积
(ab+ah+bh)×2


暂不要求
体积

abh



体积
Sh
Sh

重点题型精讲
棱长综合应用
例题1.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?


练习1. 一个长7分米、宽4分米、高2分米的木箱，用三根铁丝捆起来，每个打结处要,1分米铁丝，这三根铁丝总长需要至少多少分米？




展开图
例题2. 如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?

练习1. 如图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，长方形卷动之后，长作底面部分，求这个油桶的容积。(π取3.14)


切、拼引起表面积变化
例题3. 一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?



练习1. 一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．


练习2. 一个长方体木块正好能截成3个一样的正方体，这样表面积增加了144平方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？


练习3. 把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？






长、宽、高变化引起表面积变化
例题4. 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？(保留一位小数，π取3.14)）




练习1. 一个长方体的底面是正方形，高减少3分米，剩下部分的表面积比原来大长方体减少了60平方分米。则截去的小长方体的体积是多少立方分米?





练习2. 一个长方体，如果长减少2厘米，宽、高不变，它的体积减少48平方厘米，如果宽增加3厘米，长、高不变，它的体积增加99平方厘米，如果高增加4厘米，长、宽不变，它的体积增加352平方厘米，求原来的长方体的表面积？




不规则表面积
例题5. 如下图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?(取3．14)

练习1. 下图所示的机器零件的体积、表面积各是多少？（单位：厘米）



排水法求体积
例题6. 有一个长方体容器，从里面量，长5分米，宽4分米、水深4分米。如果把一块棱长为2分米的正方体铁块浸人水中,水面上升了多少分米?







练习1. 在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中．当钢材从桶里取出后，桶里的水下降了3厘米．求这段钢材的长．




等体积法
例题7.下图中A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，A、B两处的高度相差4米。现在把A处的土堆到B处，使A、B两处的土样高，这时B处比原来升高了多少米？



练习1.有一个密封的长方体水箱(如左下图)，从里面量得宽3分米、高5分米，箱内水的高度是4分米，如果将水箱向后推倒，以它的后面为展面(如右下图),这时箱内水的高度是多少分米?







比的应用
例题8. 如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升的水？






练习1. 如下图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?






练习2. 下图是一个上面是圆锥下面是圆柱体的容器，这个容器里有水，圆柱的高是20厘米，圆锥的高是9厘米，水的高是15厘米，如果倒过来放，圆锥尖到液面的高是多少厘米？










随堂巩固
一、 填空
1. 用棱长1厘米的正方体小木块拼成一个大正方体，至少要___个这样的小正方体木块。
2. 一个长、宽、高分别为9米、6米、3米的长方体，切割成3个体积相等的长方体，
表面积最大可增加_____平方米。
3. 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱体和圆锥体的体积比是3:2，圆柱体和圆锥的高的比是______。
4、一个盛水的圆柱体容器，底面内半径4厘米，深20厘米，现将一个底面半径为2厘米，高为9厘米的铁圆柱垂直放入容器直至完全浸没，此时水面上升了____厘米

二、解答
1. 求下面各图的表面积以及体积（单位：cm）











2. 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图，已知它的容积为26.4π立方厘米。当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？（π取3.14）


3.把一个棱长为4cm的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1cm的小正方体，再切成的小正方体中，三面涂色的小正方体，两面涂色的小正方体，一面涂色的小正方体，以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个？




4. 下图中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?






第五讲 分数百分数应用题
课前自测
1.



2. 甲、乙两人匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点分别在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完70米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，则跑道有多长？


3. 晚上8时刚过不一会儿小华开始做作业，一看钟表，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟表，还不到9时，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间?


4. 在下图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9.把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比.


知识导图
分数百分数应用题
① 数形结合思想 ④变中求定思想
② 量率对应思想 ⑤假设思想
③ 转化思想 ⑥方程思想
经济问题
①利润折扣问题
②利息问题
③税率问题
浓度问题
① 稀释、加浓、浓缩（找不变量）
② 混合（方程、十字交叉法）

分数百分数
重点题型精讲
利用数形结合思想解题
例题1. 一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原来这桶油有多少千克?


练习1. 耕地承包户王大爷家的仓库里有一批化肥，第一天用去总重量的，第二天
用去2吨，还剩下总重量的；这批化肥原有多少吨？



练习2. 修路队修一条公路，已经修了全长的40%，正好比没修的少1500米，这条公路长多少米?



练习3.某化肥厂四月份计划生产一批化肥，实际上上旬完成了计划的，中旬完成了剩下计划的60%，下旬生产了40吨，结果超额了，这个厂四月份计划生产化肥多少吨?

多个”单位1“解题思路
例题2. 福星小学四年级学生比三年级多25％，五年级学生比四年级少10％，已知五年级学生比三年级多30人，那么三、四、五年级各有学生多少人？


练习2.兄弟三人，老大的年龄比老二的年龄大20%，老二的年龄比老三的年龄大20%。问老大比老三的年龄大百分之几？


利用转化思想解题
例题3. 有两袋大米，第二袋比第一袋重6千克，已知第一袋大米重量的恰好与第二袋大米重量的相等。则两袋大米各重多少干克?


练习1. 某班学生有54人，男生人数的75%和女生人数的80%都参加了课外兴趣小组，而未参加课外兴趣小组的男女生人数正好相等，这个班男、女生各有多少人？




利用变中求定思想解题
例题4. 小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的，后来他又读了20页，这时已读的页数是剩下页效的，这本课外读物共有多少页?



练习1. 实验小学有一个实验班，人数少于50人，三好学生人数占全班人数的40%，再增加几个三好学生，三好学生就是全班人数的?



练习2. 兄弟两人各有一些钱，其中弟弟的钱数是哥哥的80%，若弟弟给哥哥4元，则弟弟的钱数是哥哥的，求兄弟两人原来各有多少钱？



练习3. 有两桶水，一桶8升，一桶13升，往两个桶加进去相同的水后，两桶的水之比是5：7，那么每桶加进去的水是多少升？




练习4. A、B两种商品的价格比是7：4，如果它们的价格分别上涨40元，那么它们的价格比是5：3。两种商品原来的价格各是多少元？


利用假设思想解题
例题5. 甲、乙两班共有96人，选出甲班人数的和乙班人数的，组成22人的数学兴趣小组，问甲、乙两班原来各有多少人?


练习1. 某商场有“长虹”牌和“海尔”牌液晶电视机共75台，售出“长虹”牌电视机的和“海尔”牌电视机的后，两种电视机共剩下42台.那么，原来两种电视机各有多少台?


练习2. 有一块菜地和一块麦地，菜地的和麦地的放在一起是13公顷，麦地的和菜地的放在一起是12公顷，那么菜地有多少公顷?

用方程解决问题
例题6. 学校图书馆新买了文艺书和连环画共126本，文艺书本数的比连环画的少7本，图书馆新买文艺书和连环画各多少本?


练习1. 把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？



练习2. 幸福外国语学校今年招生的录取人数是报考人数的20%，录取的男生占招主总数的.如果从男生中拨出25个名额给女生，那么男生还比女生多2人.今年报考外国语学校的有多少人?




经济问题
例题1. 某商品按定价卖出可得利润960元，若按定价70%出售，则亏损831元。问该商品的成本是多少？




练习1.一台空调进价是5000元，加二成五出售，利润是多少元？售价是多少元？



练习2.甲、乙两种商品成本总共 200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的九折销售，结果仍获利27.7元。问甲商品的成本是多少元？



例题2. 2011年9月1日起实施的《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表累加计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过1500元的部分
3%
超过1500元到4500元的部分
10%
超过4500元到9000元的部分
20%
…
…
(纳税款=应纳税所得额×对应的税率)按此规定解答下列问题：
(1) 如果小丽的妈妈本月工资为6000元，那么她本月应纳税多少元。


(2)如果小杰的爸爸三月份应缴交所得税款395元，那么他三月份的工资、薪金是多少元。


练习1.我们国家规定，公民月收入在5000元以上的要缴纳个人所得税，超出1500元以内的部分纳税3%，超出1500至4500元的部分纳税10%；超出4500元至9000元的部分纳税20%，泡泡的爸爸5月税前收入12000元，他5月应缴纳个人所得税多少钱？6月份泡泡爸爸缴纳个人所得税1145元，那么他6月份的税后工资是多少元？



例题3.爸爸有10万元，下面是两种理财方式：一种是买银行的1年期理财产品，年收益率为4%，每年到期后连本带息继续买下一年的理财产品；另一种是买2年期国债，年利率为3.8%。2年后，两种理财方式的收益各是多少?哪种理财方式的收益更大?


练习1. 李阿姨购买了25000元某公司一年期债券，到期后李阿姨共得到本息和26500元。债券的年利率是多少？


练习2. 设年利率为0.034，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？

浓度问题
例题1. 要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐15%的盐水，须加水多少克？


练习1. 要把浓度为95％的酒精600克，稀释成浓度为75％的消毒酒精，需要加入多少克蒸馏水？


例题2. 要从含盐12.5%的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水？



练习1.有浓度为2.5%的盐水210克,为了制成浓度为3.5%的盐水,从中要蒸发掉多少克水？



练习2. 100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？




例题3. 有含盐8%的盐水40千克，要配制成含盐20%的盐水，须加盐多少千克？



练习1. 有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？



例题4. 把浓度为25%的40千克盐水与浓度为10%的60千克盐水混合在一起，混合后的盐水的浓度是多少？



练习1. 在浓度为50%的100克盐水中，再加入多少克浓度为5%的盐水，就可得到浓度为15%的盐水？


练习2. 从装满100克80％的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？



随堂巩固
1. 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？


2. 将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克，需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？



3．一项工程甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要12天完成，甲的工作效率比乙多百分之几？


4.某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？




5.有两堆煤共136吨，某厂从甲堆中取走30％，从乙堆中取走10吨，这时乙堆剩下的煤恰好比甲堆剩下的多17，甲、乙两堆原来各有多少吨煤？



6.银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直接存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？ 





7.自2006年1月1日以来，国家颁布了新的个人所得税征收方法。按照规定：每月的个人收入超过1600元的部分，应按照5%的税率缴纳个人所得税。（1)张小明的爸爸本月工资是2100元，他应该缴纳个人所得税多少元？(2)如果刘星的爸爸本月缴纳个人所得税是24元，张小明的爸爸与刘星的爸爸相比较，哪个人的工资高？刘星的爸爸本月工资是多少元？









第六讲 比和比例
课前自测
1. 若四位数能被13整除，则两位数的最大值。


2. 甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数之比是3:4.已知丙制作了20件，则甲制作了多少件？



3.六年级甲班的女生人数是男生人数的倍，新年联欢会中，的女生和的男生参加了演出，则参加演出的人数占全班人数的多少？




4.甲挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的，第二天挖了剩下水渠长度的，第三天挖了未挖水渠长度的，第四天挖完剩下的100米水渠。那么，这条水渠长多少米？




知识导图
比
比的认识和意义
比的基本性质
比例
比例的认识和意义
比例的基本性质
正比例和反比例
比和比例问题
比例尺问题
按比例分配问题
正比例和反比例问题

重点题型精讲
比和比例基本概念
例题1. 把1：化成最简整数比是（ ），比值是（ ）。
选择：能与0.14：0.1组成比例的是（ ）
A. ： B. 0.8：0.25 C. 28：3 D. ：0.625

练习1. 1：0.75的比值是（ ），把它化成最简整数比是（ ）；把时：15分化成最简整数比是（ ）；平角和45°的角的最简整数比是（ ），比值是（ ）

练习2. 用15的因数可以组成一个比例是（ ）
A. 3：2＝6：4 B. 1：5＝3：15 C. 5：3＝15：9 D. 5：4＝15：6
例题2. 生产相同数目的一种零件，甲、乙两人的工作时间比是4:5。
（1）甲、乙两人的工作效率比是多少？?
（2）乙比甲的工作效率低百分之几？

练习1. 1：2.5的比值是（ ），如果后项乘4，要使比值不变，前项应变成（ ）；如果前项后项都除以0.35，比值是（ ）。

练习2. 打一份稿件，甲单独打要10小时，乙单独打要12小时，甲与乙的工效比是（ ）。

例题3. 下列各题中的两个量是否成比例？若成比例，请说明成正比例还是成反比例。
（1）路程一定时，速度与时间；
（2）播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；
（3）圆的面积与该圆的半径；
（4）两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。

练习1. 判断
（1）200米赛跑，运动员的速度和所需时间成反比例。 （ ）
（2）正方体的体积与棱长不成比例。 （ ）

练习2. 选择：下列各项中，两种量成反比例关系的是（ ）
A.车轮周长一定，车轮行驶的路程和转数
B.长方形周长一定，长和宽
C.生产零件的总时间一定，生产每个零件的时间和生产总量
D.人的年龄与身高

例题4. 甲数的等于乙数的，甲、乙两数的比是（ ）：（ ）。
若甲数是乙数的，乙数是丙数的，那么甲、乙、丙三数的比是（ ）。

练习1. A的等于B的。B：A＝（ ）：（ ）
如果7a＝8b，那么a：b＝（ ）：（ ）

练习2. 甲走的路程比乙多，而乙走的时间却比甲多。甲与乙的速度之比是多少?



例题5. 两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的质量比是3：2，另一块合金中铜与锌的质量比是1：3，先将两块合金合成一块，则新合成的合金中铜与锌的质量比是（ ）。

练习1. 两个相同的瓶子装满酒精溶液甲瓶中酒精与水的体积比是3：1，而乙瓶中酒精与水的体积比是4：1.若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是（ ）。




利用比例尺知识解题
例题6. 下图是某街区的平面示意图。
步行街

（1）把这幅平面图的比例尺改写成数值比例尺是（ ）；
（2）学校位于中心广场（ ）面大约（ ）千米处；
（3）人民公园位于中心广场东面3千米处，请用“•”在图中表示出它的大概位置；
（4）中心广场西面1千米处，有一条商业街与步行街垂直，在图中画线表示商业街。
练习1. 判断:在比例尺是1：8的图纸上，图上2厘米的线段表示零件的实际长为16厘米。（ )

练习2. 甲、乙、丙三个数，已知甲：（乙+丙）=4：3，乙：丙=2：7,求甲：乙：丙。



利用比例的基本性质解题
例题7. A、B两种商品的价格比是7：3，如果它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比是7：4。两种商品原来的价格各是多少元？


练习1. 动物园门票大人20元，小孩10元。六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同。六一儿童节这天共有多少人入园?


按比例分配方法解题
例题8. 有840吨货物，分给两个运输队运出去，甲队有载重5吨的汽车12辆，乙队有载重3吨的汽车15辆，按照两个队的运输能力分配，甲、乙两队各应运货多少吨？


练习1. 有一个长方形，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2 。表面积为72cm²，求这个长方体的体积。


练习2. 游乐场有三堆彩球，共140个，已知第一堆和第二堆的个数比是2：3，第二堆和第三堆的个数比是4：5，那么三堆各有多少个？


按正反比例关系解题
例题9. （1）农场要收割600公顷小麦，前4天收割200公顷，照这样计算，剩下的还要几天完成?

（2）工人铺一条路，用边长4分米的方砖铺需要500块，如果改用边长5分米的方砖铺，需要多少块?


练习1. 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？


利用比例转化方法解题
例题10. 已知甲、乙，两三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求甲：乙：丙。


练习1. 甲、乙、丙三人共有存款106元，已知甲存款数的相当于乙存款数的，乙存款数的相当于丙存款数的，甲、乙、丙各有存款多少元？


例题11. 一条路全长30千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3，某人走各段路程所用的时间之比是4：5：6，已知他上坡的速度是3千米/时，他走完全程用多少时间？


练习1. 一个圆柱形容器内，放入一个长方体铁块，现在打开一个水龙头往容器中注水3分钟后，水恰好没过长方体的上表面，又过了18分钟后，水灌满了容器。已知容器的高度是50厘米，长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面积的比是多少？



练习2. 某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。一天，通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是5：6，中型车与小型车的辆数之比是4：11，小型车的通行费总数比大型车多270元。
求（1）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？
大型车：30元/辆
中型车：15元/辆
小型车：10元/辆
（2）这天收费总额是多少元？





随堂巩固
1. 甲、乙两人原有的钱数之比为6：5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少。



2.一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再
拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚。


3.小红骑自行车从甲地到乙地，前一段是上坡路，后一段是下坡路，已知小红上坡每小时
行8千米，下坡每小时行22千米，上坡和下坡共用了3小时，甲、乙两地相距多少千米?（上坡和下坡一样长）


4.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米，如果乙和丙按原
来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点的时候，将比丙领先多少米?


5.一个印度老人有三个儿子，临死前对三个儿子立下遗嘱：家中19头牛，老大得，老二
得，老三得，千万和睦，好好商量不要争吵，老人死后，三个儿子商议了许久，怎么分呢？


6.一个长方体，长与宽的比是2：1，宽与高的比是3：2，如果长方体全部棱长的总和是
220厘米，求长方体的体积。


第七讲 行程工程
课前自测
1、从0、4、5、7中选择三个数字组成一个能同时被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是（ )，把它分解质因数是( ）。

2、一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要9小时完成。甲乙合作2小时完成了这项工程的( ),余下的工程甲单独做,还要( )小时完成。

3、一串数按1,1,2,2,3,3,4,4,5，5……从左面第一个数起,第35个数是( ),前36个数的和是( ）。

4、如果把2002年这样的年份称为“对称年”(年份的个位与千位数字相同,十位数字与百位数字相同),从2002年到2999年共有( )个对称年。









知识导图
一般行程问题
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
速度和=相遇路程÷相遇时间
相遇时间=相遇路程÷相遇速度
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
速度差=追及路程÷追及时间
相遇时间=追及路程÷追及速度
火车过桥问题
火车行驶路程=桥长+火车长
流水问题
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速 – 水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=）顺水速度-逆水速度）÷2
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率






重难点题型讲解
利用相遇的思维解决问题
例题1. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走……直到两人相遇，这只狗一共走了多少千米？




练习1. 甲、乙两地相距480千米，一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，客车每小时行驶70千米，货车每小时行驶50千米。相遇时，两车各行驶了多少千米？




练习2. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，乙车开出后5小时两车相遇，求A、B两地间的距离。




利用追及的思维解决问题
例题2. 如图，甲、乙两只蚂蚁分别从一个圆直径的两个端点A、B同时出发，绕圆周相向而行，方向如图所示，它们第一次相遇在离A点8厘米处的C点，第二次相遇在离B点6厘米处的D点，求这个圆的周长？





练习1. 小红在9点到10点之间开始解一道题，当时的时针和分针正好成一条线，当小红解完题时，时针和分针刚好重合，小红解这道题用了多少时间？




练习2. 一架敌机侵犯我领空，我空军立即起飞迎击，在两机相距49千米时，敌机扭转机头以15千米/分的速度逃跑，我军以22千米/分的速度沿其逃跑路线追击，当我军追到离敌军1千米时，与敌机展开激战，只用0.5分钟就击落了敌机。敌机从逃跑到被我机歼灭用了几分钟？



利用流水的思维解决问题
例题3. 在一次赛车手选拔赛中，小明骑1000米用了4分钟，在同样的风速下，逆风骑800米，也用了4分钟，问：在无风的时候，他骑1000米要用多少分？


练习1. 甲、乙两个港口之间的水路有432km长，甲港口位于上游，乙港口位于下游。一艘船从甲港口驶向乙港口用时16小时，返回用时24小时。船在静水中的速度和水流速度分别是多少？



练习2. 一艘轮船顺流航行120千米、逆流航行80千米共用16小时，顺流航行60千米、逆流航行120千米也用16小时。求水流的速度。



利用过桥的思维解决问题
例题4. 在一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高，结果用了1分钟36秒。求通过大桥时的速度及车身的长度？



练习1. 一列客车通过860米长的大桥需要45秒，用同样的速度穿过610米的隧道需要35秒。求这列客车行驶的速度及车身的长度。



练习2. 一支队伍长1200米，以每分钟80米的速度行进。队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到队伍末尾传达命令。问：联络员每分钟行多少米？



行程中的上下坡的问题
例题5. 某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路，到B地共用了55分钟。回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，又以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用了32小时。问：A、B两地相距多少千米？


练习1. 某邮递员早上8时从邮局出发向农场送邮件，路上要走12千米的上坡路和8千米的下坡路。上坡路时每小时走4千米，下坡路时每小时走5千米，到农场后休息1小时开始返回。问：邮递员什么时候回到邮局？



练习2. 如图，从A到B是0.5千米的上坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路。下坡路速度都是每小时6千米，平路上速度都是每小时4千米，上坡速度都是每小时3千米。如果小张和小王分别从A、D两地同时出发，相向而行，几小时两人相遇？

利用示意图法解题
例题6. 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开除，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B、A两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共用了6小时。A、B两地相距多少千米？


练习1. 兄弟两人同时从家上学，哥哥每分钟走95米，弟弟每分钟走75米，哥哥走到校门口时，发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校200米处与弟弟相遇。他们家离学校有多远？


练习2. 甲乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇。相遇后继续前进到达B、A两地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇。求A、B两地间的距离？



利用合作思想解题
例题7. 一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完成，那么：
（1）甲、乙两队一起修，共需要多少天完成？


（2）如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么甲乙两队一共修了多少天？



练习1. 一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？




练习2. 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满？




随堂巩固
1. 一列火车长700米，从路边的一棵大树旁通过，用100秒。以同样的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用240秒，这座大桥长多少米？




2. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，经过6小时，甲车行了全程的75%，乙车超过中点16千米。已知甲车比乙车每小时多行4千米，则A、B两城相距多少千米？



3. 甲、乙两队开挖一条水渠。甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。乙队挖了多少天？




4. 一辆客车和一辆货车上午8:00分别从甲、乙两地出发，相向而行，客车每小时行60千km，当行了全程的时与货车相遇。已知货车行完全程要8小时，两车在什么时刻相遇？



5. 从A城到B城，甲汽车用6小时，从B城到A城，乙汽车用4小时。现在甲、乙两车分别从A、B两城同时出发相对而行，相遇时甲汽车行驶了96千米。A、B两城相距多远？



6. 晚上8时刚过，不一会儿小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9时，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？