高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)达标测试

4.6  函数的应用（二）  同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（    ）  

A.10％                B. 20％ C. 30％ D. 50％

2、(4分)苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为(   )

（可能用到数值）

A.3.23 B.2.881                C.1.881                D.1.23

3、(4分)从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满并摇匀，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第次时共倒出纯酒精，则的解析式是(   )

A. B. C. D.

4、(4分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为(   )
A.75 B.100 C.125 D.150

5、(4分)某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到.那么要使该植物在水面的覆盖面积达，至少要经过的时间约为（    ）参考数据：（）

A.15个月 B.16个月 C.17个月 D.18个月

6、(4分)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：）

A.3 B.6 C.7 D.8

7、(4分)生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来做出判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数.经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（）(   )

A.10 B. C.100 D.

8、(4分)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间(单位：min)，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则k的值为(   )

A. B. C. D.

9、(4分)某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(   )

(参考数据：，，，)

A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年

10、(4分)“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为(   )

A. B. C. D.

二、填空题(共25分)

11、(5分)土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.

12、(5分)某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.

13、(5分)某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的关系式为，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则____________.

14、(5分)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只.

15、(5分)某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年.(参考数据：，，)

三、解答题(共35分)

16、(8分)一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.

（1）求每年开采矿山的百分比.

（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？

（3）今后最多还能开采多少年？

17、(9分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x（万件）与年促销费用m（万元）（）满足（k为常数），若不搞促销活动，则该产品的年销售量为1万件.已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投人和再投入两部分资金）.

（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；

（2）该厂家的年促销费用为多少万元时，利润最大？

18、(9分)某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物的数量P mg/L与时间t h之间的关系为(其中表示初始废气中污染物的数量，e是自然对数的底数).经过5 h后，经测试，消除了20%的污染物.问：

(1)15 h后还剩多少污染物(用百分数表示)？

(2)污染物减少36%需要花多长时间？

19、(9分)为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序，过滤前水含有杂质a%(其中a为常数)，每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少，设水过滤前的量为1，过滤次数为时，水的杂质含量为y.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%，问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据：，)

参考答案

1、答案：C

解析：

2、答案：B

解析：





所以


的近似值为
 

3、答案：A

解析：因为倒第k次时共倒出纯酒精x L，所以第k次后容器中含纯酒精，

第次倒出的纯酒精是，

所以.

4、答案：A

解析：由题意，得，解得.令，即，则，即需经过的天数为75.

5、答案：B

解析：当时，，则，

设需要经过个月该植物在水中域中的面积达到，则，

则，

故至少需要经过大约16个月.

故选：B.

6、答案：D

解析：设该驾驶员经过小时才能驾驶，则，即，

所以．

因为

，

所以，

故选：D

7、答案：B

解析：本题考查指数函数模型的应用.当时，，则，则，则，即，故.故选B.

8、答案：A

解析：由题意，把，，，代入中得，可得，所以，，因此，.故选：A.

9、答案：C

解析：设n()年后公司全年投入的研发资金为y，则，令，解得：，将，代入后，解得：，故n的最小值为8，即2029年后，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元.故选：C.

10、答案：B

解析：由于，所以，，.

所以.

11、答案：3

解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.

12、答案：5

解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.

13、答案：3

解析：当产量为 6 台时，总成本 万元，
则生产者可获得的利润为 ，
解得 ，
故答案为 : 3

14、答案：300

解析：由题意，得，解得，所以，当时，，故到第7年它们发展到300只.

15、答案：2022

解析：设n年开始超过7000万元，则，化为，即.

则，因此开始超过7000万元的年份是2022年.

16、答案：（1）

（2）到今年为止，已开采了6年

（3）今后最多还能开采18年

解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.

（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.

（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.

17、答案：（1）

（2）该厂家的年促销费用为3万元时，利润最大

解析：（1）由题意知，当时，，

，解得，，

又每件产品的销售价格为（万元），

年利润

.

（2）时，，

当且仅当，即时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，此时y取得最大值.

故该厂家的年促销费用为3万元时，利润最大.

18、答案：(1)15 h后还剩51.2%的污染物

(2)污染物减少36%需要花10 h

解析：(1)由题意得，则，

故当，.

故15 h后还剩51.2%的污染物.

(2)由题意得，即，

即，则，解得，故污染物减少36%需要花10 h.

19、答案：（1）因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少，

所以每次过滤后所含的杂质是前一次的，故，.

（2）设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求，则，

所以，

所以，即，

所以，

又，所以.

故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.

解析：