山东省济宁市2021届高三二模数学试题 (解析版)

这是一份山东省济宁市2021届高三二模数学试题 (解析版)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济宁市2021届高三数学二模试卷
一、单选题（共8题；共40分）
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （    ）
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
2.已知 ， 为虚数单位，则 （    ）
A.                                          B. 1                                         C. 2                                         D. 
3.“直线 垂直平面 内的无数条直线”是“ ”的（    ）
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必安条件
4.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （    ）
A. 0.2                                        B. 0.4                                        C. 0.6                                        D. 0.8
5.已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线AB的方程为（    ）
A.               B.               C.               D. 
6.在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知点 和点 ．若点 在 的角平分线上，且 ，则 （    ）
A. -2                                          B. -6                                          C. 2                                          D. 6
7.已知函数 ，若 ，则 的最小值是（    ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
8.“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点 、 的曼哈顿距离为： ．若点 ，点 为圆 上一动点，则 的最大值为（    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
二、多选题（共4题；共20分）
9.已知 ， ，下列不等式恒成立的有（    ）
A.                    B.                    C.                    D. 
10.函数 ，则下列说法正确的是（    ）
A. 若 ，则
B. 函数 在 上为增函数
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 函数 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到
11.已知 是定义在 上的偶函数， ，且当 时， ，则下列说法正确的是（    ）
A.  是以 为周期的周期函数
B. 
C. 函数 的图象与函数 的图象有且仅有3个交点
D. 当 时，
12.如图，直四棱柱 中，底面 为平行四边形， ， ，点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（ ）

A. 四面体 的体积是定值
B.  的取值范围是
C. 若 与平面 所成的角为 ，则
D. 若三棱锥 的外接球表面积为 ，则
三、填空题（共4题；共20分）
13.已知 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中 项的系数是________．
14.已知 ，则 ________．
15.设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 分别与双曲线的左、右支交于点 、 ，若以 为直径的圆过点 ，且 ，则该双曲线的离心率为________．
16.设函数 ， ，若存在 、 使得 成立，则 的最小值为1时，实数 ________．
四、解答题（共6题；共70分）
17.在① ；② ；③ ；
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知 的内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 ，______．
（1）求A的值；
（2）若 ，求 的面积．
18.已知数列 是正项等比数列，满足 是 、 的等差中项， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
19.甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了 局比赛，求随机变景 的分布列及数学期望．
20.如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 中点， ， ， ．

（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
21.己知抛物线 ，过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 ， 两点， 交抛物线 于 、 两点，当点 的横坐标为1时，抛物线 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
22.已知函数 ， ， ．
（1）当 时，判断函数 在定义域内的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．

答案解析部分
一、单选题（共8题；共40分）
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （    ）
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
【答案】 C
【考点】交、并、补集的混合运算，指、对数不等式的解法
【解析】【解答】由 ，可得 ，解得 ，则 ，
因为 ， ，则 ，因此， .
故答案为：C.

【分析】首先由对数函数的单调性求解出不等式的解集即为集合B，再补集和交集的定义即可得出答案。
2.已知 ， 为虚数单位，则 （    ）
A.                                          B. 1                                         C. 2                                         D. 
【答案】 A
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【解答】 ，所以， ，
因此， .
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数模的概念即可得出答案。
3.“直线 垂直平面 内的无数条直线”是“ ”的（    ）
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必安条件
【答案】 B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为当直线 垂直平面 内的所有直线时，才能得到 ，
所以由直线 垂直平面 内的无数条直线不一定能推出 ，
但是由 一定能推出直线 垂直平面 内的无数条直线，
所以直线 垂直平面 内的无数条直线是 的必要不充分条件，
故答案为：B

【分析】根据题意由线面垂直的定义，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
4.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （    ）
A. 0.2                                        B. 0.4                                        C. 0.6                                        D. 0.8
【答案】 D
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故答案为：D

【分析】利用正态分布中的数值，结合题意代入计算出答案即可。
5.已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线AB的方程为（    ）
A.               B.               C.               D. 
【答案】 B
【考点】斜率的计算公式，直线的点斜式方程，椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点 、 ，由中点坐标公式可得 ，所以 ，
因为 ，两式作差得 ，即 ，
即 ，所以， ，
因此，直线AB的方程为 ，即 .
故答案为：B.

【分析】首先设出点的坐标，由此即可求出中点的坐标，再由点差法求出直线的斜率，然后结合点斜式求出直线的方程即可。
6.在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知点 和点 ．若点 在 的角平分线上，且 ，则 （    ）
A. -2                                          B. -6                                          C. 2                                          D. 6
【答案】 A
【考点】数量积的坐标表达式，三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图所示：

因为 ，所以 ，即有 ， ，
所以点 的坐标为 ，即 ，又
因此 ．
故答案为：A．

【分析】根据题意作出图形并结合三角形的几何计算关系，求出角的大小，然后由点的坐标求出向量的坐标，再结合数量积的坐标公式计算出答案。
7.已知函数 ，若 ，则 的最小值是（    ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
【答案】 C
【考点】函数单调性的性质，分段函数的应用
【解析】【解答】函数 的图像如图所示，

作出 交 两点，其横坐标分别为a、b ， 不妨设 .
由 可得： ，解得： ，
所以
记 ，
任取 ，则 。
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
则 在 上单调递减，所以
故答案为：C

【分析】根据题意作出图形，如果 交 两点设出其横坐标，由此得出 ， 结合整理求出 ， 即构造函数 ， 结合函数单调性的定义即可得出 在 上单调递减，由函数的单调性即可求出最值即可。
8.“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点 、 的曼哈顿距离为： ．若点 ，点 为圆 上一动点，则 的最大值为（    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
【答案】 D
【考点】余弦函数的单调性，三角函数的最值
【解析】【解答】设点 ，则 .
①当 时，即当 ，
，
因为 ，所以， ，
当 时， 取得最大值 ；
②当 时，即当 时，
，
因为 ，则 ，
当 时， 取得最大值 .
综上所述， 的最大值为 .
故答案为：D.

【分析】根据题意设出点的坐标由已知条件得出 ， 分情况讨论①当 以及②当 时，结合余弦函数的性质即可求出的最值。
二、多选题（共4题；共20分）
9.已知 ， ，下列不等式恒成立的有（    ）
A.                    B.                    C.                    D. 
【答案】 A,D
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点，基本不等式在最值问题中的应用，不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A选项，函数 为 上的减函数，由 ，可得 ，A选项正确；
对于B选项，取 ，则 ，B选项错误；
对于C选项，函数 为 上的增函数，因为 ，则 ，
则 ，C选项错误；
对于D选项，由基本不等式可得 ，
所以， ，即 ，
因为 ，所以， ，D选项正确.
故答案为：AD.

【分析】根据题意由指、对数函数的单调性、不等式的单调性以及基本不等式对选项逐一判断即可得出答案。
10.函数 ，则下列说法正确的是（    ）
A. 若 ，则
B. 函数 在 上为增函数
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 函数 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】 A,C
【考点】余弦函数的图象，余弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，函数 ，
对于A中，由 ，即 且 ，
解得 且 ，即 且 ，
所以 ，又由 ，所以A符合题意；
对于B中，令 ，解得 ，
即函数 的单调递增区间为 ，
当 时，函数 的单调递增区间为 ，所以B不正确；
对于C中，令 ，解得 ，
当 时，可得 ，所以函数 的图象关于点 对称，所以C符合题意；
对于D中，函数 的图象向左平移 个单位，
可得 ，所以D不正确.
故答案为：AC

【分析】根据题意由余弦函数的单调性和图象即可判断出选项A、C正确，B错误再由函数平移的性质即可判断出选项D错误，由此得出答案即可。
11.已知 是定义在 上的偶函数， ，且当 时， ，则下列说法正确的是（    ）
A.  是以 为周期的周期函数
B. 
C. 函数 的图象与函数 的图象有且仅有3个交点
D. 当 时，
【答案】 A,C,D
【考点】函数的图象，函数的周期性，函数的值
【解析】【解答】对于A选项，由已知条件可得 ，
所以，函数 是以4为周期的周期函数，A选项正确；
对于B选项， ， ，则 ，B选项错误；
对于C选项，作出函数 与函数 的图象如下图所示：

当 时， ，结合图象可知， .
当 时， ，即函数 与函数 在 上的图象无交点，
由图可知，函数 与函数 的图象有 个交点，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，则 ，
所以， ，D选项正确.
故答案为：ACD.

【分析】根据题意由已知条件整理即可得出函数的周期性由此判断出选项A正确，由已知条件代入数值计算出选项B错误，作出函数的图象利用数形结合法即可判断出选项C正确，利用已知条件代入整理即可得出函数的解析式，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
12.如图，直四棱柱 中，底面 为平行四边形， ， ，点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），点 是半圆弧 上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（ ）

A. 四面体 的体积是定值
B.  的取值范围是
C. 若 与平面 所成的角为 ，则
D. 若三棱锥 的外接球表面积为 ，则
【答案】 B,C,D
【考点】数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算，点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为直四棱柱 ，所以点 到面 的距离为1，
所以 ，
由于 不为定值，得 不为定值，A不符合题意；
在 中， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，B符合题意；
由于 面 ，所以 与面 所成的角为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，C符合题意；
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则 、 、 、 ，
线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，
设球心为 ，点 ，则 ，
由 可得 ，
化简可得 ，则 ，
易知 ，则 ，
，因此， ，D选项正确.
故答案为：BCD.

【分析】由直四棱柱的几何性质即可得出点到面的距离，再由体积公式代入数值计算出结果由此判断出选项A错误，由数量积的公式代入数值计算出结果由此判断出选项B正确；根据题意建立空间直角坐标求出各个点以及向量的坐标，结合题意得出令结合y的取值范围即可得到 ， 从而得出 ， 由此得面积的取值范围，由此判断出选项C正确，D错误，从而得出答案。
三、填空题（共4题；共20分）
13.已知 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中 项的系数是________．
【答案】 84
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】依题意， ，解得n=7，
的展开式的通项为 ，
由 得 ，所以所求展开式中 项的系数是 .
故答案为：84

【分析】根据题意利用二项式系数的性质计算出n的值，再由二项展开式的通项公式，令求出r的值，并代入到通项公式计算出结果即可。
14.已知 ，则 ________．
【答案】
【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】 ，解得 ，
因此， .
故答案为： .

【分析】首先由两角和的正切公式计算出 ， 再由二倍角的余弦公式以及同角三角函数的基本关系式代入数值计算出结果即可。
15.设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 分别与双曲线的左、右支交于点 、 ，若以 为直径的圆过点 ，且 ，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，又 ，所以△ 为等腰直角三角形，所以 .

设 ，则 由双曲线的定义可得： ，两式相加得： ，即 .所以 ，解得： .
在△ 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
即 ，整理化简得：
.
故答案为： .

【分析】利用双曲线的性质以及定义得出即 ， 结合三角形的几何计算关系求出 ， 再由余弦定理整理结合整体思想计算出结果即可。
16.设函数 ， ，若存在 、 使得 成立，则 的最小值为1时，实数 ________．
【答案】
【考点】函数单调性的性质，函数的最值及其几何意义，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，
由 可得 ， ，
的最小值为1，即求函数 在区间 上的最小值为1，
且 ，当 时， ， ，则 ，
所以，函数 在区间 上为增函数，
所以， ，解得 .
故答案为： .

【分析】根据题意构造函数 ， 已知条件求出 ， 进而得出当 的最小值为1，即求函数 在区间 上的最小值为1，利用导函数的性质得出函数的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值，由此计算出a的值即可。
四、解答题（共6题；共70分）
17.在① ；② ；③ ；
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知 的内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 ，______．
（1）求A的值；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】 （1）解：若选①：因为 ，
所以由正弦定理得 ，整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
若选②：因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ．
若选③：因为 ，所以 ，
即 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 ．

（2）因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选①首先整理原式再由正弦定理得出 ， 结合余弦定理得出cosA的值，由此求出角A的大小。 若选②利用同角三角函数的基本关系式整理得出 ， 由角A的取值范围即可求出角A的大小。 若选③利用两角和的余弦公式以及二倍角的余弦公式整理得出 ， 求解出cosA的值，由此得出角A的大小。
(2)
由已知条件结合正弦定理计算出c的值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
 
18.已知数列 是正项等比数列，满足 是 、 的等差中项， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】 （1）设等比数列 的公比为 ，
因为 是 、 的等差中项，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
因为数列 是正项等比数列，所以 ．
因为 ，即 ，解得 ，所以 ；

（2）解法一：（分奇偶、并项求和）
由（1）可知， ，
所以， ，
①若 为偶数，
；
②若 为奇数，当 时， ，
当 时， 适合上式，
综上得 （或 ， ）；
解法二：（错位相减法）
由（1）可知， ，
所以， ，
，
所以
所以

，
所以 ， ．
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式以及等差数列的性质整理得出 ， 求解出q的值，再由等比数列的通项公式代入数值即可得出结果。
(2) 解法一：由(1)的结论得出数列的通项公式，对n分情况讨论结合等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
解法二： 由(1) 的结论求出数列的通项公式，再由错位相减法求出结果即可。
 
 
19.甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了 局比赛，求随机变景 的分布列及数学期望．
【答案】（1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．

（2）随机变量的取值为3，4，5，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
X
3
4
5
P



所以．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 1)根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且甲获胜的概率进而求得甲获胜的概率；
(2)随机变量x的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.
 
 
20.如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 中点， ， ， ．

（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】 （1）因为 ， 为 中点，所以 ，因为 是矩形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；

（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知， 平面 ，
故以点A为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，如图：

则 ， ， ， ， ，则 ，
所以 ， ， ， ，
由（1）知， 为平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
因为二面角 为锐角，则二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线再由中点的性质得出线线垂直，再由线面垂直的判定和性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值 。
 
 
21.己知抛物线 ，过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 ， 两点， 交抛物线 于 、 两点，当点 的横坐标为1时，抛物线 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
【答案】 （1）解：因为 可化为 ，所以 ．
因为当 点的横坐标为1时，抛物线 在 点处的切线斜率为 ，
所以 ，所以 ，
所以，抛物线 的标准方程为 ．

（2）由（1）知点 坐标为 ，
由题意可知，直线 和 斜率都存在且均不为0，
设直线 方程为 ，
由 联立消去 并整理得， ，
，
设 ， ，则 ， ，
所以， ，
因为 为 中点，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
所以，直线 的方程为
整理得 ，
所以，直线 恒过定点 ．
所以 面积 ，
当且仅当 即 时， 面积取得最小值为8．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导由此得出抛物线 在 点处的切线斜率，再由题意就求出p的值，由此得出抛物线的方程。
(2)由(1)求出T的坐标再由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，利用直线垂直斜率之间的关系整理得出从而得出直线 恒过定点 ， 结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出最小值。
 
 
22.已知函数 ， ， ．
（1）当 时，判断函数 在定义域内的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】 （1）当 时， ，所以 ，
令 ，则 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
则 ，即 ，仅在 时， ，
所以函数 在 内为减函数．

（2）因为 ， ， ，
若 恒成立，即对任意的 ， 恒成立，
即对任意的 ， 恒成立，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
若 对任意 恒成立，则 恒成立．
设 ， ，则 ，
所以，当 时， 单调递增，所以 ，
所以若 恒成立，则实数 的取值范围 ．
【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合
【解析】【分析】(1)首先由a的取值得出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件得出若 恒成立，即对任意的 ， 恒成立，即恒成立即 ， 构造函数利用其导函数的性质得出函数的单调性，即由此得到 当 时， 单调递增，从而得出 ， 由此得出a的取值范围。