天津市滨海新区2020届高三下学期毕业班质量检测(二)数学试题(含答案)

2020年天津市滨海新区高三毕业班质量监测（二）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合，，则

A.  B.   C.   D.

（2）“”是“”的

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件

C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件

（3）函数的图象大致为

A.     B.

C.   D.

（4）如图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间中的学生人数是

A.60     B.55     C.45     D.50

（5）已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为

A.        B.

C.        D.

（6）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为

A.2     B.    C.3     D.

（7）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆.如果圆柱的侧面积为，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为

A.    B.16     C.    D.

（8）设，则的最小值为

A.    B.    C.4     D.

（9）已知函数.若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为

A.   B.    C.   D.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

（10）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为________.

（11）过原点且倾斜角为的直线与圆相交，则直线被圆截得的弦长为_____.

（12）在二项式的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）

（13）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则______.

（14）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为______；记三人命中总次数为，则______.

（15）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，则______；若在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（16）（本小题满分14分）的内角，，的对边分别为，，，已知.

（Ⅰ）若，的面积为6，求；

（Ⅱ）若，求.

（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.

（18）（本小题满分15分）已知椭圆上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆的短轴为直径的圆经过两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；

（Ⅱ）设，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，，试判断与所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.

（19）（本小题满分15分）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列前项和；

（Ⅲ）在数列中，是否存在连续的三项，，，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由.

（20）（本小题满分16分）已知函数.

（Ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，若，恒有成立，求的最小值.

2020年天津市滨海新区高三毕业班质量监测（二）

数 学 答 案

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

   （10）-2；               （11）2；            （12）60；

   （13）；           （14）， ；             （15）；．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．

16. 解：（Ⅰ），

，

由正弦定理可得，

又，，

的面积为，

解得：．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

又，

由余弦定理可得，

，

解得：．

，

．

故．

17.解：（1）在中，，，

则

，，平面，，平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，0，，，0，，，0，，，，，，，，

设平面的法向量为，

，

由，得．

设平面的法向量为，，，

，

由，得

．

二面角是钝角，二面角的正弦值为．

（Ⅲ）设，则

设平面的法向量为，

，

解得，   ．

18.解：（1）由椭圆定义可得，又且，

解得，，即椭圆的标准方程为，

则圆的方程为；

（2）证明：设，，直线，

令可得．

将和联立可得

，

则，，，

故，

直线的斜率为，

直线，

令可得．

设，，则，

由，，

可得，

所以，即是．

所以与所在的直线互相垂直

19.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则，，，，．

，，即，

又，，即，解得，．

对于，有，

故，．

（2）．

（3）在数列中，仅存在连续的三项，，，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1，下面说明理由

若，则由，得．

化简得，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．

若，则由，得

化简得，

令，则．

因此，，故只有，此时，．

综上，在数列中，仅存在连续的三项，，，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1．

20.解：（1）由，得，

由在上单调递增，可得恒成立，

即恒成立，

当时，；当，则，，

的取值范围为，．

（2）设，，

则，

设，则，

单调递增，即在上单调递增，

，

当时，，在上单调递增，

，不符合题意；

当时，，在上单调递减，

，符合题意；

当时，由于为一个单调递增的函数，

而，，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，

从而在，上单调递减，在单调递增，

因此只需，，

，从而，

综上，的取值范围为，

因此，

设（a），则（a），

令（a），则，

（a）在上单调递减，在上单调递增，

从而（a），

的最小值为．