陕西省咸阳市2022届高三下学期理数三模试卷及答案

 高三下学期理数三模试卷

一、单选题

1．设，其中为虚数单位，是实数，则（　　）

A．1 B． C． D．2

2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是(　　)

A． B．

C． D．

3．已知正项等比数列中，，，则（　　）

A．16 B．32 C．64 D．-32

4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（　　）（参考数据：）

A． B． C． D．

6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（　　）

A．1 B． C．2 D．

7．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） 

A． B． C． D．

8．已知 ，则 （　　）  

A． B． C． D．

9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．4

10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（　　）

A．-150 B．150 C．-500 D．500

11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（　　）

A． B． C． D．

12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知向量，，且，则　     　．

14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为　                              　．

15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为　         　．

16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”

（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是　                  　；

（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是　     　.

三、解答题

17．已知的数．

（1）求的单调增区间；

（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．

18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．

（1）证明：平面PBD；

（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．

19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：

附：

参考公式：，其中．

（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？

（2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．

20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．

（1）求椭圆C方程；

（2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．

21．设函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．

22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．

（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．

23．设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】D

10．【答案】B

11．【答案】D

12．【答案】C

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)

（2）①②

17．【答案】（1）解：，

令，解得，

故函数的单调递增区间为．

（2）解：由（1）可知，则，

又，故．

设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，

∴，故的外接圆的面积为．

18．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，

所以，，

在直角中，，所以，

在直角中，可得，所以，可得，

又因为四边形为平行四边形，所以，所以，

由于平面，平面，所以，

又因为，所以平面.

（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，

故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示

可得，，，，

因为是的中点，所以，

则，，，

设平面的法向量，则，

取，则，所以，

设直线与平面所成的角为，其中，

可得，所以

故直线与平面所成角的余弦值为．

19．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：

根据上面的列联表得，

故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．

（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，

所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，

可得，，，

所以随机变量的分布列为：

所以数学期望．

20．【答案】（1）解：

∴椭圆C方程为：．

（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，

①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，

设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，

，

由得，

将代入上式可得，

所以，∴．

②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，

此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．

综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．

21．【答案】（1）解：，∴．

，．

又，∴在点处的切线方程为．

（2）解：，的定义域为，

，令．

当，即时，，在上单调递增，

又，∴在上无零点，不合题意；

当，即时，有两根，；

当，即时，，，

此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；

当时，此时在上无零点，不合题意；

当时，，

此时在上单调递减，在上单调递增，，

∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．

综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．

22．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，

根据极坐标与直角的互化公式，

可得的极坐标方程为，

化简得，

即的极坐标方程为，

又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．

（2）解：设A、B极坐标分别为、，

将代入，整理得，

所以，，

所以．

23．【答案】（1）解：

当时，，无解；

当时，，解得；

当时，，解得；

综上所述，不等式的解集为．

（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，

故要满足题意，只需，

解得或，

即a的取值范围为．