天津市红桥区2022届高三下学期数学二模试卷及答案

高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合 ， ，则 （　　）  

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设，，，则（　　）

A． B． C． D．

4．过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（　　）

A． B． C． D．

5．曲线 在点（1,1）处切线的斜率等于（　　）.  

A． B． C．2 D．1

6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于的棵数是（　　）

A．18 B．24 C．36 D．48

7．如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　）

A． B． C． D．

8．设，，若，则的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．

9．已知为等边三角形，，设点，满足，，，若，则（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

10．若是虚数单位，则复数　     　.

11．若二项式的展开式中的系数是84，则实数　     　．

12．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为　     　.

13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　     　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　     　．  

14．已知函数 的部分图象如图所示，则 　     　. 

15．设函数，若无最大值，则实数的取值范围是　     　．

三、解答题

16．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，，.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

17．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值.

18．已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

19．设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和.记，求；

（Ⅲ）求.

20．已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】C

10．【答案】-1

11．【答案】1

12．【答案】4π

13．【答案】；

14．【答案】

15．【答案】a＜-1

16．【答案】（1）解：因为，所以，显然为锐角，

因为，所以，

由余弦定理可知：

（2）解：由正弦定理可知：

（3）解：因为，所以，因此为锐角，

由（2）可知：，所以有，

因此，

，

于是有

17．【答案】（1）证明：因为为的中点，，

所以，

因为平面，，

所以平面，

又平面，所以，

又平面，

所以平面

（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

因为，，

所以，

则，

则，

设为平面的一条法向量，

则，令，则，

所以，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为

（3）解：，

因为平面，，

所以平面，

则即为平面的一条法向量，

由（2）的平面的一条法向量，

则，

由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为

18．【答案】（1）解：因为点、之间的距离为，

所以，因为椭圆的离心率，所以有，而，

因此组成方程组为：

（2）解：设的方程为，与椭圆的标准联立为：

，

于是有，此时设，

于是有，

假设存在常数，使得与共线，

因为，，

所以有，

，因为，

所以，不满足，

因此不存在常数，使得与共线.

19．【答案】解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为（），

由，，可得，解得或（舍去），

所以，

由，，

则，解得，

所以，解得，

所以，解得，

且，解得，

所以.

综上所述，，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，

，

故.

（Ⅲ）设，

，①

，②

①②可得，

即，

所以，

故

20．【答案】解：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．

故，符合题意．

②当时，．

当变化时的变化情况如下表：

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故