辽宁省大连市2022届高三数学第二次模拟考试试卷及答案

 高三数学第二次模拟考试试卷

一、单选题

1．设集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知复数z满足z=2+，则复数z的虚部为（　　）

A．1 B．-2 C．2 D．-2

3．若直线平分圆的周长，则ab的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

4．某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为(　　)

A．700 B．800 C．900 D．950

5．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(　　)

A．存在点F，使得为直角

B．对于任意点F，都有直线∥平面

C．对于任意点F，都有平面平面

D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大

6．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：

已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为(　　)

A．0.6 B．0.4 C．-0.4 D．-0.6

7．下列不等式正确的是(　　)

A． B． C． D．

8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图像与直线y=2所围成封闭图形的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．32

二、多选题

9．为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）互不相等，且从小到大分别为，则下列说法正确的有（　　）

A．的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

B．的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

C．可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

D．的中位数为

10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（　　）

A．

B．

C．

D．

11．已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（　　）

A．动点P的轨迹方程为 B．△PAB面积的最大值为

C．的最大值为5 D．的最小值为

12．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（　　）

A．若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为

B．若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为

C．若，则球面△NPQ的面积为

D．若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为

三、填空题

13．已知直线为双曲线的一条渐近线，则C的离心率为　     　.

14．将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为　     　.

15．已知，，点P在曲线上，则的最小值为　     　.

16．若对任意恒成立，则实数k的取值范围是　         　.

四、解答题

17．已知数列是首项的正项等比数列，是公差d=2的等差数列，且满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若_______，求的前n项和.

请在①；②.这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答.

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且∠ABC的平分线交AC于点M.

（1）求∠ABC的大小；

（2）若BM=2，且CM=2MA，求△BMC的面积.

19．2022年2月4日至2月20日，北京冬奥会在我国盛大举行.在冬奥会如火如荼地进行过程中，不少外国运动员纷纷化身“干饭人”，在社交媒体上发布沉浸式“吃播”，直呼“好吃到舍不得回家”.其中麻辣烫､豆沙包､宫保鸡丁､饺子……不少传统中国美食也借此机会频频亮相.2月16日美联社称麻辣烫成为欧洲部分运动员眼中最好吃的冬奥会美食.荷兰速滑运动员尤塔·里尔达姆（juttaleerdam）就对麻辣烫赞不绝口，在社交媒体上发布的视频获得20多万点赞.西班牙冰舞选手奥利维亚·斯马特（oliviasmart）和搭档阿德里安·迪亚斯（adriandiaz）也告诉美联社，他们每天都在食堂吃麻辣烫.针对于此，欧洲某中餐馆决定在餐厅售卖麻辣烫.该中餐馆通过中国美食协会共获得两种不同地方特色麻辣烫配方（分别称为A配方和B配方），并按这两种配方制作售卖.由于不熟悉当地居民是否能吃辣，故按照麻辣程度定义了每碗麻辣烫的麻辣值（麻辣值越大表明越麻辣），得到下面第一天的售卖结果：

A配方的售卖频数分布表

B配方的售卖频数分布表

定义本餐厅麻辣烫的“麻辣度指数”如下表：

（1）试分别估计第一天A配方，B配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方麻辣烫的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价A配方的“麻辣度指数”比B配方的“麻辣度指数”高的概率.

20．在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=CF=2EF，M，P分别是AC，CF的中点.

（1）求证：平面BCD⊥平面PBM；

（2）求二面角E−BD−P的余弦值.

21．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且.

（1）抛物线E的标准方程；

（2）如图所示，过点和点分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且.

（i）试求实数k的值；

（ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围.

22．已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，若函数有两个极值点，，且.

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求证：.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】B,C

10．【答案】B,C,D

11．【答案】B,C,D

12．【答案】A,B,C

13．【答案】

14．【答案】3

15．【答案】

16．【答案】(-∞，1]

17．【答案】（1）解：设正项等比数列的公比为q，则，

根据题意，由，，

可得，

即，解得或（舍）

所以，.

（2）解：选①解析：由（1）可得，

所以

所以

选②解析：由（1）可得，

所以①

则②

①-②得

，

所以.

18．【答案】（1）解：在△ABC中，由，得到，

由正弦定理得：．

由余弦定理得：．

∵，∴．

（2）解：∵，BM为∠ABC的平分线，∴．

由三角形角平分线性质得，∴，

设AB=m，BC=2m，，

即，得到，，

∴．

19．【答案】（1）解：A配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数为

，

B配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数为

，

因为，

所以A配方的麻辣烫的麻辣值的平均数大于B配方的麻辣烫的麻辣值的平均数.

（2）解：设“其评价A配方麻辣度指数比B配方麻辣度指数高”为事件C.

记“其评价A配方的麻辣度指数为4”为事件，“其评价A配方的麻辣度指数为5”为事件，

“其评价B配方的麻辣度指数为3”为事件，“其评价B配方的麻辣度指数为4”为事件，

则，，

，.

因为事件与相互独立，其中，，

所以

.

所以其评价A配方的麻辣度指数比B配方麻辣度指数高的概率为0.33.

20．【答案】（1）证明：在△ABC中，因为AB=BC，且M为AC中点，故可得BM⊥AC，

由CF⊥平面ABC，且面ABC，可得CF⊥BM，

又，AC，面ACFD，BM⊥平面ACFD，

又面ACFD，BM⊥CD.

AB⊥BC，，所以，同理，

M，P分别是AC，CF的中点.所以，又∠CFD=∠MCP=90°，

故，可得∠FCD=∠CMP，又∠FCD+∠DCM=90°，

故∠CMP+∠DCM=90°，故可得PM⊥CD，

又，PM，面PBM，故可得CD⊥平面PBM，

又平面BCD，故平面BCD⊥平面PBM.

（2）解：设AB=BC=CF=2EF=2则CP=1，可得，连接DM，

由（1）所知，BM，MC，DM两两垂直，故以M为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

易知，，，

由BC=2EF，可得，，，

设平面EBD的法向量为，

则令，得，

设平面BDP的法向量为，

则，令，得，

所以，

又因为二面角E−BD−P为锐二面角，所以二面角E−BD−P的余弦值.

21．【答案】（1）解：设点，∵，∴，

∴，∴，

所以抛物线E的标准方程为.

（2）解：(i)设点，，，，

则，

同理：，，.

又因为，所以，即，

所以，即，∴.

（ii）由（i）得：代入可得：，

所以，

点O到直线AB的距离为.

∴.

同理可求得：.

∴，

∴，

，

∵，∴.

综上，实数的取值范围为.

22．【答案】（1）解：∵，

∴当时，恒成立，∴在上单调递增，无单调递减区间；

当时，令，即，∴，

∴在上单调递增，上单调递减.

综上，当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）解：因为函数有两个极值点，，

所以在R上有两个不等实数根，

（i）设，

则，

设，

∴在上单调递增，

又，∴时，

∴在上单调递增，同理在上单调递减，

∴，∴即，

又当时，若，，

，

∴在上存在一个变号零点，

若，，

，所以在上有一个变号零点，

又函数在上为减函数，在上为增函数，

所以当函数有两个不相等的变号零点和，

即有两个极值点和.

∴若有两个极值点，则.

（ii）∵，所以由（i）知，，

且在单调递增，单调递减，单调递增.

设，

∴，

，

，

设，

，

∴在上单调递增，即.

∴在单调递增，

∴，

∴，又，∴，

∴，

∴，

∴原不等式成立.