贵州省贵阳市2022-2023学年高三上学期开学联合考试 理科数学试题及答案

贵州省高三年级联合考试

数学(理科)

考生注意：

1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分, 共150分。考试时间120分钟。

2. 请将各题答案填写在答题卡上。

3. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。

第 I 卷

一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数,且, 其中为实数, 则

2. 设集合 , 则

3. 目前, 全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后,考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高三年级选择“物理、化学、生物”,“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200,320,280. 现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40 位学生进行调查, 则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是

4. 已知 , 则

5. 已知函数的图象向右平移个单位长度后, 得到函数 的图象, 若的图象关于原点对称, 则

6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点, 若, 则 为坐标原点)的面积是

7. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一, 也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体, 其直观图如图2所示, 其中分别是上、下底面圆的圆心, 且,则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

8. 已知 , 则

9. 已知函数的最小值为, 则

10. 已知的内角对应的边分别是, 内角的角平分线交边于点, 且 .若, 则面积的最小值是

11. 已知函数 若关于的不等式恒成立, 则的取值范围是

12. 在长方体中, , 点在棱 上, 且, 点在正方形内. 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角, 则的最小值是

第II卷

二、填空题: 本大题共4小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知向量, 若, 则_____.

14. 展开式中的常数项是_____. (用数字作答)

15. 甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念, 则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是_____.

16. 已知双曲线的左焦点为, 点在双曲线的右支上, .若 的最小值是 9 , 则双曲线的离心率是_____.

三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22 、23题为选考题, 考生根据要求作答.

(一) 必考题: 共 60 分.

17. (12 分)

在数列中, .

(1) 求的通项公式;

(2)若, 求数列的前项和.

18. (12 分)

某校举办传统文化知识竞赛, 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生, 根据他们的竞赛成绩(满分: 100 分), 按分成五组, 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校学生成绩的中位数;

(2)已知样本中竞赛成绩在的女生有3人,从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望。

19. (12 分)

如图,在直四棱柱中,四边形是菱形, 分别是棱的中点.

(1) 证明:平面平面.

(2) 若, 求二面角的余弦值.

20.（12 分)

已知椭圆的离心率是, 点在椭圆 上.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点的直线与椭圆交于两点, 求为坐标原点)面积的最大值.

21.（12 分)

已知函数.

(1) 求的最小值;

(2) 证明: .

(二)选考题: 共10分. 请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22. [选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)

在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为(为参数), 以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是.

(1) 求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;

(2) 若直线与曲线交于两点,点，求的值.

23. [选修 4-5: 不等式选讲] (10 分)

已知函数.

(1) 求不等式的解集;

(2) 若恒成立,求的取值范围.

贵州省高三年级联合考试

数学参考答案(理科)

17.17. 解: (1)因为

所以当 时,

所以 , 所以

当 时, 满足上式. 则 .

(2) 由 (1) 可得, 则 ,

从而 ,

故 .

18. 解: (1)因为 ,

所以中位数在[70,80)内.

设中位数为, 则 , 解得=75.

(2) 由题意可知的所有可能取值为.

,

,

.

则的分布列为

故 .

19. (1)证明 : 连接BD.

因为四边形是菱形, 所以 .

由直四棱柱的定义可知平面, 则.

因为平面平面, 且 , 所以平面.

由直四棱柱的定义可知 .

因为分别是棱 的中点, 所以,

所以四边形 是平行四边形, 则 .

故 平面.

因为平面, 所以平面 平面.

(2) 解: 记 , 以为原点, 分别以 的方向为轴的正方向, 垂直平面 向上为轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.

设, 则 , 故 .

设平面的法向量为 ,

则 令 , 得

设平面的法向量为

则 令得

设二面角, 由图可知为锐角，则

20. 解: (1) 由题意可得 ，解得故椭圆C的标准方程为

(2) 由题意可知直线的斜率存在, 设直线 .

联立 整理得

, 所以, 即 ,

则

故

点到直线的距离 , 则 的面积

设 , 则 ,

故 , 当且仅当时,等号成立,

即面积的最大值为.

21. (1) 解: 由题意可得 ,

则函数 在 上单调递增, 且.

由, 得 ; 由, 得.

则在上单调递减, 在上单调递增,

故 .

(2)证明:要证 , 即证 .

由(1)可知当时, 恒成立.

设 , 则 .

由, 得 ; 由 , 得.

则在 上单调递增, 在 上单调递减,

从而 , 当且仅当时, 等号成立.

故, 即 .

22. 解: (1) 由 (为参数), 得,

故曲线的普通方程为.

由, 得,

故直线的直角坐标方程为

(2) 由题意可知直线的参数方程为 (为参数).

将直线的参数方程代人曲线的普通方程并整理得,

设对应的参数分别是 ,

则 ,

故 .

解得 , 即不等式 的解集为 .

(2) 恒成立, 即 恒成立.

因为 ,

所以 , 解得 或 .

即的取值范围是 .