所属成套资源:2023届高考数学一轮复习试卷及答案解析(精选)
2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点50 二项式定理+答案解析
展开
这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点50 二项式定理+答案解析,共10页。试卷主要包含了基础小题,高考小题,模拟小题等内容,欢迎下载使用。
考点测试50 二项式定理
高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题,分值为5分,中等难度
考纲
研读
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
一、基础小题
1.的展开式中的常数项为( )
A.-24 B.-6
C.6 D.24
答案 D
解析 二项展开式的通项为Tr+1=C(2x)4-r·=C24-r(-1)rx4-2r,令4-2r=0,得r=2,故常数项为C22(-1)2=24.故选D.
2.已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,则(2x-1)n的展开式中x3的系数为( )
A.80 B.40
C.-40 D.-80
答案 A
解析 由题意,得C=C,所以3+7=2n,解得n=5,则(2x-1)5的展开式的通项公式为Tr+1=C(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rCx5-r,由5-r=3,得r=2,所以x3的系数为(-1)2×C×23=80.故选A.
3.(2-x)n的展开式中所有二项式系数和为64,则x3的系数为( )
A.-160 B.-20
C.20 D.160
答案 A
解析 由(2-x)n的展开式中所有二项式系数和为64,得2n=64,即n=6.(2-x)6展开式的通项为Tr+1=C26-r(-x)r=(-1)rC26-rxr,取r=3,可得x3的系数为(-1)3×C×23=-160.故选A.
4.若(n∈N*)的展开式中常数项为第9项,则n的值为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 D
解析 ∵(n∈N*)的展开式中的第9项T9=C(-3)82n-8x2n-20为常数项,故有2n-20=0,∴n=10.故选D.
5.若的展开式中的系数为-80,则实数a=( )
A.2 B.1
C.-2 D.-1
答案 C
解析 二项式的展开式的通项为Tr+1=Cx5-r=arCx5-2r,令5-2r=-1,得r=3,∴a3C=-80,∴a=-2.故选C.
6.(x2+1)的展开式的常数项是( )
A.5 B.-10
C.-32 D.-42
答案 D
解析 由于展开式的通项为Tr+1=C(-2)r=C(-2)rx,故(x2+1)·的展开式的常数项是C×(-2)+C×(-2)5=-42.故选D.
7.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64∶1,则展开式中常数项为( )
A.540 B.480
C.320 D.160
答案 A
解析 在的展开式中,令x=1,可得各项系数和为4n,二项式系数和为2n,各项系数和与二项式系数和之比为=64,∴n=6,∴的展开式的通项为Tr+1=C36-r·x6-2r.令6-2r=0,求得r=3,可得展开式中的常数项为C×33=540.故选A.
8.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=( )
A.284 B.356
C.364 D.378
答案 C
解析 令x=0,则a0=1,
令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①
令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②
由①②两式左右分别相加,得2(a0+a2+…+a12)=36+1=730,所以a0+a2+…+a12=365,又a0=1,所以a2+a4+…+a12=364.故选C.
9.(多选)关于的展开式,下列说法正确的是( )
A.展开式共有6项
B.展开式中的常数项是-240
C.展开式中各项系数之和为1
D.展开式中的二项式系数之和为64
答案 CD
解析 的展开式共有7项,故A错误;展开式的通项为Tr+1=C(2x)6-r=(-1)r26-rCx6-3r,令6-3r=0,得r=2,所以展开式中的常数项为(-1)224C=240,故B错误;令x=1,则展开式中各项系数之和为(2×1-1)6=1,故C正确;的展开式中的二项式系数之和为26=64,故D正确.故选CD.
10.(多选)关于的展开式,下列结论正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为32
B.所有项的系数和为0
C.常数项为-20
D.二项式系数最大的项为第3项
答案 BC
解析 因为==,所以二项式系数和为26=64,故A错误;令x=1,得所有项的系数和为0,故B正确;因为展开式的通项为Tr+1=Cx6-r=(-1)rCx6-2r,令6-2r=0得r=3,所以常数项为(-1)3C=-20,故C正确;二项式系数最大为C,为第4项,故D错误.故选BC.
11.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=( )
A.8 B.7
C.6 D.5
答案 C
解析 由已知条件可得因为13a=7b,所以13C=7C,可得
13×
=7×,
即得13=7×,解得m=6.故选C.
12.若(2x-1)5的展开式中各项系数的和为2,则实数a=________,该展开式中的常数项为________.
答案 1 10
解析 因为(2x-1)5的展开式中各项系数的和为2,所以令(2x-1)5中的x=1可得a+1=2,所以a=1.因为(2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=C(2x)5-r(-1)r=C(-1)r25-rx5-r,r=0,1,2,3,4,5,所以(2x-1)5展开式中常数项为1×C×(-1)4×2=10.
二、高考小题
13.(2020·北京高考)在(-2)5的展开式中,x2的系数为( )
A.-5 B.5
C.-10 D.10
答案 C
解析 (-2)5展开式的通项为Tr+1=C()5-r(-2)r=(-2)rCx,令=2,得r=1,则x2的系数为(-2)1C=(-2)×5=-10.故选C.
14.(2020·全国Ⅰ卷)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
答案 C
解析 (x+y)5展开式的通项为Tr+1=Cx5-ryr(r∈N且r≤5),所以xTr+1=xCx5-ryr=Cx6-ryr,Tr+1=Cx5-ryr=Cx4-ryr+2.在xTr+1=Cx6-ryr中,令r=3,可得xT4=Cx3y3=10x3y3,该项中x3y3的系数为10,在Tr+1=Cx4-ryr+2中,令r=1,可得T2=Cx3y3=5x3y3,该项中x3y3的系数为5,所以x3y3的系数为10+5=15.故选C.
15.(2019·全国Ⅲ卷)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
答案 A
解析 解法一:(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为1×C+2C=12.故选A.
解法二:∵(1+2x2)(1+x)4=(1+2x2)(1+4x+6x2+4x3+x4),∴x3的系数为1×4+2×4=12.故选A.
16.(2021·北京高考)4展开式中常数项为________.
答案 -4
解析 4的展开式的通项Tr+1=C(x3)4-rr=(-1)rCx12-4r,令12-4r=0,得r=3,则常数项为T4=(-1)3C=-4.
17.(2021·天津高考)在的展开式中,x6的系数是________.
答案 160
解析 6的展开式的通项为Tr+1=C(2x3)6-rr=26-rCx18-4r,令18-4r=6,解得r=3,所以x6的系数是23C=160.
18.(2021·浙江高考)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=________;a2+a3+a4=________.
答案 5 10
解析 (x-1)3的展开式的通项Tr+1=Cx3-r·(-1)r,(x+1)4的展开式的通项Tk+1=Cx4-k,则a1=C+C=1+4=5,a2=C(-1)1+C=3,a3=C(-1)2+C=7,a4=C(-1)3+C=0.所以a2+a3+a4=3+7+0=10.
19.(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答).
答案 240
解析 展开式的通项为Tr+1=C(x2)6-r=C2rx12-3r.令12-3r=0,解得r=4,∴的展开式中常数项是C×24=15×16=240.
20.(2020·天津高考)在的展开式中,x2的系数是________.
答案 10
解析 因为的展开式的通项为Tr+1=Cx5-r=C2rx5-3r(r=0,1,2,3,4,5),令5-3r=2,解得r=1.所以x2的系数为C×2=10.
21.(2020·浙江高考)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=________;a1+a3+a5=________.
答案 80 122
解析 (1+2x)5展开式的通项为Tr+1=C(2x)r=2rCxr,令r=4,则T5=24Cx4=80x4,故a4=80;a1+a3+a5=21C+23C+25C=122.
三、模拟小题
22.(2021·湖南长沙一中模拟)(1-)10的二项展开式中,x的系数与x4的系数之差为( )
A.-220 B.-90
C.90 D.0
答案 D
解析 因为(1-)10的二项展开式中,通项公式为Tr+1=C(-1)rx,故x的系数与x4的系数之差为C-C=0.故选D.
23.(2021·湖南师大附中高三月考)(x2+2)的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
答案 D
解析 第一个因式取x2,第二个因式取得1×C×(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得2×(-1)5=-2,所以展开式的常数项是5+(-2)=3.
24.(2021·河北高三4月模拟)若展开式中所有项的系数和为64,则展开式中第3项为( )
A.135 B.-540
C.540 D.135x
答案 D
解析 因为展开式中所有项的系数和为64,令x=1,可得(-2)n=64,所以n=6.因为通项公式为Tr+1=C(-3)rx3-r,所以T3=C(-3)2x=135x.故选D.
25.(2021·新高考八省联考)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )
A.60 B.80
C.84 D.120
答案 D
解析 (1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是C+C+C+…+C,因为C+C=C且C=C,所以C+C=C+C=C,所以C+C+C=C+C=C,以此类推,C+C+C+…+C=C+C=C==120.故选D.
26.(2021·福建福州高三5月调研)在(x+y+z)6的展开式中,xyz4的系数是( )
A.15 B.30
C.36 D.60
答案 B
解析 (x+y+z)6相当于6个(x+y+z)相乘,由二项式定理的原理可知,xyz4的系数是CCC=6×5×1=30.故选B.
27.(多选)(2021·江苏南京中学高三开学考试)已知(2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则( )
A.a0的值为2
B.a5的值为16
C.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5
D.a1+a3+a5的值为120
答案 ABC
解析 令x=0,得a0=2,故A正确;2×(-2)5C+(-2)4C=16,故a5=16,故B正确;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=-3 ①,又a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5,故C正确;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=243 ②,由①②得a1+a3+a5=-123,故D错误.故选ABC.
28.(多选)(2021·山东省泰安第二中学开学考试)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
答案 BCD
解析 由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10,又展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1,所以二项式为=,则展开式中奇数项的二项式系数和为×1024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与x的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tr+1=Cx2(10-r)x可得2(10-r)-r=0,解得r=8,故C正确;由通项可得2(10-r)-r=15,解得r=2,所以系数为C=45,故D正确.故选BCD.
29.(2021·海南第五次模拟)(x-3y+2)5的展开式中,常数项为________,所有不含字母x的项的系数之和为________.
答案 32 -1
解析 常数项为25=32;令x=0,y=1,即得所有不含字母x的项的系数之和为(-1)5=-1.
30.(2021·广东省汕头市金山中学高三年级上学期联考)已知二项式(x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2=________.
答案 -64
解析 (x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,令x=-1,则(--1)3=a0-a1+a2-a3=(a0+a2)-(a1+a3),令x=1,则(-1)3=a0+a1+a2+a3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a1+a3)[(a0+a2)-(a1+a3)]=(-1)3×(--1)3=-64.
本考点在近三年高考中未涉及此题型.
相关试卷
这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点57 用样本估计总体+答案解析,共22页。试卷主要包含了基础小题,高考小题,模拟小题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点56 随机抽样+答案解析,共9页。试卷主要包含了基础小题,高考小题,模拟小题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点55 二项分布与超几何分布、正态分布+答案解析,共15页。试卷主要包含了基础小题,高考小题,模拟小题等内容,欢迎下载使用。