2022届陕西省西安中学等八校高三下学期3月第一次联考理科数学试题含解析

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陕西省西安地区八校2022届高三下学期3月第一次联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数据，0，1，2，5，6的方差是（       ）A．46 B． C． D．2．已知全集（是自然数集），集合，则（       ）A． B． C． D．3．已知复数z满足（为虚数单位），则（       ）A． B． C． D．4．如图，在直角中，，，，，，.向中任意投掷一粒豆子，则豆子落在正方形区域内的概率是（       ）A． B． C． D．5．已知双曲线的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是（       ）A． B． C． D．6．如图所示算法框图，则输出的z的值是（       ）A． B． C． D．7．将函数的图像向左平移个单位，得函数的图像，则（       ）A． B．1 C． D．8．一个空间几何体的三视图如图所示，三个视图都是外轮廓为边长是4的正方形，则其表面积（       ）A． B．74 C． D．9．若，则（       ）A． B． C．40 D．8010．第十四届全国运动会开幕式，于年月日点在西安奥体中心隆重开幕．本次盛会的观众席中有名是“西安铁一中”师生，这些师生中还有名学生参加了文艺演出．开暮式之后，在这名师生中，按照“参加了演出”和“未参加演出”分层抽样抽取了名师生，参加“西安电视台”举办的“弘扬十四运精神”座谈会，并且在这人中随机抽取人再作问卷，则人中恰有人是“参加了演出”的概率是（       ）A． B． C． D．11．如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（       ）．A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定12．已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（       ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，且，则___________.14．已知等比数列中，.设为数列的前n项乘积，则满足的正整数n的最小值是___________.15．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则线段的中点到抛物线C的准线的距离是___________.16．已知，则a，b，c的大小关系是___________.三、解答题17．设函数，且的最小正周期为.(1)求的值；(2)设的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的面积.18．已知数列，定义：“，当时，，则叫作数列的前n项差”设.(1)求数列的前n项差；(2)若，求数列的前n项和.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是边长为12，的菱形，侧面△BPC是的等腰直角三角形，M为PD的中点，且平面BPC⊥平面ABCD．(1)求线段AM的长；(2)求直线AM与平面PBD所成角的正弦值．20．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.(1)求椭圆S标准方程；(2)求的面积的最大值.21．已知函数．(1)求的极值；(2)若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．22．已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，有相同的单位长度.在直角坐标系中，曲线S的参数方程为（为参数），直线l过点.(1)求曲线S极坐标方程；(2)若直线l与曲线S交于A､B两点，求的最小值及最小值时直线l的方程.23．已知.(1)求的最小值；(2)求不等式的解集.参考答案：1．B【解析】【分析】先求出数据的平均数，再利用方差公式求解.【详解】解：由题得数据的平均数为.所以数据的方差为.故选：B2．A【解析】【分析】化简集合即得解.【详解】解：由题得集合，所以.故选：A3．C【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出结果.【详解】， .故选：C.4．B【解析】【分析】根据求出正方形边长，利用面积之比即可求出.【详解】由题可得，所以，设正方形的边长为，则，解得（舍负），则豆子落在正方形区域内的概率.故选：B.5．A【解析】【分析】先由离心率的值求出的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，解得，所以双曲线方程为，由，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A6．C【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】,；1；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；.故选：C7．D【解析】【分析】先对变形，然后通过三角函数图像变换规律求出的解析式，从而可求出的值.【详解】，则将的图像向左平移个单位后得，，所以，故选：D8．D【解析】【分析】先确定几何体原图是多面体，再求表面积.【详解】解：如图，几何体原图是正方体削去两个三棱锥，得到多面体.,,由题得,过点作,垂足为.,所以多面体的表面积为.故选：D9．B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得.【详解】依题意，所以.故选：B10．A【解析】【分析】分析可知所抽取的人中有人“参加了演出”，再利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，所抽取的人中“参加了演出”的人数为人，因此，在这人中随机抽取人再作问卷，则人中恰有人是“参加了演出”的概率是.故选：A.11．B【解析】【分析】连接交于，连接，由中位线、正方体性质易得为平行四边形，即，再根据线面平行的判定证结论.【详解】连接交于，连接，而M，N分别是，的中点，所以，即，且，即，则为平行四边形，故，由面，面，则面.故选：B12．C【解析】【分析】首先求出函数f(x)的值域，运用导函数求出函数g(x)的单调性和值域，再根据已知条件结合得到不等式组，即可得到答案.【详解】解：因为，所以的值域为，，当时，在上单调递减.当时，由时得到，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.得，又时，，由题意，得，得.故选：C.13．【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故答案为：.14．9【解析】【分析】由条件先求出的通项公式，再求出，由条件可得，从而得出答案.【详解】等比数列中，，则公比，所以则由，则，所以，解得 （另一范围舍去）由所以满足的正整数n的最小值是9故答案为：915．4【解析】【分析】设，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出即得解.【详解】解：由题得，所以抛物线的焦点. 所以直线的方程为，设，联立方程得，所以，所以.由题得线段的中点到抛物线C的准线的距离是,.故答案为：416．##【解析】【分析】由对数函数的性质可得，然后设，利用导数求出函数的单调性，并求最值，从而可得答案【详解】因为，所以，所以，设.∵，∴.又.在上单调递增，得.∵，∴，∴，所以所以.故答案为：17．(1)(2)当时，；当时，.【解析】【分析】（1）首先利用诱导公式及余弦的二倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期公式即可求出的值；（2）由条件可求出角的值，然后通过分类讨论，利用余弦定理可求出的值，从而根据公式即可求出答案.(1).∵的最小正周期是，∴，又因为，所以.(2)由（1）得.所以由，得，又因为，所以.∴或，即或.①当时，由余弦定理得，又因为，∴，得.∴；②当时，同理，由余弦定理得，∴.综上所述，当时，；当时，.18．(1)；(2).【解析】【分析】（1）分两种情况，直接利用数列前n项差的定义求解；（2）先求出，再利用错位相减法求解.(1)解：∵，∴，.当时，，满足.∴.(2)解：.①∴②①-②得.∴.19．(1)；(2).【解析】【分析】（1）设BC的中点为O，连接PO，DO，根据直线OD，OC，OP两两互相垂直构建空间直角坐标系，并写出A、M坐标，进而求AM的长；（2）求直线AM与平面PBD的方向向量、法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.(1)设BC的中点为O，连接PO，DO，由题意，得，，且直线OD，OC，OP两两互相垂直．以O为原点，直线OC，OD，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．则，，，，．由M为PD的中点，得．∴．∴线段AM的长为．(2)由（1）得：，，．设平面PBD的一个法向量为，则，取，故．设直线AM与平面PBD所成角为θ，则．∴直线AM与平面PBD所成角的正弦值为．20．(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；（2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.(1)解：设椭圆S的半焦距为，由题意解得∴椭圆S的标准方程为；(2)解：由（1）得，设，代入，得，设，则，∴，∴，当且仅当即时，等号成立，故的面积的最大值为.21．(1)当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值(2)【解析】【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的极值.（2）将不等式分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.(1)的定义域为．．当时，在上单调递减，无极值．当时，由，得，当时，在上单调递增．当时，在上单调递减．在处取得极大值，无极小值．．综上所述，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值．(2)若（e为自然对数的底数）时恒成立，即恒成立，就是，即恒成立．设，则．设，即．令，即，显然，是方程的一个解．设，由得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减．∴（仅在时等号成立），得．得在上单调递减．∴当时，取最大值．∴当时，取最大值．∴，即，得a的取值范围为．【点睛】利用导数求解不等式恒成立问题是，分离常数法是一个很有用的解题方法.22．(1)(2)的最小值为4，最小值时直线l的方程为【解析】【分析】（1）将曲线的参数方程消去参数化为普通方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程；（2）首先判断点与的位置关系，即可得到当时最小，利用勾股定理及垂径定理求出弦长，再根据两直线垂直求出直线方程.(1)解：（1）将曲线的参数方程（为参数）的参数消去，得曲线S的普通方程为，即.将代入上述方程，得曲线S极坐标方程为.(2)解：由（1）知在直角坐标系中曲线S是以为圆心，半径为3的圆，且，即点在内.∴当时最小.∵，∴.∵.∴直线l方程为，即.∴的最小值为4，最小值时直线l的方程为.23．(1)6.(2)或.【解析】【分析】（1）讨论得出函数的解析式，分段求得函数的值域，从而可求得的最小值；（2）由（1）得函数的解析式，分别讨论建立不等式组，求解即可.(1)解：因为，所以，当时，；当时，；当时，；当时，.∴（时，），即得最小值是6.(2)解：由（1）得不等式等价于下面的不等式组:①或②或③或④由①得，由②得，由③得，由④.∴不等式得解集为或.所以不等式的解集为或.