2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（统招班）上学期联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（统招班）上学期联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】，.

故选：C.

2．将某班的名学生编号为，，……，，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的一个号码为，则剩下的四个号码依次是（     ）

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

【答案】B

【分析】根据系统抽样方法确认样本间隔，号所在组，进而可以求出结果.

【详解】由题意可知样本间隔为，第一组为至，因此为第一组的号码，

则第二组抽取号码为，第三组抽取号码为，第四组抽取号码为，第五组抽取号码为，

故剩下的四个号码依次是，，，，

故选：B.

3．某学校有高中生3500人，初中生1500人，小学生1000人，为了解该学校的中小学生的视力情况，拟从该校的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该校小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，采用分层抽样方法从该校学生中抽取容量为n的样本，已知从高中生中抽取140人，则n为（       ）

A．200 B．240 C．400 D．480

【答案】B

【分析】利用分层抽样比即可求解.

【详解】由题意可得，

解得.

故选：B

4．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点分别为，连接，根据题意得出所求概率为梯形的面积与△ABC的面积之比，根据面积之比即可求得.

【详解】取的中点分别为，连接，当点P落在梯形的内部时，△PBC的面积小于，所以△PBC的面积小于的概率为.

故选：B.

5．设变量，满足约束条件则目标函数的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

将化为，则数形结合可得当直线过点时，取得最大值为.

故选：C.

6．若，，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法结合不等式的性质可判断A、B、C；根据已知条件可得，利用的单调性可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：，因为，

所以，，即，所以，故选项A不正确；

对于B：，因为，

所以，，即，所以，故选项B不正确；

对于C：，因为，，所以，，即，所以，故选项C不正确；

对于D：因为，，所以，，且，即，

又因为，在上单调递增，所以，故选项D正确；

故选：D.

7．某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n场比赛得分为）

在对上面数据分析时，一部分计算如右算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的S的值是

A． B．2 C． D．

【答案】C

【详解】，

由题意，易得：=

故选C

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

8．下列判断正确的是（       ）

A．若样本数据的方差为3，则的方差为11

B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若样本中心点为，则

C．用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近0，说明模型的拟合效果越好

D．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件

【答案】B

【分析】根据方差的性质、线性回归方程的性质，结合相关指数的性质，互斥事件的性质进行逐一判断即可.

【详解】A：因为样本数据的方差为3，

所以的方差为：，因此本选项说法不正确；

B：把代入中，得：，因此本选项说法正确；

C：因为用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确；

D：选出一个黑球和一个红球，即满足至少有一个黑球又满足至少有一个红球，所以至少有一个黑球与至少有一个红球是不两个互斥事件，因此本选项说法不正确，

故选：B

9．函数的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用和角正弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数的性质求最大值即可.

【详解】由题设，，

∴函数最大值为.

故选：B

10．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)

A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品

C．至多有一件一等品 D．都不是一等品

【答案】C

【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．

【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

11．已知等比数列的前n项和为，则的最小值为（       ）

A．2 B． C．4 D．5

【答案】C

【分析】先根据求出的通项公式，求出，再根据是等比数列，利用等比数列的性质求出，从而求出，再用基本不等式求解的最小值.

【详解】当时，，

当时，

从而，

因为是等比数列

所以公比，且，即，即

所以，当且仅当，即时，等号成立

所以的最小值为4

故选：C

12．已知为奇函数,,若对恒成立,则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为为奇函数,所以,即,则,若对恒成立,则,即,即,即;

故选B.

二、填空题

13．抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.

【答案】

【分析】利用条件概率的公式直接求解即可

【详解】因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，的有1种，

所以，，

所以.

故答案为：

14．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则________．

【答案】194434

【分析】先由余弦定理求得，再由代入直接求出.

【详解】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，由余弦定理得：.

因为D是BC中点，所以,

所以.

故答案为：

15．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的外接球表面积为___________.

【答案】

【分析】根据三视图画出几何体如图乙所示，则可得所以该几何体的外接球与长方体的外接球重合，从而可求出外接球的半径，进而可求得其表面积.

【详解】该几何体是图甲的长方体截掉三棱锥后得到的几何体图乙，

所以该几何体的外接球与长方体的外接球重合，外接球半径，

所以外接球的表面积.

故答案为：

16．已知函数，若集合中有且只有两个元素，则实数的取值范围是______

【答案】

【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.

【详解】由中有且只有两个元素，

得有且只有两个自然数解，

即有且只有两个自然数解，

令，则，

令，

作出的图象（如图所示），

又因为，，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）若不等式的解集是，解不等式；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）或（2）答案见解析；

【分析】（1）根据不等式的解集得到和1是对应方程的解，然后利用不等式的解法即可得到不等式的解集．

（2）对讨论，分当时，当时，当时，当时，当时，运用二次不等式的解法，可得所求解集；

【详解】解：（1）不等式的解集是，

和1是对应方程的两个解，

当时，，

解得，

不等式等价为，即

解得或，

即不等式的解集为或．

（2），

即，

当时，解得；

当，，解得或；

当即时，，即；

当即时，，可得；

当即时，，可得，

综上可得，当时，解集为；

当，解集为或；

当，解集；当时，解集为；

当时，解集为；

18．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．

(1)求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；

(3)为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为休假天数与月薪有关．

【答案】(1)，平均数为

(2)

(3)列联表见解析；有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可求得，结合频率分布直方图的平均数计算公式，即可解.

（2）由频率分布直方图中的数据，得到休假天数6天以上的概率为，根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.

（3）按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数，得出的列联表，根据公式求得的值，即可得到结论.

【详解】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得，

由频率分布直方图的平均数计算公式，可得

.

(2)由频率分布直方图中的数据，

可得休假天数6天以上的概率为，

以频率估计概率，从所有90后上班族中随机抽取4人，则随机变量，

所以至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率为：

(3)由题意1000名中月休假不超过6天的人数为人，

月休假超过6天（含6天）的人数为人，

按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，

月休假超过6天（含6天）的月为150人，

月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数为人，

月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数为人，

月薪超过5000的人数为人，

可得如图所示的的列联表：

所以3.641

所以有95%的把握认为休假天数与月薪有关．

19．已知公差不为的等差数列的首项，且、、成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于实数的等式，结合可求得的值，由此可得出数列的通项公式；

（2）利用裂项求和法求出，解不等式即可得出结果.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为，则，

由题意可得，即，整理得，

，解得，故.

(2)解：，

所以，，

由得，可得，

所以，满足成立的最大的正整数的值为.

20．在直三棱柱中，，，.

(1)求异面直线与所成角正切值的大小；

(2)求点与平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得∥，则可得为异面直线与所成角，然后在中求解即可，

（2）在三棱锥中利用等体积法求解即可

【详解】(1)（1）因为在直三棱柱中，∥，

所以为异面直线与所成角，

因为，，所以，

因为，所以，

因为平面，平面，

所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以，所以，

所以异面直线与所成角的大小为

(2)（2）连接，因为，所以，

因为平面，平面，

所以，

因为，所以平面，

因为∥，所以平面，

设点与平面的距离为，

因为，

所以,

所以，解得，

所以点与平面的距离为

21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且.

(1)求的最小值；

(2)若的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理化简已知得到，再利用基本不等式求解；

（2）由面积得到，即或，再对分类讨论利用余弦定理得解.

【详解】(1)解：因为，且，

根据正弦定理得，

所以，

所以，所以，所以.

所以，当且仅当时等号成立.

所以当时，取得最小值.

(2)解：由（1）知，所以的面积，

所以.

因为，所以或

当时，代入，得，与联立解得或

所以，所以；

当时，代入，得，不合题意.

综上所述.

22．某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：

表1

由表1，得到下面的散点图：

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.

表2

（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；

（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：.

【答案】（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.

【分析】（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；

（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解

【详解】（1），

，

故回归方程为.

（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，

所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.

依题意有，解得，故.

因为，

所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.