高中人教B版 (2019)2.1.3 方程组的解集背景图课件ppt

课题名

2.1.3 方程组的解集

课标要求

1.会根据等式的性质求方程组的解集.(数学抽象、数学运算)

2.灵活运用消元法解方程组的解集.(数学运算)

核心目标

重点：(1)用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．

难点：(2)能灵活解二元二次方程组和三元一次方程组．

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

 “鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1 500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载“今有雏兔同笼,上有二十五头,下有七十六足,问雏兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有25个头;从下面数,有76条腿,问笼中各有几只鸡和兔?

新知探究

知识点一、二元一次方程组的解集

1.方程组的解集

一般地,将多个方程联立,就能得到方程组. 方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.

状元随笔　

当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．

2.二元一次方程组

方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.

微思考

解二元一次方程组的基本思路是什么?

提示 解二元一次方程组的基本思路是消元,把“二元”变为“一元”.

名师点析 二元一次方程组的解法

(1)代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.

(2)加减消元法:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.

核心目标检验

1.方程组的解集是(　　)

A．{2，－1}　　B．{(2，－1)}

C．{－2，1}    D．{(－2，1)}

解析：

①＋②得2x＝4，∴x＝2，代入①得y＝－1.

2．若x，y满足方程组则x＋y的值是(　　)

A．5        B．－1

C．0        D．1

解析：

方法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.

把y＝3代入②，得x＝2.

所以x＋y＝2＋3＝5.

方法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.

化简，得x＋y＝5.故选A.

新知探究

知识点二、三元一次方程组和二元二次方程组

1.三元一次方程组

方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

名师点析 三元一次方程组的解法

(1)解三元一次方程组时,先观察各未知数系数的特点及整个式子的特点,然后确定先要消去的未知数,再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元,达到消元的目的.

(2)三元一次不定方程组的解法

当“三元一次方程组”只含有两个方程时,我们将其中一个未知数看成已知数,此时,方程组即二元一次方程组,利用消元思想即可求解.

2.二元二次方程组

二元二次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程.

二元二次方程组:方程组中有两个未知数,未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组.

要点笔记

(1)二元二次方程组有两种类型:一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成;二是由两个二元二次方程组成,我们主要学习第一种类型.

(2)             (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次.

核心目标检验

4.方程组,的解集为                         ．

解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16　④

④－①，得z＝8；

④－②，得x＝4.5；

④－③，得y＝3.5.

所以原方程组的解集为{(4.5，3.5，8)}．

5．方程组的解集是(　　)

A．(±1，±1)            B．{(±1，±1)}

C．{(－1，－1)，(1，1)}    D．(－1，－1)，(1，1)

解析： 把①代入②得2＝2，∴＝1

x＝±1，y＝±1.

课堂总结

1.代入消元法解二元一次方程组．

2.加减消元法解二元一次方程组．

3.会根据等式的性质灵活求方程组的解集.

命题讲练

命题方向1：二元一次方程组的解集及其应用

例题1:解方程组.

分析:方程组整理后,利用加减消元法求解即可.

解：方程组整理得

①-②得4y=28,即y=7.

把y=7代入①得x=5.

则方程组的解集为{(5,7)}.

跟踪练习1:求方程组的解集:

解：将原方程组化简整理，得

②×2-①,得x=1.将x=1代入②,得y=-3.

所以原方程组的解集为{(1,-3)}.

命题方向2:“二·一”型的二元二次方程组

例题2:求方程组的解集．

【解析】　将②代入①，整理得＋x－2＝0， 解得x＝1或x＝－2.

                   利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1.

                  所以原方程组的解集为{(1，2)，(－2，－1)}．

教材反思

“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．

跟踪练习2：解方程组

解析：方法一　由②得x＝2y＋5③

将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.

整理，得3\＋10y＋7＝0.解得＝－7/3，＝－1.

把＝－7/3代入③，得＝1/3，把＝－1代入③，得＝3.

所以原方程组的解是或

所以方程组的解集为{(1/3，−7/3)，(3，−1)}.

方法二:　

由①得＝4，

即x＋y＝2或x＋y＝－2.

原方程组转化为或

解得或

所以方程组的解集为{(1/3，−7/3)，(3，−1)}.

命题方向3:三元一次方程组的解集

例题3:求下列方程组的解集:

解 (方法一)①×2+②,得5x+8y=7, ④

③与④组成二元一次方程组

解这个方程组，得

把x=3,y=-1代入①,得3+3×(-1)+2z=2,所以z=1.

所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}.

解 (方法二)由③,得y=2x-7,④

把④代入①,整理得7x+2z=23,⑤

把④代入②,整理得7x-4z=17,⑥

⑤与⑥组成二元一次方程组

解这个方程组，得， 把x=3,④,得y=-1.

所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}.

跟踪练习3:求下列方程组的解集:

解 (方法一)由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5.

设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0),并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2.

所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10.

所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}.

(方法二)由①，得x=3/2y,④.     由②，得z=5/2y,⑤

把④和⑤代入③，得5/2y+3/2y+y=20,解得y=4.

把y=4分别代入④和⑤,得x=6,z=10.

所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}.

反思感悟

(1)解三元一次方程组时若能根据题目特点,灵活地进行消元,则可准确、快速地求解.消去一个未知数把“三元”转化为“二元”的方法:①先消去某个方程缺少的未知数;②先消去系数最简单的未知数;③先消去系数成整数倍的未知数;④注意整体加减或代入的应用.

(2)解特殊的三元一次方程组的技巧:应具体问题具体分析,观察方程组的特点及未知数系数之间的关系,灵活消元.例如:若方程组由两个方程构成,其中一个方程是x∶y∶z=a∶b∶c(a,b,c为常数,且都不为0),另一个方程是三元一次方程,解方程组时,可引入k(k≠0),用含k的式子表示x,y,z,再代入三元一次方程中,化“三元”为“一元”,求出k的值,进而可求出x,y,z的值.

布置作业

教材练习题

教辅练习题

板书设计

一、二元一次方程组

二、二元二次方程组

三、三元一次方程组

教学反思