2021-2022学年重庆市江津区八年级（下）期末数学试卷（A卷）（Word解析版）

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2021-2022学年重庆市江津区八年级（下）期末数学试卷（A卷）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数是正比例函数，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知的三边分别是、、，下列条件中不能判断为直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ，，

5. 在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差如表，则四个班体考成绩最稳定的是(    )

A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 丁班

6. 下列命题，其中是真命题的为(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的菱形是正方形

7. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为和时，输出的的值相等，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小江要去参观聂荣臻纪念馆，他骑车从家出发，途中因故耽误了一会儿后他又继续骑行，小时后到达聂荣臻纪念馆．小江离家的距离单位：与出发的时间单位：之间的关系如图所示．下列说法错误的是(    )

A. 小江两次骑行的速度没有发生变化 B. 小江骑行途中因故耽误的时间为
C. 小江家距聂荣臻纪念馆 D. 小江从家到聂荣臻纪念馆共用时

9. 如图，在矩形，对角线与相交于点，过点作交于点，若的周长为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点为的中点，连接，点为线段上的一点，连接、，若，且，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的一次函数的图象不经过第三象限，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 二次根式除法可以这样解：像这样通过把分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．则下列说法中正确的个数是(    )
    ；若是的小数部分，则的值为；比较两个二次根式的大小：；若，，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
14. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为______分．
15. 如图，直线：分别与轴、轴相交于点和点，以线段为边在第一象限内作正方形，连接，若，则点的坐标为______．

16. 如图，在矩形中，，，点为直线上任意一点，连接，然后以为直角边向的右侧构造等腰直角三角形，连接，则周长的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：；
    ．
18. 如图，在平行四边形中，，在取一点，使得，连接．
    用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，交于点；保留作图痕迹，不写作法和结论
    根据中作图，经过学习小组讨论发现，并给出以下证明，请将证明过程补充完整．
    证明：，
    ______．
    四边形为平行四边形，
    ______．
    ．
    ．
    平分，
    ______．
    四边形为平行四边形，
    ______．
    ，
    即．
    在中，，
    ．

19. 为了增强学生的疫情防控意识，江津区某学校进行了疫情防控知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取了名学生的知识竞赛成绩满分为分，分数用表示，共分为四组：组：；组：；组：；组：，将数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
    八年级在组的数据如下：，，，，，，，，，．
    抽取的九年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    抽取的八、九年级竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
根据以上数据，判断八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？并说明理由一条理由即可；
若该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计这两个年级学生的竞赛成绩为满分的一共有多少人？

20. 在一次消防演习中，消防员架起一架米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
    求这个梯子的顶端距地面有多高？
    如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降米云梯长度不变，那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？

21. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，点在直线上，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，点恰好也在直线上．直线：经过点，与轴交于点．
    分别求出直线与直线的解析式，并在下方网格中画出直线与直线的图象；
    连接，求的面积；
    根据图象，直接写出时，自变量的取值范围．

22. 中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装记为套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔和作图工具套装记为套装，包括有圆规和直尺进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装、共套，、两种套装进价与售价如表所示．设采购种套装套，获得的总利润为元．

求关于的函数关系式；
如果该商家采购的套装的套数不少于套，且不超过套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？

23. 一个各个数位上的数字均不为的四位正整数，若其千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，都等于，则称这个四位正整数为“求知数”例如：，，是“求知数”：又如，，不是“求知数”．
    判断和是否为“求知数”，并说明理由；
    若一个四位正整数为“求知数”，且能被整除，请求出满足条件的所有．
24. 如图，已知菱形中，对角线、相交于点，．
    若，求的长；
    如图，点为上一点，连接，以为边向的左侧构造等边，连接、，交于点，求证：．
     

25. 如图，将矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在上，，为的中点，连接、、．
    求出直线的解析式；
    判断的形状，并说明理由；
    如图，将直线沿轴的负方向平移，使其平移后的直线恰好经过点，平移后点的对应点为，点为轴上一动点，点为直线上一动点，请直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，为最简二次根式，符合题意；
，不为最简二次根式，不符合题意；
，不为最简二次根式，不符合题意；
，不为最简二次根式，不符合题意；
故选：．
最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
本题考查了最简二次根式的基本知识，解题关键在于能对选项进行正确的化简．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
．
故选：．
根据正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数即可得出答案．
本题考查了正比例函数，掌握一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C.，此选项错误；
D.，此选项计算正确；
故选：．
本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算可得．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，
为直角三角形，
故A不符合题意；
B、：：：：，，
，
为直角三角形，
故B不符合题意；
C、，
，
，
为直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：、、、，且，
乙班体考成绩最稳定．
故选：．
根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳定的班级．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
根据题意得：，
．
故选：．
分别计算出的值为和时输出的，根据函数值相等列方程即可求出．
本题考查了函数值，体现了分类讨论的思想，分别计算出的值为和时输出的是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原计划的速度为：，
耽误了一会儿后他又继续骑行的速度：，
正确；
观察图象得，小江骑行途中因故耽误的时间为：，
正确；
观察图象得，小江家距聂荣臻纪念馆，
错误；
观察图象得，小江从家到聂荣臻纪念馆共用时，
正确，
故选：．
根据函数图象所提供的信息，利用速度路程时间可判断，直接观察图象可判断．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．
 

9.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
垂直平分，
，
的周长为，，
，
，
，
，
故选：．
由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求的长．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程可求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，
，
故选：．
由三角形中位线定理可得，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得：．
解不等式得，
关于的不等式组的解集为，
，
解得：，
且为整数，
整数的值为：，，，
故符合条件的所有整数的和为：．
故选：．
利用一次函数的性质得出的取值范围，再解不等式，进而得出的取值范围，然后得出符合题意的值．
此题考查了一次函数的性质与一元一次不等式组的解法，正确得出的取值范围是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，故符合题意；
，
，
，故符合题意；
，
，
，，
，
，故不符合题意；
，，
，


，



，故符合题意；
符合题意的有个，
故选：．
根据分母有理化判断；估算无理数的大小求出的值，分母有理化求的值判断；分母有理化进行化简，然后比较大小判断；根据完全平方公式求平方和判断．
本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，平方差公式，掌握和分母有理化是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：该名教师的综合成绩为分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：作轴，作于点，如图所示，
直线：，
当时，，
点的坐标为，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
轴，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为，
故答案为：．
根据正方形的性质，可以得到的长，再根据一次函数与轴交于点，可以得到点的坐标，从而可以写出的长，再根据勾股定理可以求得的长，然后根据证出和全等，即可得到和的长，从而可以写出点的坐标．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，
为等腰直角三角形，
≌，
设，
，
，
，，，，
，
作点关于轴上对称点，
，
连接，当、、在同一直线上时，
最小值为，
，，
，
即的最小值为，
周长的最小值为．
过点作，交的延长线于点，则≌，设，所以，设，，，所以，作点关于轴上对称点，，连接，当、、在同一直线上时，最小值为，据此解答即可．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用勾股定理，将转化为的最小值是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先进行化简运算，负整数指数幂的运算，再算加减即可；
利用完全平方公式与平方差公式进行运算较简便．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】       

【解析】解：如图，为所作；

证明：，
，
四边形为平行四边形，
，
．
．
平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即．
在中，，
．
故答案为：，，，．
利用基本作图作的平分线即可；
先由得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，接着利用和平行线的性质得到然后根据三角形内角和定理得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
 

19.【答案】     

【解析】解：八年级成绩在“组”的有人，占，
所以“组”所占的百分比为，
因此，
八年级成绩在“组”的有人，成绩在“组”的有人，成绩在“组”的有人，成绩在“组”的有人，
八年级名学生成绩出现次数最多的是，因此众数是，即，
九年级名同学成绩从小到大排列为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
处在中间位置的两个数分别是、，因此中位数是，即；
故答案为：，，；
九年级学生的竞赛成绩更好，理由如下：
九年级成绩的平均分、众数都和八年级的相同，但中位数比八年级的高，故九年级的成绩更好；
人，
答：估计这两个年级学生的竞赛成绩为满分的一共有人．
根据八年级在组人数可求出“组”所占的百分比，可得“组”所占的百分比，即可求出的值，根据中位数、众数的意义可求出、的值；
通过中位数进行分析得出答案；
分别求出八、九年级样本中的满分率，进而根据八、九年级的满分率求出八、九年级的满分人数，再求出总体中的满分人数．
本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，
即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段为另一个直角边，
所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米．
当梯子顶端下降米后，梯子底部到墙的距离变为，
所以，梯子底部水平滑动米即可． 

【解析】此题为利用勾股定理解决实际问题，会利用勾股定理即可．由于墙地垂直所以根据勾股定理解题即可．
 

21.【答案】解：点，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
，，
的坐标为，
点、在直线：上，
，
解得：，
直线的解析式为．
直线：经过点，
，
，
直线的解析式为．
图象如下：

如图，连接．
的面积

；
根据图象可知：当时，自变量的取值范围是． 

【解析】根据平移的性质得到点的坐标；把点、的坐标代入得出直线的解析式；把点坐标代入，求出直线的解析式；
的面积等于正方形的面积减去周围三角形的面积；
写出直线落在直线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化平移，一次函数与一元一次不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得，
，
即；
设该商家购进套装套，则购进套装套，
依题意得：，
解得：，
设套装全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值，此时，
答：当商家购进套装套，套装套时，才能获利最大，最大利润为元． 

【解析】根据题意，可以写出与的函数关系式；
设该商家购进套装套，则购进套装套，根据采购的套装的套数不少于套，且不超过套装的套数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设套装全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每套的利润购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】解：不是“求知数”，是“求知数”；
，
不是“求知数”，
，
是“求知数”；
设的千位数字为百位数字为，则十位数字为，个位数字为，
则为正整数，
，
． 

【解析】利用“求知数”的定义进行判断；
利用“求知数”的定义，结合整除的概念进行求解．
本题考查了因式分解，理解新定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
；
证明：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是的中位线，
，
． 

【解析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得，，由三角形中位线定理可得结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：，，
设直线的解析式为，将点，代入得，
，
解得，
直线的解析式为；

是等腰直角三角形，理由如下：
由题意得：，，，
为的中点，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形．

将直线沿轴的负方向平移，平移后的直线恰好经过点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
平移后点的对应点为，，
，
当平行四边形的边时，

以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点为轴上一动点，点为直线：上一动点，
，，设，
或，
或，
或；
当平行四边形的对角线时，

以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点为轴上一动点，点为直线：上一动点，
，，，设，
将直线沿轴的负方向平移得到直线，
，
与重合，
，
，
；
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】由题意得到点、的坐标，利用待定系数法求直线的解析式即可；
由为的中点得到点的坐标，求出、、的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
求出直线的解析式，可得，分两种情况：当平行四边形的边时；当平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求解函数表达式，勾股定理，等腰直角三角形的判定，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．