2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一(下)第三次学情调查数学试卷(Word解析版)
展开2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一(下)第三次学情调查数学试卷
题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 总分 |
得分 |
|
|
|
|
|
一、单选题(本大题共8小题,共40分)
- 北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎,现工厂决定从只“冰墩墩”,只“雪容融”和个北京年冬奥会会徽中,采用比例分配分层随机抽样的方法,抽取一个容量为的样本进行质量检测,若“冰墩墩”抽取了只,则为( )
A. B. C. D.
- 已知向量,且,则实数( )
A. B. C. D.
- 已知,则在复平面内,复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- 在正方体中,点在线段中点,异面直线与所成夹角是( )
A. B. C. D.
- 已知,,且、均为锐角,则等于( )
A. B. C. D.
- 已知,是两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下面四个命题中,正确的命题是( )
A. 若,,则
B. 若,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
- “斗”不仅是我国古代容量单位,还是量粮食的器具,如图所示,其可近似看作正四棱台,上底面是边长为的正方形,下底面是边长为的正方形,高为“斗”的面的厚度忽略不计,则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为( )
A. B. C. D.
- 若圆锥,的顶点和底面圆周都在半径为的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为,,则这两个圆锥公共部分的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20分)
- 在中,下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若,则为等腰三角形
D. 若,则为锐角三角形
- 在中各角所对得边分别为,,,下列结论正确的有( )
A. ,则为等边三角形
B. 已知,则
C. 已知,,,则最小内角的度数为
D. 在,,,解三角形有两解
- 如图,在中,,,是的三等分点,且,则( )
A.
B.
C.
D.
- 已知甲烷的化学式为,其结构式可看成一个正四面体,其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处,而碳原子恰好在这个正四面体的中心,碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连,若我们把每个原子看成一个质点,两个氢原子之间的距离为,则( )
A. 碳原子与氢原子之间的距离为
B. 正四面体外接球的体积为
C. 正四面体的体积为
D. 任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
- 已知,则______.
- 一个长方体的长、宽、高分别为,,,若在上面钻一个高为的贯穿上下表面的圆柱形孔后,其表面积没有变化,则孔的半径为______.
- 已知单位向量,,满足,则______.
- 如图,已知为的重心,且,若,则角的大小为______.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
- 设为虚数单位,,复数,.
若是实数,求的值;
若是纯虚数,求 - 已知向量,满足,,.
若,求实数的值;
若设与的夹角为,求的大小. - 在,,,其中为的面积这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答问题,在中,角,,的对边分别是,,,已知,,计算的面积.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 - 如图,在直三棱柱中,,点是的中点.求证:
平面.
若,求直线与平面所成角的正切值.
- 记的内角,,的对边分别为,,已知,点在边上,且.
证明:;
若,求. - 如图,为圆柱的轴截面,是圆柱上异于,的母线.
证明:平面;
若,当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:根据分层抽样的定义可得:,
解得.
故选:.
根据分层抽样的定义建立比例关系即可.
本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例公式是解决本题的关键.
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的垂直的判定,属基础题.
由已知易得的坐标,由成立垂直的充要条件可得关于的方程,解之即可.
【解答】
解:,,
,
又,
,解得,
故选:.
3.【答案】
【解析】解:因为
,
所以复数对应的点在第二象限,
故选:.
利用复数的运算性质化简复数,再根据复数的几何意义即可求解.
本题考查了复数的运算性质以及几何意义,考查了学生的运算能力,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:因为,所以为异面直线与所成的角,
又易证为等边三角形,
,又点在线段中点,.
故选:.
由,可得为异面直线与所成的角,求解即可.
本题考查异面直线所成角的求法,属基础题.
5.【答案】
【解析】解:由于且、均为锐角,且满足,所以;
同理,故;
故.
故选:.
首先利用三角函数的定义求出和;进一步利用三角函数中角的恒等变换的应用求出结果.
本题考查的知识要点:三角函数的定义,三角函数的值的求法,角的恒等变换,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.
6.【答案】
【解析】解:若,,则不一定和垂直,比如:
,
故A错误,
若,,则或在平面外,故B错误,
若,,,则或与相交,故C错误,
若,,,由垂直与平行的性质可知,故D正确,
故选:.
根据直线,平面之间的位置关系分别判断即可.
本题考查了直线,平面之间的位置关系,考查转化思想,是基础题.
7.【答案】
【解析】解:由题意可知,四棱台的侧面均为等腰梯形,则其斜高为,
所以“斗”的所有侧面的面积之和为,
下底面的面积为,
所以,
故选:.
先计算正四棱台的斜高,再求出所有侧面的面积之和,进而得到答案.
本题考查四棱台的结构特征.表面积的计算,考查立体几何知识的实际应用,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:易得,,,在同一条直线上,过该直线作出截面图如图所示.
是圆锥底面圆的直径,是圆锥底面圆的直径,两直径都与垂直.
在中,,,则可得.
在中,,则,则.
又,所以点,重合.
这两个圆锥共顶点且底面平行,故它们的公共部分也是一个圆锥,
其底面半径为,高为,
所以所求体积为.
故选:.
过圆锥的轴作出截面图求解,两个圆锥共顶点且底面平行,故它们的公共部分也是一个圆锥,求出其底面半径和高,即可得所求体积.
本题考查与球有关的切接问题,体积的计算,解题的关键是过球心作出截面图.
9.【答案】
【解析】解:,A错误;
,且,,B正确;
,,,为等腰三角形,C正确;
若,则,为锐角,但,不一定都为锐角,不一定是锐角三角形,D错误.
故选:.
根据向量减法的几何意义即可判断选项A错误;根据向量数量积的计算公式即可判断选项B正确;进行数量积的运算即可得出选项C正确;由只能得出为锐角,得不出为锐角三角形,即得出D错误.
本题考查了向量减法的几何意义,向量数量积的运算及计算公式,锐角三角形的定义,考查了计算能力,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:对于,若,
则,
即,
因为,,为三角形内角,
所以,即为等边三角形,故A正确;
对于,由可得,
所以,
因为,
所以,故B正确;
对于,因为,
所以,
所以,
所以,
因为,
所以,故C正确;
对于,因为,,
由正弦定理得,
所以,
因为,
所以,
所以三角形只有解,故D错误;
故选:.
利用正弦定理、余弦定理一计算可判断正误.
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:对于,,故选项A不正确;
对于,由题意得为的中点,所以,故选项B正确;
对于,取的中点,,,是的三等分点,得是的中点,且,
所以,
所以,,故选项C正确;
对于,由是的中点,得,两边平方得,
所以,故选项D正确.
故选:.
根据平面向量的基本定理和线性运算,逐一判断即可.
本题考查平面向量的基本定理和线性运算,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:如图所示,正四面体中,点是正四面体的中心,连接,,,,于是,设点在平面内的射影为,连接,
正四面体的棱长为,,
,,
即碳原子与氢原子之间的距离为,故A正确,
由可知,为正四面体外接球的半径为,则正四面体外接球的体积为,故B错误,
正四面体的体积,故C正确,
设,其中,
在中,由余弦定理得,
即任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为,故D正确,
故选:.
正四面体中,点是正四面体的中心,连接,,,,设点在平面内的射影为,连接,由正四面体的棱长为可得,,从而可判断,再由球的体积公式可判断,由三棱锥的体积公式可判断,在中由余弦定理可判断.
本题主要考查了正四面体的结构特征,考查了正四面体的外接球问题,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:因为,
所以,可得,
则.
故答案为:.
由已知利用两角差的正弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解.
本题主要考查了两角差的正弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:正方体被钻掉一个圆柱形孔后,正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小,同时又增加了圆柱的侧面积,
因为在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,
所以圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等,
设圆柱的底面半径为,则,解得,
故答案为:.
根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等,然后列出等式即可求解.
本题主要考查了圆柱的底面积公式和侧面积公式,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:根据题意,设向量,的夹角为,
若单位向量,,满足,
则,所以,
所以
,
所以.
故答案为:.
根据题意,设向量,的夹角为,由数量积的性质可得,求出的值,再由,代入计算可得答案.
本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的计算,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:取的中点,连接,
因为为的重心,所以点在上,
又,所以,,
由,得,
所以,即,
由余弦定理知,,
由可得,,
因为,即,
所以,
因为,所以.
故答案为:.
取的中点,连接,结合直角三角形的性质和重心的性质,可得,由,将其两边平方,并利用余弦定理,即可得解.
本题考查三角形中的几何计算,熟练掌握平面向量的线性运算与数量积的运算,余弦定理是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
17.【答案】解:,
是实数,
,解得.
,
是纯虚数,
,解得,
.
【解析】根据已知条件,结合复数的运算法则,以及实数的定义,即可求解.
结合纯虚数的定义,以及复数模公式,即可求解.
本题主要考查纯虚数的定义,复数模公式,属于基础题.
18.【答案】解:已知向量,满足,,
则,
又,
则,
即,
即,
则,
即,不共线,
又,
则,
即,
解得,
即;
由,
,
则,
又,
则.
【解析】先证明,不共线,然后令,再求解即可;
由,结合向量模的运算及向量数量积的运算求解即可.
本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算,属基础题.
19.【答案】解:因为,
由正弦定理得.
因为,
所以,即.
又因为,可得,
所以即.
若选,即.
则由余弦定理可得,
即,即,
解得.
故的面积.
若选,即,则,
整理得,
由余弦定理得,
因为,所以.
又因为,所以为等边三角形,
故的面积.
若选,即.
由余弦定理可得,
而的面积,
故,
整理得,.
因为,所以,
所以.
所以.
故的面积.
【解析】根据正弦定理、诱导公式和二倍角的正弦公式可得,求出若选,根据余弦定理可得,结合三角形面积公式计算即可;若选,根据余弦定理可得,则为等边三角形,即可求出三角形面积;若选,根据余弦定理和三角形面积公式求出,则为直角三角形,即可求出三角形面积.
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角形面积公式等知识,属于中等题.
20.【答案】证明:在直三棱柱中,平面,
,又,,
平面,
;
设与的交点为,连结,
为平行四边形,为的中点,又是的中点,
是三角形 的中位线,则,
又平面,平面,平面;
连结,平面,,
又,为的中点,
,则平面,
平面平面,
是在平面 上的射影,则为直线与平面 所成的角.
,,.
直线与平面 所成的角的正切值为.
【解析】由直三棱柱的性质可得平面,即,又,由线面垂直的判定可得平面,则;
设与的交点为,连结,可得,由线面平行的判定可得平面;
连结,由平面,得,再由,得平面,可知是在平面 上的射影,则为直线与平面 所成的角.求解直角三角形得答案.
本题考查空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系,考查了线面角的求法,属中档题.
21.【答案】证明:在中,因为,所以,
又因为,
所以,即,
在中,根据正弦定理,得,
故.
解:在中,,
又由知,,所以,
在中,根据余弦定理,得,
又由已知,,得,
所以,
则,
即,
因为,
则,
所以或,
故或.
【解析】在中,由锐角三角函数,得,代入条件,由正弦定理角化边得,即证;
由三角形等面积法,得,代入可得;将条件和同时代入余弦定理,化简后利用辅助角公式得到,由即可求解.
本题考查了三角函数与解三角形的综合,属于中档题.
22.【答案】证明:连接,
是圆柱上异于,的母线.
,,四边形是矩形,,
是底面和直径,,,
又底面圆,底面圆,,
又,,平面,
平面;
解:由知平面;
,
当且仅当时取等号,即此时三棱锥的体积最大,
,,,平面,平面,
为二面角的平面角,
在中,由,,,
.
二面角的余弦值为.
【解析】连接,证明,,可证平面;
,可求最大体积,可证为二面角的平面角,进而可求二面角的余弦值.
本题考查线面垂直的证明,二面角的大小的求法,属中档题.
江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三上学期10月学情调查测试 数学 PDF版含解析: 这是一份江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三上学期10月学情调查测试 数学 PDF版含解析,共19页。
江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三数学上学期10月学情调查测试(PDF版附解析): 这是一份江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三数学上学期10月学情调查测试(PDF版附解析),共19页。
2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二(下)学情调查数学试卷(6月份)(含解析): 这是一份2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二(下)学情调查数学试卷(6月份)(含解析),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。