2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第九章　平面解析几何 解题技巧(十) 抛物线焦点弦结论的应用（课件）

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抛物线焦点弦结论的应用抛物线焦点弦的四个重要结论:设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
过抛物线焦点的直线与抛物线的位置关系是高考命题的切入点,如果掌握以上结论,在解题时可迅速打开思路.
例1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点.若|AF|=2|BF|,则|AB|等于(　　)
A.4B. C.5D.6
一般解法 易知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-1).
易知k2≠0,Δ>0,所以xAxB=1.①因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得xA+1=2(xB+1),即xA=2xB+1.②
应用结论 (方法1)由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图,设点A,点B在准线上的射影分别为点D,点C,作BE⊥AD于点E.设|BF|=m,|AF|=2m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m.因为|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,
对点训练1(2021湖北汉口一中月考)直线l过抛物线C:y2=12x的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,弦AB的长为16,则直线l的倾斜角等于　　　　　. 
一般解法 由题可知F(3,0),直线l斜率存在,且不为零.设直线l方程为x=my+3.将直线l方程与抛物线方程联立整理可得y2-12my-36=0,且易知Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=12m,
对点训练2设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,点O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)
例3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,点B,交其准线l于点C.若点F是线段AC的中点,且|AF|=4,求线段AB的长.
一般解法 如图,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l交l于点D.由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4.因为点F是线段AC的中点,所以|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
应用结论 前面同一般解法,求得抛物线的方程为y2=4x.
对点训练3过抛物线y2=4x焦点F,斜率为k(k>0)的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则k=(　　)
一般解法由题可知F(1,0),则直线方程为y=k(x-1)(k>0).将直线代入抛物线得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).由题可知k2≠0,Δ>0,