2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第六章　数列 解题技巧(六) 情境下的数列问题（课件）

这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第六章　数列 解题技巧(六) 情境下的数列问题（课件），共37页。PPT课件主要包含了答案D，答案C，答案B，答案ACD，答案BC等内容，欢迎下载使用。
情境下的数列问题基于问题情境下的数列问题在高考中正逐步成为热点,通过具体的问题背景或新的定义,考察数列在问题情境中的应用,以此来检验学生的核心价值,学科素养,关键能力,必备知识.解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、方法解决问题.
一、数学文化中的数列问题对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于陌生背景,阅读受阻,无法获得解题思路.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答,必要时进行检验.
例1.(2021江西赣州高三二模)朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是(　　)A.5B.6C.7D.8
解析 设最上面一层放a1根,一共放n(n≥2)层,则最下面一层放a1+(n-1)根,
对点训练1(2021山东济南高三月考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十四里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,七朝才得到其关.”其意思为:有一个人走254里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了7天后到达目的地.请问第四天走了(　　)A.64里 B.32里C.16里 D.8里
的区间,记为第二次操作;…….如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的点集即是“康托三分集”.若要使去掉的各区间
A.4B.5C.6D.7
对点训练2(2020全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块
解析 由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以
二、实际生活中的数列问题实际生产生活中的许多问题,诸如:人口增长、产值增长、分期付款等,都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键是弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数列模型,抽象出通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.
例3.(多选)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.方式①:等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;方式②:等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账,则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.4%,则下列说法正确的是(　　)(参考数据:1.004240≈2.61,计算结果取整数)A.选择方式①,若第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,则小张该笔贷款的总利息为289 200元B.选择方式②,小张每月还款额为3 800元C.选择方式②,小张总利息约为333 840元D.从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①
解析 对于A,由题意可知,在等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为{an},Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510,则
故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200(元),故A正确;对于B,设小张每月还款额为x元,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240,
对于C,小张采取等额本息贷款方式的总利息约为3 891×240-600 000=933 840-600 000=333 840(元),故C正确;对于D,因为333 840>289 200,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①,故D正确.故选ACD.
对点训练3(多选)小王2021年1月初向银行免息贷款10 000元,用于自己开设的农产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续.设第n月月底小王手中有现款an元,则下列论述正确的有(　　)(参考数据:1.211≈7.4,1.212≈9)A.a1=12 000B.an+1=1.2an-1 000C.2021年小王的年利润约为39 400元D.两年后,小王手中现款约为404 600元
答案 BCD　解析 对于A选项,a1=(1+20%)×10 000-1 000=11 000,故A错误;对于B选项,由题意an+1=1.2an-1 000,故B正确;对于C选项,由an+1=1.2an-1 000,得an+1-5 000=1.2(an-5 000),所以数列{an-5 000}是首项为6 000,公比为1.2的等比数列,所以a12-5 000=6 000×1.211,即a12=6 000×1.211+5 000≈49 400,所以2021年小王的年利润约为49 400-10 000=39 400(元),故C正确;对于D选项,两年后,小王手中现款为a24=5 000+6 000×1.223=5 000+6 000×1.212×1.211≈404 600,故D正确.故选BCD.
三、数阵或图表中的数列问题从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变.
例4.(2021云南曲靖高三一模)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲,帕斯卡在1654年发现这一规律,比杨辉要迟了393年.如图所示,在杨辉三角中,从1开始箭头所指的数组成一个“锯齿形”数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中,第37项是(　　)
A.153B.171C.190D.210
解析 由题意可得从第4行起的每行第三个数:3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,所以第k(k≥4)行的第三个数为1+2+…+(k-2).在该数列中,第37项为第21行第三个数,所以该数列的第37
对点训练4(2021厦门外国语学校高三期中)数列{an}中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行1项,排a1;第二行2项,从左到右分别排a2,a3;第三行3项,……,以此类推,设数列{an}的前n项和为Sn,则满足Sn>1 000的最小正整数n的值为(　　)　　　 4,4,4×3,4,4×3,4×32,4,4×3,4×32,4×33…　　　　　　　　　　　　　　　A.22B.21C.20D.19
解析 第i行的和为 =2(3i-1),设满足Sn>1 000的最小正整数为n,由于an在图中排在第i行第j列(i,j∈N*且j≤i),所以有Sn=2(3-1)+2(32-1)+…+2(3i-1-1)+2(3j-1)=2(3+32+33+…+3i-1)-2(i-1)+2(3j-1)=3i-3-2(i-1)+2(3j-1)=3i+2·3j-2i-3>1 000,则i≥6,j≥5,即图中从第6行第5列开始,和大于1 000.因为到第6行第5列共有1+2+3+4+5+5=20项,所以最小正整数n的值为20.故选C.
四、数列中的新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等,然后根据此新定义去解决问题,数列中新定义问题的解题要求是:(1)提取新定义的信息,明确新定义的名称和符号;(2)理解新定义的概念、法则、性质,纵横联系探求解题方法;(3)对新定义中提取的知识进行等价转换,其中提取、化归与转化是解题的关键,也是解题的难点.数列新定义问题的解题思路为:(1)若新定义是运算法则,直接按照运算法则计算即可;(2)若新定义是性质,要判断性质的适用性,能否利用定义外延;(3)也可用特殊值排除等方法.
例5.(2021四川德阳高三三模)若数列{an}对于任意的正整数n满足:an>0,且anan+1=n+1,则称数列{an}为“积增数列”.在“积增数列”{an}中,a1=1,数列{ }的前n项和为Sn,则对于任意的正整数n,有(　　)A.Snn2+3nC.Snn2+4n
对点训练5(多选)(2021湖南衡阳高三一模)设数列{an}的前n项和为Sn,若 为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”,则下列数列{an}为“吉祥数列”的有(　　)A.an=n B.an=(-1)n(n+1)C.an=4n-2D.an=2n
例6.(2021浙江余姚高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若不等式an+1≤Sn对任意的n∈N*恒成立,则称数列{an}为“和保值数列”.若数列{an}是公差为d的等差数列,且数列{an+n}为“和保值数列”,则a1的取值范围为(　　)A.[0,+∞)B.[-2,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)
对点训练6(多选)(2021广东湛江高三月考)在无穷数列{an}中,若ap=aq(p,q∈N*),总有ap+1=aq+1,此时定义{an}为“阶梯数列”.设数列{an}为“阶梯数列”,且a1=a4=1,a5= ,a8a9=2 ,则(　　)A.a7=1 B.a8=2a4C.S10=10+3 D.a2 020=1
对点训练7(2021湖南衡阳高三模拟)定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如,[1.3]=1,[-1.5]=-2,[2]=2.当x∈[0,n),n∈N*时,f(x)的值域为An,记集合An中元素的个数为an,则a2=　　　　　; =　　　　　.