2021-2022学年北京市首都师范大学附属中学九年级上学期10月月考数学试题（文字版，含答案含解析）

这是一份2021-2022学年北京市首都师范大学附属中学九年级上学期10月月考数学试题（文字版，含答案含解析），共33页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市首都师范大学附属中学
九年级上学期10月月考
数 学
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0一次项系数是（　　）
A. 2 B. 3 C. 1 D. ﹣3
3. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
4. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（　 　）
A （x﹣2）2=1 B. （x﹣2）2=4 C. （x﹣2）2=5 D. （x﹣2）2=3
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝20°，则∠BOD的度数是（　　）


A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
6. 如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7. 若点，在抛物线（）上，则下列结论正确的是（ ）．
A B. C. D.
8. 边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　）

A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 以上都不是
二．填空题（每小题2分，共计16分）
9. 写出一个经过原点且开口向上的抛物线的析式：___．
10. 在平面直角坐标系xOy中，若点B与点关于点O中心对称，则点B的坐标为______．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．

12. “杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2019年平均亩产700千克，2021年平均亩产1000千克，设此水稻亩产量的平均增长率为x，则可列出的方程是___．
13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm.

14. 已知四个点的坐标分别为A（-4，2），B（-3，1），C（-1，1），D（-1，2）．若抛物线y＝ax2与四边ABCD的边有两个交点，则a的取值范围为___．
15. 如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，5），B（4，﹣1），则方程ax2+bx+c＝kx+m的解是___，函数y3＝y2﹣y1的对称轴为直线___．

16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中直径为4的圆及其内部最多能覆盖住的格点个数为___．


三．解答题（17-22每小题5分，23-26每小题5分，27，28每小题5分）
17. 解方程：x2﹣6x+8＝0．
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．求证：BE＝CD．


19. 已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a+1）2﹣4a+5的值．
20. 下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O切线．
根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝　 　°（ 　 　）（填推理的依据）
∴OA⊥AP，　 　⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O切线 （ 　 　）（填推理的依据）

21. 已知关于x的方程x2＋8x＋12－a＝0有两个不相等的实数根．
⑴ 求a的取值范围；
⑵ 当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．
22. 已知：二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y1
…
3
0
﹣1
0
m
…
（1）观察表可求得m的值为 　 　；
（2）请求出这个二次函数的表达式；
（3）正比例函数y2＝kx（k≠0），当x＞3时总有y1＞y2，直接写出k的取值范围．
23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若DE＝1，BE＝，求GC和OF的长．

24. 用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．

①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围】
25. 如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．

26. 已知二次函数y＝x2﹣2hx+h2﹣1．
（1）求该二次函数的对称轴（用含h的式子示）；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）是二次函数图像上的点，当﹣1≤x1＜1且x2≥3时，均满足y1＜y2，求h的取值范围；
（3）在（2）的条作下，已知点（﹣3，m），（﹣1，n），（3，p）在二次函数的图象上，若h＞0，比较m，n，p的大小，说明理由．
27. 如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且点A，B在直线MN的同侧，过点A作AD⊥MN于D．
（1）求证：∠DAC＝∠MCB；
（2）点E在AD的延长线上，将线段CE绕点C逆时旋转90°得到线段CF，连接BF交直线MN于H：
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BH与FH的数量关系，并证明．


28. 对图形M，N和点P，如果图形M上存在点Q1，图形N上存在点Q2，使得点Q1绕点P顺时针旋转90°后与点Q2重合，则称图形N是图形M关于点P的“秋实”图形．

（1）如图1，A（﹣3，0），B（0，3），则点C1（1，0），C2（﹣2，﹣1），C3（3，0）中．是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点是 ___；
（2）设直线y＝x+b（b＞0）与x轴负半轴交于点D，与y轴正半轴交于点E，⊙F是以点F（2，1）为圆心，2为半径的圆．若⊙F是线段DE关于坐标原点O的“秋实”图形，求b的取值范围；
（3）设直线l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）为圆心，1为半径的圆，若对⊙G上的任意一点H，存在k（≤k≤），使得点H是直线l关于坐标原点O的“秋实”图形，请直接写出m的取值范围．

参考答案
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后，能与自身重合，这样的图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.
【详解】解：A图绕某点旋转后，不能与自身重合，故A不符合题意；
B图绕某点旋转后，不能与自身重合，故B不符合题意；
C图绕某点旋转后，不能与自身重合，故C不符合题意；
D图绕某点旋转后，能与自身重合，故D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键.
2. 一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是（　　）
A. 2 B. 3 C. 1 D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【详解】解：该方程的一次项系数为-3，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式．
3. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
【答案】A
【解析】
【详解】二次函数图象与平移变换．
据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选A．
4. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（　 　）
A. （x﹣2）2=1 B. （x﹣2）2=4 C. （x﹣2）2=5 D. （x﹣2）2=3
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可.
【详解】x2﹣4x﹣1=0，移项，得x2－4x=1，配方，得x2－4x+22=1+22，即（x－2）2=5 .
故选C.
【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝20°，则∠BOD的度数是（　　）


A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂径定理，由弧等得圆心角相等∠COB=∠DOB，根据圆周角定理求即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，
∴
∴∠COB=∠DOB，
∵∠COB=2∠CAB，∠CAB=20°，
∴∠BOD=∠BOC=2×20°=40°．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧，弦的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6. 如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°，推出旋转角是60°的整数倍时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断．
【详解】解：从图形观察得到基本图形是有一个大三角形和一个小三角形组成，
图中一共有六个同样的基本图形
一个基本图形旋转到另一个基本图形的最小旋转角为

∴旋转角是60°整数倍时，旋转后可以与原来图形重合，
30°＜45°＜60°＜90°，
∵90°不是60°的整数倍，旋转90°不可能与原来图形重合，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 若点，在抛物线（）上，则下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，先判断抛物线的开口方向、对称轴以及最大值，再结合点，分析，即可完成求解．
【详解】根据题意得：（）的开口向下，对称轴为
∴当时，即在对称轴右侧，随着的增大而减小；当时，y取最大值，最大值为：
∵点，点在对称轴的右侧，即
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图形的性质，从而完成求解．
8. 边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　）

A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 以上都不是
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正方形的性质证明可得再利用勾股定理表示再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案.
【详解】
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键.
二．填空题（每小题2分，共计16分）
9. 写出一个经过原点且开口向上的抛物线的析式：___．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】根据题意，抛物线是或形式，值为正数即可．
【详解】解：根据题意，抛物线是或形式，值为正数即可，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式．
10. 在平面直角坐标系xOy中，若点B与点关于点O中心对称，则点B的坐标为______．
【答案】（2，﹣3）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．
【详解】解：∵点A（-2，3）与点A关于原点O中心对称，
∴点B坐标为：（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．

【答案】110°.
【解析】
【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°
【详解】∵∠BOD=140°
∴∠A=∠BOD=70°
∴∠C=180°-∠A=110°，
故答案为110°.
【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.
12. “杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2019年平均亩产700千克，2021年平均亩产1000千克，设此水稻亩产量的平均增长率为x，则可列出的方程是___．
【答案】．
【解析】
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2020年平均亩产×1加增长率＝2021年平均亩产”即可列出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，根据实际问题列出一元一次方程并求解是解题关键 ．
13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm.

【答案】3
【解析】
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长.
【详解】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，

∵DE＝8cm，
∴EF＝DE＝4cm，
∵OC＝5cm，
∴OE＝5cm，
∴OF＝cm．
故答案为3.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答．
14. 已知四个点的坐标分别为A（-4，2），B（-3，1），C（-1，1），D（-1，2）．若抛物线y＝ax2与四边ABCD的边有两个交点，则a的取值范围为___．
【答案】＜a＜2
【解析】
【分析】分别画出当抛物线y=ax2（a＞0）过四边形ABCD的四个顶点时的图象，观察图象可得．
【详解】解：把A（-4，2）代入y=ax2得a=，解析式为y=x2，
把B（-3，1）代入y=ax2得a=，解析式为y=x2，
把C（-1，1）代入y=ax2得a=1，解析式为y=x2，
把D（﹣1，2）代入y=ax2得a=2，解析式为y=2x2，
分别画出当抛物线y=ax2过四边形ABCD的四个顶点时的图象，如图所示：

如图，若抛物线y=ax2与四边形ABCD的边有两个交点，
则a的取值范围为＜a＜2，
故答案为：＜a＜2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
15. 如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，5），B（4，﹣1），则方程ax2+bx+c＝kx+m的解是___，函数y3＝y2﹣y1的对称轴为直线___．

【答案】 ①. x=-2或x=4##x=4或x=-2 ②. x=1．
【解析】
【分析】两函数图像的交点的横坐标就是两函数让y值相等时组成方程的解，可得x=-2或x=4是方程ax2+bx+c＝kx+m的解，x=-2或x=4对应函数y3＝y2﹣y1的函数值为0，利用函数的轴对称性质，可求对称轴．
【详解】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，5），B（4，﹣1），
∴x=-2或x=4是方程ax2+bx+c＝kx+m的解，
函数y3＝y2﹣y1的对称轴为直线x=，
故答案为x=-2或x=4；x=1．
【点睛】本题考查两函数的图像交点与两函数组成方程的解关系，新定义两函数差函数关于交点的横坐标对应的函数值相等是解题关键．
16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中直径为4的圆及其内部最多能覆盖住的格点个数为___．


【答案】13
【解析】
【分析】先确定圆内接四边形的最大面积是正方形，正方形的对角线是圆的直径，求出正方形面积，利用方程再求出边长，根据正方形的边长为两个小正方形的对角线，每边有3个格点，再求出正方形内部格点即可
【详解】解：∵圆的直径为4，
∴圆内接四边形中，最大面积为正方形，正方形的对角线长为4，
正方形的面积为，
设正方形的边长为x，
∴，
∴，
边长为两个小正方形的对角线，
∴每边有3个格点，正方形中间有5个格点，
一共有（3-1）×4+5=13个格点，
故答案为13．

【点睛】本题考查圆覆盖圆内接四边形问题，一元二次方程的解法，掌握覆盖面积最大四边形是正方形，利用面积求出边长是解题关键．
三．解答题（17-22每小题5分，23-26每小题5分，27，28每小题5分）
17. 解方程：x2﹣6x+8＝0．
【答案】x1＝2 x2＝4．
【解析】
分析】应用因式分解法解答即可.
【详解】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2 x2＝4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．求证：BE＝CD．


【答案】证明见详解．
【解析】
【分析】根据旋转可得AD=AE，∠EAD=α，由AB＝AC，∠BAC＝α，可得∠EAB =∠DAC，再证△EAB≌△DAC（SAS）即可．
【详解】证明：∵将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，
∴AD=AE，∠EAD=α，
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=α，
∴∠EAB =∠DAC，
在△EAB和△DAC中

∴△EAB≌△DAC（SAS）
∴BE＝CD

【点睛】
本题考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定等知识点，求出∠EAB =∠DAC是解题关键．
19. 已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a+1）2﹣4a+5的值．
【答案】10．
【解析】
【分析】由a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则a2﹣2a＝4，然后将化为，最后将a2﹣2a＝4代入计算即可．
【详解】解∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，
∴a2﹣2a＝4，




=10．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，正确理解一元二次方程的解的含义是解答本题的关键．
20. 下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝　 　°（ 　 　）（填推理的依据）
∴OA⊥AP，　 　⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线 （ 　 　）（填推理的依据）


【答案】90，直径所对的圆周角是直角，OB，经过半径外端点,并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【解析】
【分析】连接OA，OB．由OP为⊙M的直径，根据直径所对的圆周角是直角可得∠OAP＝∠OBP＝90°根据直角可得OA⊥AP， OB⊥BP．由OA，OB为⊙O的半径，根据切线定义经过半径外端点,并且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出结论．
【详解】证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝　90 　°（ 直径所对的圆周角是直角　 　）（填推理的依据）
∴OA⊥AP，　 OB　⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线 （经过半径外端点,并且垂直于半径的直线是圆的切线 　）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，OB，经过半径外端点,并且垂直于半径的直线是圆的切线．

【点睛】本题考查尺规作图的理论证明，掌握直径所对圆周角的性质，切线的判定是解题关键．
21. 已知关于x的方程x2＋8x＋12－a＝0有两个不相等的实数根．
⑴ 求a的取值范围；
⑵ 当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．
【答案】（1）；（2）x1＝－3，x2＝－5.
【解析】
【详解】试题分析：(1)方程有两个不相等的实数根，判别式大于0,求参数的范围.
(2)利用（1）结论求出a的值，代入原方程解方程.
试题解析：
⑴ 根据题意得：
解得:
⑵ ∵ ∴ 最小的整数为﹣3
∴ x2＋8x＋12﹣（﹣3）＝0
即：x2＋8x＋15＝0
解得：x1＝－3，x2＝－5
点睛：一元二次方程的根的判别式是,
△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,
△=0说明方程有两个相等实数解,
△