专题10 垂面模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

这是一份专题10 垂面模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型，文件包含专题10垂面模型解析版docx、专题10垂面模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
专题10 垂面模型（解析版）一、解题技巧归纳总结垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．     二、典型例题例1.已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】由题意知的中点为 外接圆的圆心，且平面平面过 作面的垂线，则垂线 一定在面 内．根据球的性质，球心一定在垂线 上，球心一定在平面 内，且球心也是 外接圆的圆心．在 中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱锥的外接球的表面积．故答案为：．例2.已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线，球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱锥外接球的表面积为，故答案为：．例3.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】如图，设的外接圆的圆心为连接，，，连接．由题意可得，且，．因为平面平面，且，所以平面，且．设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，则外接球的半径满足，即，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．例4．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．【解析】取的中点，连接，，在等边三角形中，，在等边三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，为等腰直角三角形，设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，底面的中心为，面的外心为，则，，在直角三角形中，．而，解得，则，解得，故答案为：．三、配套练习1．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则　　A． B． C． D．3【解析】取的中点，连接，，在等边三角形中，，在等边三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，为等腰直角三角形，设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，底面的中心为，在直角三角形中，，而，解得，则，解得，故选：．2．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，设 的外心是，半径是，连接，，，由正弦定理得，则， 为 的中点，，，所以，因为平面平面， 于，平面平面，则平面，所以直线 与平面 所成的角是，则，即，因为，所以，则，故，设三棱锥 外接球球心是，连接，，，过 作 于，则平面，于是，从而 是矩形，所以外接球半径 满足，解得．所以外接球的表面积为．故选：．3．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则　　A． B． C． D．【解析】设外接球球心，半径，由题意可得，，解可得，根据题意可得为正三角形的中心，因为，所以，，所以正三角形的边长为，由可得，因为平面平面，所以，所以．故选：．4．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】取的中点，连接，中，，，，，设的中心为，球心为，则，设到平面的距离为，则，，，四棱锥的外接球的表面积为．故选：．5．如图所示，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】设球心到平面的距离为，则所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，到平面的距离为，，，，多面体的外接球的表面积为．故选：．6．在正方形中，，沿着对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥，若球为三棱锥的外接球，则球的体积与三棱锥的体积之比为　　A． B． C． D．【解析】由题意，三棱锥的外接球的球心为的中点，半径为，球的体积．三棱锥的体积，球的体积与三棱锥的体积之比为．故选：．7．已知四棱锥一中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】取的中点，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，四棱锥的外接球的球心为正方形的中心，设半径为，则，，四棱锥的外接球的表面积为．故选：．8．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】在三角形中，，，由余弦定理可得，而在三角形中，，，，即为直角三角形，且为斜边，因为平面平面，所以几何体的外接球的球心为为三角形 的外接圆的圆心，设外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积，故选：．9．在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，取中点，连接，，平面平面，和都是边长为的等边三角形，平面，，设过平面，平面的中心，且与垂直二平面的直线交于，可知即为外接球球心，易知，，得，，故选：．10．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如下图所示，，，又，，，又平面平面，平面平面，平面，平面．，所以，直角的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为．因此，三棱锥的外接球的表面积为．故选：．11．已知三棱锥中，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则当平面平面时，三棱锥的表面积等于　　A． B． C． D．【解析】如图，取中点，连接，，由，，，可得，即为三棱锥的外接球的球心，半径为．由三棱锥的外接球的表面积为，得．则当平面平面时，；．三棱锥的表面积．故选：．12．在三棱锥中，平面平面，，，，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　A．7 B．12 C．6 D．【解析】根据题意，设三棱锥外接球的半径为，三棱锥的外接球球心为，的外心为，的外接圆半径为，取的中点为，过作，则平面，平面，如图，连结，，则，设，则，由，解得，在中，由正弦正理得，，解得，在中，，解得，，，若三棱锥的体积最大，则只需的面积最大，在中，，，解得，，三棱锥的体积的最大值：．故选：．13．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意，多面体为棱长为的正方体，切去一个角，多面体的外接球的直径为，半径为，多面体的外接球的表面积为．故选：．14．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】三棱锥中，是边长为的正三角形，，平面平面，，，取中点，连结，，则，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，设球心，，，则，，解得，，，，三棱锥的外接球的体积：．故选：．15．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面．若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面的距离为，则三棱锥的体积的最大值为　　A． B． C．27 D．81【解析】如图，取等边三角形的中心，过作三角形的垂线，截去．则为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为，由，得．即，．则，可得，过作平面，则为三角形的外心，连接并延长，角于，则为的中点，要使三棱锥的体积最大，则共线，即为等边三角形，此时三棱锥的高为．三棱锥的体积的最大值为．故选：．16．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，如图所示：是边长为6的正三角形，所以的中心到中点的距离为，所以，所以，故选：．17．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，取中点，连接并延长至的外心，在中，由，，可得，则，又，，则为以为斜边的直角三角形，则中点为的外心，平面平面，过作平面的垂线，故作平面的垂线，两垂线相交于，为空间四边形的外接球的球心．在中，由，得．，则，空间四边形的外接球的半径．空间四边形的外接球的表面积．故选：．18．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为　　A． B． C． D．【解析】在边长为2的菱形中，；如图，由已知可得，与均为等边三角形，取中点，连接，，则，；二面角为直二面角，则平面，分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为等边三角形且边长为2，可得．．．三棱锥的外接球的表面积为．故选：．19．在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为　　A． B． C． D．6【解析】三棱锥中，过的中心作平面，过的中心作平面，、交于点，则是三棱锥的外接球球心，连接，则是外接球的半径；由该三棱锥的外接球体积为，；设的边长为，，，，即，解得．故选：．20．在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】取，中点分别为，，连接，，，由题意知，，，易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，，有，，，，，三棱锥的外接球的体积为．故选：．21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】将边长为1的正方形，沿对角线把折起，使平面平面，则，；三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为．故选：．22．已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】借助长方体作出空间四边形，取中点，在等腰中，，，可求得，，又，为正三角形，外接球球心在过其中心垂直于平面的直线上，如图：在中，求得，，，设，则，在中，，在中，，由列方程解得，从而即外接球半径，外接球面积，故选：．23．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知．点到四面体的四个顶点，，，的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示．外接球的半径5．外接球的体积．故选：．24．在三棱锥中，，平面平面，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，的中点为，则点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，四边形为正方形，由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时，与是等边三角形，设，则，，，由，解得，，，，，则球的半径，所求外接球的表面积为，故选：．