2021-2022学年云南省玉溪市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年云南省玉溪市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数与都是纯虚数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 命题“”的否定是(    )

A. ， B. ，
C.  D.

4. 已知单位向量满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 为得到函数的图象，可由函数的图象(    )

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

7. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 函数的零点个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 某校高一年级个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：，，，，，，，，，，，，，，，则(    )

A. 这组数据的分位数是 B. 这组数据的分位数是
C. 这组数据的下四分位数是 D. 这组数据的上四分位数是

10. 已知，表示不同的直线，，表示不同的平面，则(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则

11. 已知函数的图象关于直线对称，则(    )

A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象关于中心对称

12. 如图，正方体中，，，分别是棱，，的中点，则(    )

A.  B. 平面
C. 平面平面 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 抛掷枚硬币，至少有枚正面向上的概率等于______．
14. 已知，则______．
15. 中，点满足，若，则______．
16. 已知直三棱柱的所有棱长均为，若，，，四点均在球的球面上，则球的表面积等于______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 甲、乙人进行定点投篮游戏，在次投篮中投进的概率分别为，，且各次投篮是否投进相互独立，各人投篮是否投进相互独立，每人各投篮次为“一轮游戏”．
    在一轮游戏中，求人共投进球的概率；
    在两轮游戏中，求人共投进球的概率．
18. 已知向量，函数．
    求的单调递增区间；
    当时，求的值域．
19. 某市为了普及法律知识，增强市民的法制观念，针对本市特定人群举办网上学法普法考试．为了解参考人群的法律知识水平，从一次普法考试中随机抽取了份答卷进行分析，得到这份答卷成绩的统计数据如下：

在答题卡的图中作出样本数据的频率分布直方图；
试根据统计数据，估计本次普法考试的平均成绩和中位数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
已知该市有万人参加考试，得分低于分的需要重考不低于分为合格，不再重考若每次重考的合格率都比上一次考试低个百分点，试估计第次重考的人数．

20. 如图，三棱锥中，是正三角形，，．
    证明：平面平面；
    、分别是、的中点，，求三棱锥的体积．

21. 的内角，，所对的边分别为，，，已知．
    若，求；
    设为边的中点，，求的面积．
22. 某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在万元到万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金单位：万元随年产值单位：万元的增加而增加，但奖金不低于万元，且不超过年产值的．
    若某下属企业年产值万元，核定可得万元奖金．试分析函数模型为常数是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；
    设，若函数模型符合奖励原则，试求的取值范围．参考数据：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，可设，
为纯虚数，
则，解得，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，命题“”是特称命题，
其否定为：，；
故选：．
根据题意，由特称命题的否定方法分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题与特称命题的关系，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由向量为单位向量，
则，
又，
则，
即，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算可得，然后运算即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
又，
所以，，
则．
故选：．
由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数，
把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，
故选：．
由条件利用两角差的正弦公式，函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查两角差的正弦公式，函数的图象变换规律的简单应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
由对数函数在的右侧底大图底，
知，
．
故选：．
利用，，，，能比较， ，的大小．
本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数的单调性的灵活运用．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，且，故函数为偶函数，
当时，，考虑函数在内的零点个数，
令，可得，
作出函数、在上的图象如下图所示，

由图可知，函数、在上的交点个数为，
故函数在上的零点个数为，
因此，函数的零点个数为．
故选：．
分析函数的奇偶性，数形结合可得出函数在内的零点个数，结合函数奇偶性的性质可得出结果．
本题考查了函数的零点、奇偶性、转化思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：将数据按照从小到大排列依次为：
，，，，，，，，，，，，，，，
又，，，，
所以这组数据的分位数为第六个数与第七个数的平均数，即，故A错；
这组数据的分位数为第个数与第个数的平均数，即，故B正确；
这组数据的下四分位数为第个数，即，故C错误；
这组数据的上四分位数为为第个数，即，故D正确；
故选：．
利用百分位数的定义以及计算方法求解即可．
本题考查了百分位数的定义以及计算方法的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A，若，，则或，即选项A错误；
对于选项B，若，，，设，，，则，又由线面平行的性质定理可得，则，即选项B正确；
对于选项C，若，，则，即选项C正确；
对于选项D，若，，则与的关系无法确定，即选项D错误，
故选：．
由空间中点、直线、平面之间的位置关系逐一判断即可得解．
本题考查了空间中点、直线、平面之间的位置关系，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数关于直线对称，
，
，
，
，
，
，，定义域为，关于原点对称，
函数为奇函数，故选项A正确，
，
，
正弦函数在 上单调递增，在 上单调递减，故B选项错误，
，，，
， 中一个为最大值，另一个为最小值，
图象的最小正周期，
的最小值为，故C选项正确，
，
函数的图象关于中心对称，故D选项正确．
故选：．
根据已知条件函数关于直线对称，可得，再结合三角函数的性质，分别即可求解．
本题考查了三角函数的性质，求解出的解析式是解本题的关键，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，连接，，，由题意得，，

则四边形是平行四边形，则，
又，分别是，的中点，，，故A正确；
对于，连接，，，，，，由选项得，

又平面，平面，
平面，
，，分别是棱，，的中点，，
平面，平面，平面，
，平面平面，
平面，平面，故B正确；
对于，连接，，，，，，，，，
取中点，连接，，

由选项B知，平面平面，
若平面平面，则平面平面，
由题意得、为等边三角形，则，，
则是二面角的平面角，
，，
平面平面不成立，即平面不垂直于平面，故C错误；
对于，连接，，，，，，，，

由题意得平面，平面，，
又，，则平面，
平面，则，
同理，，又，平面，
由选项知平面平面，则平面，
又平面，，故D正确．
故选：．
由，，判断；由平面平面，判断；由平面平面，将平面平面，转化为平面平面，又平面平面不成立，判断；由平面得到平面，判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛掷枚硬币，没有枚正面向上的概率为，
所以至少有枚正面向上的概率等于．
故答案为：．
利用古典概型的概率和对立事件的概率求解即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：已知，则，
故答案为：．
由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据可知，是的四等分点，则，
又在中，，即，
又在中，，
故，即，
又，则，，
所以，
故答案为：．
根据可知，是的四等分点，在中，，即，又在中，，故，即，即可求出．
本题考查平面向量基本知识，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知：直三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
因为棱柱的所有棱长都等于，所以底面外接圆的半径为，
所以外接球的半径为：，
所以外接球的表面积为，
故答案为：．
直三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．
本题考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得：在一轮游戏中，人共投进球的概率为；
在两轮游戏中，人共投进球的概率为． 

【解析】在一轮游戏中，人共投进球的事件为甲投进，乙未投进或甲未投进，乙投进，然后求概率即可；
由独立事件的概率乘法公式可得，在两轮游戏中，人共投进球的概率为，得解．
本题考查了相互独立事件和独立事件的概率乘法公式，属基础题．
 

18.【答案】解：已知向量，
则，
由，，
则，，
即的单调递增区间为，；
当时，，
则
则的值域为． 

【解析】由平面向量数量积的运算可得，然后由，，求出的单调增区间即可；
当时，，然后求函数的值域即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角恒等变换及三角函数值域的求法，属基础题．
 

19.【答案】解：频率分布直方图如图所示：

样本数据各组中点值及相应的频率如下：

普法考试的平均成绩；
设样本成绩的中位数为，则易知，
由，得，
由此估计，本次普法考试成绩的中位数为；
在初次考试后得分低于分的频率为，
由此估计在初次考试后，需要重考的概率，
由题设知，第次重考后，还需要重考的概率，
第次重考后，还需要重考的概率，
所以，第次重考的人数估计为万人． 

【解析】由频数分布表，易得频率分布直方图；
由每一组的频率乘以该组的中值再求和，即可得平均数，频率对应中位数结合频率分布直方图求解；
在初次考试后，得分低于分的频率为，由此估计在初次考试后，需要重考的概率，第次重考后，还需要重考的概率，第次重考后，还需要重考的概率，进而根据第次重考的人数．
本题主要考查频率分布直方图、样本数据估计总体数据，考查了分析问题与解决问题的能力，属于基础题．
 

20.【答案】证明：取的中点，
连接、，
由是正三角形，，
则，，
则面，
则，
又，
则，
即面，
又面，
则平面平面；
解：由、分别是、的中点，，
取的中点，则面，且，
在中可得，
则，
即三棱锥的体积为． 

【解析】由已知可得：，又，即面，又面，则平面平面，得证；
由，然后求解即可．
本题考查了面面垂直的判定定理，重点考查了三棱锥体积的求法，属基础题．
 

21.【答案】解：已知，
又，
由余弦定理可得：，
又，
则；
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
又，，，，，
则由可得：，
即，
则边的高的大小为，
则的面积为． 

【解析】由余弦定理可得：，然后求解即可；
在中，由余弦定理可得：，，在中，由余弦定理可得：，，由可得：，然后求面积即可．
本题考查了余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题．
 

22.【答案】解：由题意可得：，
则，
即，
又为增函数，
则，
，
所以函数模型不符合集团的奖励原则；
函数模型符合奖励原则，
因为，故函数在上单调递增，则在递增，符合奖励原则；
由奖励原则得，即，解得；
又由奖励原则得，即在恒成立，
即，，
设，则抛物线开口向下，对称轴为，
所以当时，，由，得，
综上，．
所以的取值范围是． 

【解析】时，，求得模型的解析式，再判断在区间是否上单调递增，是否恒成立即可；
由，再根据函数在上单调递增，，且恒成立求解．
本题考查了函数的单调性、二次函数的性质、反比例型函数的性质，属于中档题．