2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期全真模拟（三）数学（文）试题含解析

2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期全真模拟（三）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的运算求解即可

【详解】由题，

故选：A

2．已知命题，则为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得出答案.

【详解】命题，则为:对，

故选：B

3．已知复数满足，则在复平面内表示复数的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义求解.

【详解】，所以在复平面内表示复数的点为，在第一象限.

故选：A．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知该几何体是一个三棱锥，底面三角形为等腰直角三角形，侧面三角形为等腰直角三角形，且平面平面，根据三视图中的数据以及棱锥的体积公式即可求出结果.

【详解】根据题意，可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，

其中底面三角形为等腰直角三角形，侧面三角形为等腰直角三角形，其中,，平面平面，且三棱锥的高为，

所以这个几何体的体积为.

故选：C.

5．在等差数列{an}中，，则数列{an}的前11项和S11＝（       ）

A．24 B．48 C．66 D．132

【答案】D

【分析】利用等差数列的通项公式将已知的等式化为基本量表示，由此得到a6＝12，然后利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质将S11用a6表示，即可得到答案．

【详解】因为{an}为等差数列，且a12＝a9﹣6，

所以2a9＝a12+12，

则2（a1+8d）＝a1+11d+12，

解得a1+5d＝12，即a6＝12，

所以S11＝＝11a6＝11×12＝132．

故选：D．

6．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先用诱导公式化简要求值的三角函数式，再代倍角公式即可求解

【详解】，则，

故选：B．

7．如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A．16cm B．cm

C．8cm D．cm

【答案】A

【分析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得．

【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，

又，，，

所以，

周长为．

故选：A．

8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

137   966 191   925   271   932   812   458   569   683

431   257 393   027   556   488   730   113   537   989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ）

A．0.40 B．0.30

C．0.35 D．0.25

【答案】B

【详解】试题分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：137,191,271,932,812,393共6组随机数，所以所求概率为，故选B．

【解析】古典概型及其概率的计算．

9．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C． D．5

【答案】D

【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】，

因为该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，

所以，

因为的图象关于y轴对称，

所以是偶函数，

因此有，

因为，所以当时，有最小值，最小值为5，

故选：D

10．点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离公式得解.

【详解】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，

所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，

即焦点到直线的距离：.

故选:B.

11．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】因为三棱锥中，平面，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，

因为，则长方体的长宽高分别为

所以三棱外接球的半径为

.

所以三棱锥外接球的体积为

.

故选：C.

12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，利用导数的性质，即可得到原不等式恒成立时，的取值范围.

【详解】由题意得，，令，故，故.令，则.

若，则，则在上单调递增，又，则当时，，不合题意，舍去；

若，则当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以若，则当，，舍去；若，则当，，舍去；若，则，符合题意，故.

故选：A

二、填空题

13．已知向量，且，则________．

【答案】4

【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】解：因为向量，且，

所以，解得

故答案为：

14．设数列的前项和为，，则_____.

【答案】

【分析】利用求得.

【详解】当时，，

当时，，

所以，

也符合上式，

所以.

故答案为：

15．在区间上随机取1个数，则取到的数满足的概率为___________.

【答案】

【分析】先求解不等式，再使用几何概型求概率公式进行求解.

【详解】解得：，

故区间上随机取1个数，则取到的数满足的概率为.

故答案为：

16．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.

【答案】2

【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出，，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.

【详解】解：连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，

所以，四边形为平行四边形，

若，所以，

因为，所以，所以是等边三角形，

所以，，，

所以，四边形为矩形，

所以，在直角三角形中，，

所以，，

在椭圆中，，可得

在双曲线中，，可得

所以离心率之积，

故答案为：.

三、解答题

17．为迎接2022年9月在杭州举办的第19届亚运会，亚组委志愿者部对所有报名参加志愿者工作的人员进行了首场通用知识培训，并进行了通用知识培训在线测试，不合格者不得被正式录用，并在所有测试成绩中随机抽取了男、女各50名预录用志愿者的测试成绩（满分100分），将他们的成绩分为4组：，整理得到如下频数分布表．

(1)若规定成绩在内为合格，否则为不合格，分别估计预录用男、女志愿者合格的概率；

(2)试从均值和方差的角度分析，样本成绩较好的是预录用男志愿者还是预录用女志愿者（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

【答案】(1)；

(2)样本成绩较好的是预录用女志愿者.

【分析】（1）利用古典概型概率公式即得；

（2）分别求得男、女志愿者的平均成绩和方差比较即可.

【详解】(1)由题知这50名预录用男志愿者中培训合格的有人，

所以估计预录用男志愿者培训合格的概率为；

这50名预录用女志愿者中培训合格的有人，

所以估计预录用女志愿者培训合格的概率为．

(2)这50名预录用男志愿者的平均成绩为

，

方差，

这50名预录用女志愿者的平均成绩为

，

方差．

因为，

所以样本成绩较好的是预录用女志愿者.

18．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求A的大小；

（2）若，且，求a的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）正弦定理边化角得解；（2）由数量积得bc值，结合题目等式和余弦定理求解a

【详解】（1）由正弦定理得

（2）若，则，故，由余弦定理得=2

19．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，，点E、F分别为棱、的中点．

(1)证明：面；

(2)求三棱锥的体积

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得面.

（2）通过等体积变换的方法求得三棱锥的体积.

【详解】(1)取的中点G，连接，，

因为、F、G分别为、、的中点，与平行且相等，

所以四边形为平行四边形，

，又面，面，面．

(2)由（1）可知，面，且F为的中点，

底面为菱形，，，

.

20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点的动直线l与椭圆E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在实数，使得为定值

【分析】（1）根据题目信息得到关于的方程组，求出，得到椭圆方程；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，进行求解，当直线斜率存在时，得到，求出，再验证斜率不存在的情况是否成立.

【详解】(1)由题意得：，，所以，，

解得：，

所以椭圆E的方程为

(2)设直线斜率存在时，设为，

与联立得：

设，

则，

因为，

所以

，

当且仅当，即，时，

当直线斜率不存在时，，若，

则，

故存在实数，使得为定值5.

【点睛】圆锥曲线定点问题，设出直线方程，联立圆锥曲线，得到两根之和，两根之积，利用题干条件得到等量关系，进而求解出定点，注意直线斜率不存在的情况.

21．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．

【答案】(1)递增区间为，递减区间为

(2)3

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调区间；

（2）首先参变分离为，设函数，利用导数转化为求函数的最小值，即可求得的最大值.

【详解】(1)函数的定义域为，

由，令可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴函数的递增区间为，递减区间为．

(2)当时，不等式可化为，

设，由已知可得，

又，

令，则，

∴在上为增函数，

又，，

∴存在，使得，即．

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴，∴，

∴m的最大值为3．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)将曲线和直线化为直角坐标方程；

(2)过原点引一条射线，分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程.

【答案】(1)，

(2)（去掉）

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换

（2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程

【详解】(1)由C的参数方程：，

∴C：，

由得∴.

(2)设，，

则，，即，

由得即，

∴即，

∵∴M的轨迹方程为（去掉）.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）当时，写出函数的解析式，再分类讨论分别求出不等式的解集，即可得解；

（2）依题意可得，利用绝对值的三角不等式求出，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可；

【详解】(1)解：当时，，

当时，令，解得.

当时，不等式无解.

当时，令，解得.

因此，不等式的解集为或.

(2)解：因为恒成立，所以.

因为

当且仅当时取等号，

所以，解得或.

所以实数的取值范围是.