2022届四川省成都市树德中学高三下学期高考适应性考试数学（理科）试题含解析

这是一份2022届四川省成都市树德中学高三下学期高考适应性考试数学（理科）试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市树德中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（理科）试题一、单选题1．复数z在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则（       ）A．3 B．4 C． D．2．已知集合，则（       ）A． B． C． D．3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（       ）A． B． C． D．4．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．5．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（       ）（参考数据：，）A． B． C． D．26．若，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．7．函数在区间上的大致图像为（       ）A． B．C． D．8．设是等差数列的前n项和，若，且，设，则（       ）A． B． C．2 D．39．若，，，则的最小值等于（       ）A．2 B． C．3 D．10．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（       ）A．240 B．144 C．196 D．28811．双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．12．已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（       ）A． B．C． D．二、填空题13．某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是____________14．若展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为_________．15．在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点A，角的终边交单位圆于点B且，．记，，若且，那么______．16．在三棱锥中， ，PC=2，AB=1，BC=3，，过BC中点D作四面体外接球的截面，则过点D的最大截面与最小截面的面积和为______．三、解答题17．已知的数．(1)求的单调增区间；(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．18．2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）： 冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计女性20 50男性 15 合计  100(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？(2)将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望和方差．附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．(1)证明：平面；(2)从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，椭圆的离心率为的．(1)求椭圆与椭圆的标准方程；(2)设过原点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于点，直线与椭圆相交于点，设，，，的面积分别为，，，，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为．(1)求实数a，b的值；(2)证明：方程有且只有一个实根．22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)分别求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，求的值．23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设的最小为m，若正实数a，b，c满足，求的最小值．    
参考答案：1．C【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】因为复数z在复平面内对应点的坐标为（－2，4）．则，所以．所以．故选：C2．C【解析】【分析】根据对数型函数的定义域，结合解一元二次不等式的方法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以.故选：C3．A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．4．C【解析】【分析】画出可行域，根据目标式的几何意义，应用数形结合法判断求最值时所过的点，即可得范围.【详解】由题设可行域如下图示，目标式表示在在平移过程中，与可行域有交点情况下在x轴上的截距，由图知：目标函数过和的交点时有最小值，过和交点时有最大值，所以，故取值范围为.故选：C．5．B【解析】【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.【详解】解：根据题意可得，，两式相比得，即，所以.故选：B.6．A【解析】【分析】由条件可得，再利用向量夹角公式即得.【详解】由得，∴即，设向量与的夹角为，则，又，∴，.故选：A.7．C【解析】【分析】根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项.【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，当时，，，当时，，，所以当时，仅有一个零点.故选：C【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.8．C【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为 ,由得，，即 ，由得，，即，解得，故选：C.9．D【解析】【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，且，所以，又由，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值等于.故选：D.10．B【解析】【详解】试题分析：由题4人分6张票，则有2人各得两张，且具有连续的编号的票，另外2人各得1张票．2张具有连续的编号的票的情况有12和34；12和45；12和46；23和45；23和56；34和56共6种情况．所以不同的分法种数是． 故选B11．B【解析】【分析】设，，根据题意可得，求得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出、的关系，求得离心率．【详解】连接、，易知、、共线，、、共线，设，，，所以，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，即，解得，因为，由勾股定理可得，即，即，.故选：B.12．C【解析】【分析】根据与关于直线对称，画出图象，再结合导数及零点依次判断选项即可.【详解】由，得，，因为与关于直线对称，在同一坐标系下，画出，，，的图象，如图所示：则，，，关于对称.所以，，故B错误.因为，，，所以，故A错误.因为，，在上为增函数，，，所以.又因为点在直线上，且，所以.，故C正确.因为，所以，设，，在为增函数.所以，即，，故D错误.故选：C13．38【解析】【分析】利用系统抽样直接求得.【详解】从42位同学中采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，抽样距为7，第一个学号为03，所以抽取的6个样本的学号依次为03，10，17，24，31，38.故答案为：38.14．70【解析】【分析】根据二项式的展开式的二项式系数之和为256，求出的值，写出通项式，令的指数为，即可求得常数项．【详解】根据题意可得，解得，则 展开式的通项为，令，得，所以常数项为：，故答案为：7015．【解析】【分析】根据可得，，再根据可得，再根据两角和的正余弦公式求解再求和即可【详解】由题，，故，又，故，.由题有，且，故，即，又，所以，故，，故故答案为：16．##【解析】【分析】由题意确定，故可构造方长体，将三棱锥置于其中，利用长方体的外接球可求得过点D的最大截面与最小截面的面积，进而求得答案.【详解】由，AB=1，BC=3得，,由于 ,，则,故 ,由此可将三棱锥中置于长宽高分别为的长方体中，如图示：则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球半径为 ,过BC中点D作四面体外接球的截面，当截面过球心O时，截面圆面积最大，最大值为 ；当截面与OD垂直时，截面圆面积最小，而 ,故此时截面圆的半径为 ，则截面面积最小值为，故过点D的最大截面与最小截面的面积和为，故答案为：17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先由倍角公式化简解析式，由正弦函数的性质得出的单调增区间；（2）先得出，再由正弦定理得出的外接圆半径，进而得出外接圆的面积．(1)，令，解得，故函数的单调递增区间为．(2)由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．18．(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）直接完成列联表，套公式求出，对着参数下结论；（2）由题意分析出，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望和方差．(1)由题意进行数据分析，可得列联表如下： 冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计女性203050男性351550合计5545100所以，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与 “冰雪运动爱好者”有关.(2)由题意可得：，X的所有可能取值为：0，1，2，3.所以；；；.所以X的分布列为：X0123P从而，19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有，故而得证；（2）过点作于，连接，由平面平面，推出平面．选择条件①：先求得，可证，故以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，依次得平面和平面的法向量与，再由，得解；选择条件②：易知，从而得，接下来同①；选择条件③：易知，从而有，接下来同②中．(1)证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，则，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．(2)解：在平面ACC1中过点作于，连接，平面平面，平面平面，平面，选择条件①：三棱锥的体积，，在中，，点为的中点，，故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，， ，显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．选择条件②：与底面所成的角为，，，点为的中点，，故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，， ，显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．选择条件③：，即为异面直线与所成的角，即，，，，即，，故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，， ，显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．20．(1)：，：(2)是定值，定值为【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求椭圆方程；（2）首先设，，直线，的斜率分别为，，直线分别和椭圆联立方程组，求得点的横坐标，并表示，并求的值，将面积比值表示为，即可求解.(1)因为椭圆经过点，所以，①因为椭圆的离心率为，所以，即，②由①②可得，故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为．(2)设，，则，，即．由题意知，设直线，的斜率分别为，，则．（点拨：得到，的关系式，为下面消元做准备）直线的方程为，则由，消去得，解得或，则．由，消去得，解得或，所以点的横坐标，所以．（点拨：因为点在轴上，所以可以将线段之比转化为点的横坐标的绝对值之比）同理．因为，的高均为原点到直线的距离，所以．（将面积比转化为线段长之比）因为，的高均为原点到直线的距离，所以，所以．故为定值．【点睛】将三角形的面积比转化为，，联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系求出，，转化为判断关于的式子是否为定值是解题的关键21．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得，由题知，解方程得解.（2）令， 分三种情况讨论：当，，时 的零点情况；令，分两种情况讨论：当，时，对求导，借助单调性及零点存在性定理，判断的零点情况，进而得证.(1)因为，所以．因为的图象在处的切线为，所以解得(2)令函数，定义域为．当时，，所以；当时，，所以；当时，由知在上单调递增，又且函数连续不间断，所以，有．综上所述，函数在有唯一的零点，且在上恒小于零，在上恒大于零．令函数，讨论如下：①当时，，求导得．因为，所以，即函数在单调递增．又因为，，所以函数在存在唯一的零点，所以方程在上有唯一的零点．②当时，．法一：由（1）易证在上恒成立．事实上，令，则．因为，所以在上单调递增，所以，即在上单调递增，所以，即在上恒成立．从而，所以方程在上无零点．综上所述，方程有且只有一个实根．法二：因为，所以，所以，所以，所以，所以方程在上无零点．综上所述，方程有且只有一个实根．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形结合思想的应用．22．(1)；；(2).【解析】【分析】（1）消除参数，即可求出曲线C的普通方程；根据，将直线l的极坐标方程转化为普通方程；（2）由题意，写出直线l的参数方程，再将其代入曲线C的普通方程，利用一元二次方程根与系数的关系式的关系，即可求出结果．(1)曲线C的参数方程为（为参数），转换为普通方程为；直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．(2)定点在直线l上，转换为参数方程为：（t为参数），代入，得到：，所以，．故．23．(1)(2)8【解析】【分析】(1)通过讨论，化简绝对值不等式求其解；(2)根据(1)求出，再利用基本不等式求的最小值.(1)当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得．综上所述，原不等式的解集是．(2)因为，所以，则．因为，，，所以，即，当且仅当时等号成立，故的最小值为8．