2021-2022学年广东省高三第一次模拟考试数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省高三第一次模拟考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，其中是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若向量，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知为锐角，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量，两点之间的直线距离．如下图，先将自行车前轮置于点，前轮上与点接触的地方标记为点，然后推着自行车沿直线前进车身始终保持与地面垂直，直到前轮与点接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点与地面接触了次，当前轮与点接触时，标记点在前轮的左上方以下图为观察视角，且到地面的垂直高度为已知前轮的半径为，则，两点之间的距离约为参考数值：(    )

A.  B.  C.  D.

5. 从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合，，则的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，，则图象如图的函数可能是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知，是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，点在过点且斜率的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知正项数列满足，当最大时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是．(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

10. 中国正在从电影大国迈向电影强国．下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片含合拍片与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是(    )

A. 至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于
B. 至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高
C. 至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D. 至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差

11. 已知数列满足，，则下列结论中正确的是(    )

A.  B. 为等比数列
C.  D.

12. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在个点，，，且满足，则下列结论中正确的是(    )

A. 时，
B. 时，的最小值为
C. 时，
D. 时，的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 二项式展开式中的常数项为          ．
14. 下图为四棱锥的侧面展开图点，重合为点，其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：          填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形
15. 如下图，已知扇形的半径为，以为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点的坐标为          ．

16. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在中，角，，的对边分别为，，下面给出有关的三个论断：；；．

化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题．不必证明

18. 如下图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．

证明：平面；

若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

19. 已知正项数列，其前项和满足

求证：数列是等差数列，并求出的表达式；

数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由．

20. 小王每天都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：

已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？

已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：

求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望．

21. 已知，为的导函数．

若对任意都有，求的取值范围；

若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立．

22. 已知椭圆：，其右焦点为，点在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，．

求椭圆的标准方程；

当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题．
根据复数的乘法运算得到，即可得解．

【解答】

解：，
所以，
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了数量积的性质，属于基础题．
对 在根号下平方即可求解．

【解答】

解：向量，满足：，，，
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式以及同角间的关系，属于基础题．
根据为锐角，求出，再利用诱导公式求解可得．

【解答】

解：因为，  为锐角，
所以，
所以，
所以，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了弧长的计算公式，三角比的定义，属于中档题．
根据题意画出图形，利用坐标法求出劣弧长，加上圆周长的倍即可得到答案．

【解答】

解：

以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图：
则，自行车前轮圆的方程为，
点的纵坐标为，代入得横坐标为，，．
所以，所以，所以劣弧．
两点的距离为：
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型，属于基础题．
利用古典概型的概率公式即可求解．

【解答】

解：集合的非空子集有，，，，，，，有个，
从中选择两个不同的集合，，有，
其中的有和，和，和，和，共种情况，故所求概率为．
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的性质的应用，函数的图象变换，属于基础题．
由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．

【解答】

解：由图易知其为奇函数，而为偶函数，为奇函数，排除，
当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，排除，
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，属于简单题．
求得直线的方程，根据题意求得点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．

【解答】

解：如图所示，

由题意知：，，，
直线的方程为：，
由，，则，
代入直线：，整理得：，
故双曲线离心率为．
故选B．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的函数特征，属于中档题．
对两边取对数，构造函数，利用其单调性即可求解．

【解答】

解：由，得，
构造函数，则，
当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减，当时取得最大值，故在时取得最大值，
又因为
所以当时， 取得最大值故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了线面、面面平行的性质定理和判定定理，熟练的掌握定理是关键，属于基础题．
利用面面平行、面面垂直的判定定理和线面垂直、线面平行的性质定理对四个选项分别分析解答．

【解答】

解：对于选项，若，，则或，异面或，相交，故A错误；

对于选项，若，，则，故B正确；

对于选项，若，则或与相交故C错误

对于选项，若，，则或，又，则有选项正确．
故本题选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了条形图，涉及平均数及方差的概念，属于中档题．
利用条形图中的数据结合平均数及方差的知识逐项判定可解．

【解答】

解：这五年的国产影片数量占比分别为，，，，，所以A正确；
B.从上述分析知年国产影片数量占比比年低，B错误；
C.这五年国产影片的数量平均数为，
进口影片数量的平均数为，所以C正确；
D.这五年国产影片数量的方差为，
这五年进口影片数量的方差为，所以D正确．
故选ACD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了数列的递推公式、并项求和、等比数列的前项公式，属于中档题．
根据题意逐项判断即可得到答案．

【解答】

解：，得到，依次类推得到，，故 A正确．
根据知，不为等比数列，故 B错误．
，故C错误．
，D正确，故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的性质，抛物线与直线的关系，属于较难题．
以为抛物线的通径，求得的值，即可判断选项A；当时，写出焦半径的表达式，利用换元法，结合导数求得函数的最值，可判断选项B；当时，求出的表达式，利用三角函数的知识，可判断选项C，．

【解答】

解：对于选项A，当时，，此时不妨取过焦点垂直于轴，不妨取，，则．
故选项A错误；
对于选项B，当时，，
此时不妨取，，在抛物线上逆时针排列，
设，．
则，
故

．
令，则．
令，则．
所以当时，，递增，
当时，，递减，
故的最小值为，即当时，即，的最小值为．
故选项B正确．
对于选项C，当时，，此时不妨取，，，在抛物线上逆时针排列，
设，，
则，，
即
故，．
故．
故选项C正确；
对于选项D，结合选项C可知：
．
当时取最小值，此时，
即的最小值为．
故选项D错误．
故选BC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式展开式通项公式的应用，属于基础题．
利用二项式的通项公式，即可得．

【解答】

解：二项式 的通项公式为 ，
令 ，解得 故常数项为 ．
故答案为：．

14.【答案】和和，和，和 

【解析】

【分析】

本题主要考查异面直线垂直的判断，属于中等题．
用线面垂直的性质判断异面直线互相垂直折叠后可得平面，平面，由此得到四棱锥中互相垂直的异面直线．

【解答】

解：已知，，所以底面四边形的对角线互相垂直，交点为的中点，
即，又，则，又，，平面，平面，又，平面，所以，，与，均异面．
在展开图中，，为中点，所以，，在折叠后，垂直关系未变，
所以在四棱锥中，，，，平面，平面，
又，平面，，与，均异面．
所以四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线为和，和，和，和．
故答案为：和和，和，和．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系、圆心到直线的距离、三角函数的概念，属于中档题．
求出圆的方程与直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出的正弦和余弦值，利用任意角的三角函数的概念，即可求出结果．

【解答】

解：由题意可知，扇形所在圆的方程为，
因为，，
所以，，
所以，
所以直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为
设，
则，则，
设点坐标为，
则
所以点的坐标为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的最值，设，，则，表示出，求出，利用导数，结合最小值也为极小值．

【解答】

解：设，，可设，
则，
，
，
令，
则，
令，即得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，且最小值为．
故答案为 ．

17.【答案】解：论断中，由余弦定理得，
由，得．
论断中，因为，由正弦定理得，，
因为角，是的内角，所以或．
论断中，由正弦定理得，，
即，
即，
即，又因为，所以，
得，又因为，所以，得．
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：
和． 

【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理及两角和差的三角函数公式，属于中档题．
论断中，由余弦定理得 ，得．
论断中，因为，由正弦定理得，，所以或．
论断中，由正弦定理得，．
故有和．
 

18.【答案】解：证明：如下图，连接，由题意知为的直径，所以．
因为，是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形．
所以所以．
因为是圆柱的母线，所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，平面，所以平面．
由知是三棱锥底面上的高，
由知，，所以，即底面三角形是直角三角形．
设，，则．
所以，
当且仅当时等号成立，
即点，分别是，的中点时，三棱锥的体积最大．
由得平面，因为平面，所以．
又因为，，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
所以是二面角的平面角．
由知为直角三角形，则．
故．
所以二面角的余弦值为．
 

【解析】本题重点考查线面垂直、棱锥的体积和二面角，属于一般题．
通过求证和，由线面垂直的判定定理即可求证
先利用棱锥的体积公式和基本不等式说明点，分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，再由是二面角的平面角即可求解．
 

19.【答案】解：证明：由题意可得，当时，，
所以，得．
又，所以是以为首项，为公差的等差数列所以．
因为是正项数列，所以故．
解：不存在．
理由如下：当时，，
因为，所以对于，都有．
则．
假设存在满足要求的连续三项，，，使得，，构成等差数列，
则．
即．
两边同时平方，得．
即．
因为显然不成立，与假设矛盾，
所以数列中不存在满足要求的连续三项． 

【解析】本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，属于中档题．
由题意得是以为首项，为公差的等差数列，．
使用反证法，假设存在满足要求的连续三项，，，使得，，构成等差数列，最后证得与假设矛盾即可．
 

20.【答案】解：用，，分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，
用，，分别表示第天小王进行，，三种运动项目的概率．
因为小王第一天打羽毛球，
所以第天小王做三项运动的概率分别为，，．
第天小王做三项运动的概率分别为，
，
，
所以小王第三天打羽毛球的可能性最大．
小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：，，，，，，，，共种，
运动能量消耗总数用表示，有，，，，共种可能，
，
，
，
，
，
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列为

能量消耗总数的期望卡．
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的期望为卡． 

【解析】本题考查概率计算、离散型随机变量的分布列和期望，属于一般题．
设事件，利用全概率公式分别求出第三天参加篮球、羽毛球和游泳运动的概率，比较即可判断
求出的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望．
 

21.【答案】解：因为，
所以，当时，不符合题意．
当时，令，得令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，    
由题得，解得  
所以．
综上所述  
证明：设，问题转化为在区间上有唯一的零点，  
由，
易知在区间上单调递减，
故函数在区间上至多有个零点，  
由，
同理，得，  
由知，当时，，当且仅当时取等号，  
因为，所以，所以，
又因为，即，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，即，所以，
由函数零点存在定理知在区间上有唯一的零点，
即存在唯一的，使得，成立． 

【解析】本题考查导数的应用，属于难题．
求出，然后对进行分类讨论，利用导数即可求解
设，问题转化为在区间上有唯一的零点，利用对数函数的性质和函数零点存在定理即可求证．
 

22.【答案】解：由题可知，
当点在轴上时，，不妨设，
得
解得所以椭圆的标准方程为．
设，，

则．
同理，

同理
所以的周长为
，
当直线的斜率不存在时，的方程为或．
的方程为时，不妨设，的坐标分别为，，此时
的周长为．
的方程为时，不妨设，的坐标分别为，，此
时的周长为．
当直线的斜率存在时，设的方程为，
由直线与圆相切，得，即．
联立得化简得．
易知恒成立，
，即，同号，
当时，即，此时点在轴右侧，所以，．
此时的周长为定值．
当时，即，此时点在轴左侧，所以，．
此时的周长
．
因为，所以，当且仅当，即或时取
等号．
从而，所以周长的取值范围为．
综上所述，周长的取值范围为． 

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键，考查转化思想，属于难题．
根据题意，利用，即可求得椭圆方程；
，，，分别求出，，，，所以的周长为
，讨论直线的斜率是否存在，可得结论．