2021-2022学年湖南省长沙市雨花区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 为了了解某市初中名毕业生的数学成绩，从中抽取本试卷，每本份，在这个问题中，样本容量是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列四个点中，在第二象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知直线，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 关于的不等式的解如图所示，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在一次慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币元、元、元、元和元的人数进行了统计，制成如下统计图．小明从该统计图获得四条信息，其中正确的是(    )

A. 捐款金额越高，捐款的人数越少
B. 捐款金额为元的人数最多
C. 捐款金额为元的人数比捐款金额为元的人数要少
D. 捐款金额为元的人数最少

7. 把一些图书分给几名同学，如果每人分本，那么余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人至少有一本，但不到本．那么这些图书有(    )

A. 本 B. 本 C. 本 D. 本

8. 已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知线段的长为，点、到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

10. 在平面直角坐标系中，若，，将线段平移到，且，都在坐标轴上，则点坐标为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 已知，则______．
12. 小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区户居民的生活用水情况，他从中随机调查了户居民的月均用水量单位：，并绘制了样本的频数分布表，则表中______，______，______．

13. 不等式组的解为，则的取值范围是______．
14. 二元一次方程的正整数解为______．
15. 如图，直线、相交于点，平分，平分若，则的度数为______

16. 如图，，，为的平分线，若点可表示为，点可表示为，则点可表示为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解不等式：．
18. 已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
    求和的值；
    求关于的方程的解．
19. 如图，的顶点都在平面直角坐标系中的坐标轴上，的面积，，，求三个顶点的坐标．

20. 随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小仙为了了解她的好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把她们月日那天行走的情况分为四个类别：步表示大于等于，小于等于，下同，步，步，步以上，统计结果如图所示：
    请依据统计结果回答下列问题：
    本次调查中，共调查了多少位好友？
    已知类好友人数是类好友人数的倍．
    请补全条形统计图；
    扇形统计图中，“”对应扇形的圆心角为多少度？
    若小仙微信朋友圈共有好友人，请根据调查数据估计大约有多少位好友月日这天行走的步数超过步？

21. 阅读以下材料：
    解方程组：．
    解：由得，将代入得，解得；
    把代入，解得，方程组的解为．
    这种方法称为“整体代入法”．
    请你用这种方法解方程组：．
22. 如图，已知，，求证：．

23. 某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进台空调和台电风扇；第二次购进台空调和台电风扇．
    若第一次用资金元，第二次用资金元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
    在的条件下，若该业主计划再购进这两种电器台，而可用于购买这两种电器的资金不超过元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
24. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
    判断一元一次方程是否是一元一次不等式组的“关联方程”？
    若不等式组的一个“关联方程”的根是整数，写出一个这样的“关联方程”；
    若方程，都是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围．
25. 阅读下面材料，并解决问题：
    我们知道，“如果两条平行被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用，如图，已知三角板中，，，，长方形中，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点则的度数是多少呢？若过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而的度数就可以求得
    请你直接写出图中与的度数；
    若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想与的数量关系？并说明理由．
    请你总结解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：为了了解某市初中名毕业生的数学成绩，从中抽取本试卷，每本份，在这个问题中，样本容量是：，
故选：．
根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

2.【答案】 

【解析】解：、在第四象限，故此选项不符合题意；
B、在第一象限，故此选项不符合题意；
C、在第二象限，故此选项符合题意；
D、在第三象限，故此选项不符合题意．
故选：．
根据第二象限的点的坐标特征判断即可．
本题考查了点的坐标．记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据算术平方根的含义和求法，求出的算术平方根是多少即可．
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：被开方数是非负数；算术平方根本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线，
．

又，
．
故选：．
由直线，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，再结合和互补，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：解不等式，
得，
由图可得，，
则，
解得．
故选：．
由数轴可以得到不等式的解集是，根据已知的不等式可以用关于的式子表示出不等式的解集．就可以得到一个关于的方程，可以解方程求得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图知，捐款金额分别是人民币元、元、元、元和元的人数分别是，，，，．
选项A、、是错误的，正确的是，捐款金额为元的人数最少是人．
故选D．
从条形图中得出捐款金额分别是人民币元、元、元、元和元的人数，再进行判断．
此题考查了条形统计图，它能清楚地表示出每个项目的数据，本题主要考查了从条形统计图读取每个项目的数据，再做比较．
 

7.【答案】 

【解析】解：设共有名学生，则图书共有本，由题意得：
，
解得：，
．
书的数量为：本．
故选：．
设共有名学生，根据每人分本，那么余本，可得图书共有本，再由每名同学分本，那么最后一人就分不到本，可得出不等式，解出即可．
本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
得：，
即，
故选：．
方程组中的两个方程相加得出，整理后即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在线段的两旁可分别画一条满足条件的直线；与线段相交，有两条线段符合条件，所以符合条件的直线有条．

故选：．
根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．画出图形进行判断．
此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，将线段平移到，且，在坐标轴上，
点与点到原点距离相等，
则点坐标为：或．

故选：．
利用平移的性质得出横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，进而得出即可．
此题主要考查了平移的性质，解题关键是熟练掌握和运用平移性质解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
是由将小数点向右移动位所得，所以开立方结果的小数点向右移动位．
本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是被开方数扩大倍，它的立方根扩大倍．
 

12.【答案】     

【解析】解：调查的总数是户，
则的频数，
则的频数，
所占的百分比．
故答案为：，，．
根据总人数，然后根据百分比的意义求解即可．
本题考查读频数分布表的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由不等式组的解为，可得．
故答案为：
根据不等式组的公共解集即可确定的取值范围．
此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：，
当时，，
则方程的正整数解为．
故答案为：．
把看作已知数表示出，即可确定出正整数解．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
又平分，
．
，
平分，
，
．
故答案为：．
根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，最后根据求解．
本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
为的平分线，
，
，
点可表示为，点可表示为，
点可表示为：．
故答案为：．
根据角平分线的性质得出，进而得出的度数，利用，两点坐标得出，代表圆环上数字，角度是与边的夹角，根据的度数，以及所在圆环位置即可得出答案．
本题考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出点，点所表示的意义是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：，
去分母得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
化系数为得． 

【解析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：，
解得：，
．
原方程为：，
，
解得：． 

【解析】利用一个正数得平方根有两个，是互为相反数，其和相加得，列方程求解；
利用直接开平方根法求解．
本题考查了平方根得意义，掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
点为原点，
，，． 

【解析】首先根据面积求得的长，再根据已知条件求得的长，最后求得的长．最后写坐标的时候注意点的位置．
本题考查了三角形的面积，写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．
 

20.【答案】解：本次调查的好友人数为：人；

设类人数为，则类人数为，
根据题意，得：，
解得：，
即类人数为人，类人数为人，
补全统计图如下：


扇形图中，“”对应扇形的圆心角为；

估计大约月日这天行走的步数超过步的好友人数为人． 

【解析】由类别人数及其所占百分比可得总人数；
设类人数为，则类人数为，根据总人数列方程求得的值，从而补全图形；
用乘以类别人数所占比例可得；
总人数乘以样本中、类别人数和所占比例．
此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：原方程组变形为：，
把代入得，，
，
将代入得，，
，
方程组的解为：． 

【解析】将方程变形为，方程变形为，然后代入所变形的方程中，即可得到的解，再代入方程求解可得答案．
此题考查的是解二元一次方程组，掌握整体代入法是解决此题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
，
，
． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理得到，求得，等量代换即可得到结论．
本题主要考查平行线的性质和判定，掌握两直线平行的性质和判定是解题的关键．
 

23.【答案】解：设挂式空调每台的采购价是元，电风扇每台的采购价是元，
根据题意得，
解得．
答：挂式空调每台的采购价是元，电风扇每台的采购价是元；
设再购进空调台，则购进风扇台，
由已知，得，
解得：，
故该经营业主最多可再购进空调台． 

【解析】设挂式空调每台的采购价是元，电风扇每台的采购价是元，根据采购价格单价数量，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设再购进空调台，则购进风扇台，根据采购价格单价数量，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：列出关于、的二元一次方程组；列出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组或不等式是关键．
 

24.【答案】解：解方程得：，
解不等式组得：，
所以一元一次方程是一元一次不等式组的“关联方程”；

解不等式组得：，
不等式组的整数解是，
不等式组的一个“关联方程”的根是整数，
不等式组的一个“关联方程”为；

解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
方程，都是关于的不等式组的“关联方程”，
，
解得：，
即的取值范围是． 

【解析】先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，得出答案即可；
先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，即可求得“关联方程”；
先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键．
 

25.【答案】解：由题可得，，
；
，理由如下：
如图，过作，则，

，，
，
，，
；
，理由如下：
如图，过作，则，

，，
，
，，
． 

【解析】过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而可以求得的度数；
过作，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出；
过作，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出．
本题主要考查了平行线的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的判定与性质定理进行推算．