湖南省长沙市周南中学2021-2022学年高一下学期分班考试数学试卷word版含答案

长沙市周南中学2021-2022学年高一年级下学期分班考试试卷

数  学

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1.设全集，集合，，则集合（    ）

A. B. C. D.

2.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

3.已知，，其中，分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点M（3，）移到点M'（4，7），则合力所做的功为（    ）

A. B.5 C. D.13

4.已知，，且，则的最小值为（    ）

A.8 B. C.9 D.

5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上一面的点数小于3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是（    ）

A. B. C. D.

6.若样本，，…，的平均值是5，方差是3，样本，，…，的平均值是9，标准差是b，则（    ）

A.， B.， C.， D.，

7.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（    ）

A.0 B. C. D.2

8.已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.如果，那么下列不等式中不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10.掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（    ）

A.事件A与B是独立事件 B.事件B与C是互斥事件

C.事件C与D是对立事件 D.

11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则（    ）

A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等

12.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点（，0）对称

C.有2个零点  D.是奇函数

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分）

13.复数（i为虚数单位），则________.

14.已知函数（，），将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，所得图象对应的函数为，若的图象过原点，且，则________.

15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，，BC=4，点P是以AD为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），平面PAD⊥平面ABCD，经研究发现，四棱锥P−ABCD的外接球始终保特不变，则该外接球的表面积为________.

16.已知函数.

（1）________；

（2）.若函数在（，10）上有8个零点（i=1，2，3，…，8），则的取值范围为________.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知函数的最大值为1.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，求函数的值域.

18.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.

（1）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求.

19.在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知________.

（1）求角A；

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=1，，E，F为线段BB1，AC1的中点.

（1）证明：平面AEF⊥平面A1ACC1；

（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面AEC1的距离.

21.已知函数（）.

（1）当时，求的单调增区间；

（2）当时，的最大值为，求实数a的取值范围.

22.定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；

（1）求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（2）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

参考答案

1. C 【解析】由已知可得，因此，.选：C.

2. A 【解析】∵在和上均为增函数，

∴当时，，充分性成立；

当时，或，必要性不成立；

∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A.

3. A 【解析】因为，，所以，

又物体从点移到点，所以，

所以，故选：A.

4. C 【解析】因为，，且，则

，

当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C.

5. B 【解析】由题可知，，，，，则事件，都不发生的概率为，故事件，中至少有一个发生的概率是.故选：B.

6. D 【解析】设，，…，的平均值为，方差为，

因为样本，，…，的平均值是5，方差是3，所以，，

因为样本，，…，的平均值是9，标准差是，所以，，

所以，，，故选：D.

7. C 【解析】由题意知：，设，

∴

，∴，

，故为点时，的最小值为.故选C.

8. D 【解析】作函数与的图象如下：

∵方程有四个不同的解，，，，且，

∴，关于对称，即，且，

则，即，则；即，

则；当得或，则；；

故，；

则函数，在上为减函数，在上为增函数；

则故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.

即函数取值范围是.故选：D.

9. ABC 【解析】对于A，时，不成立，故错误；

对于B，，时，不成立，故错误；

对于C，，时，不成立，故错误；

对于D，时恒有，故正确；故选：ABC.

10. AB 【解析】由题意知：，，，

∴事件与是独立事件，A正确；

∵事件与不能同时发生，∴与是互斥事件，B正确；

点数为4时，既不属于事件，也不属于事件，∴事件与不是对立事件，C错误；

∵事件是“点数为5点”，∴，D错误.故选：AB.

11. BC 【解析】对于A，若，因为且，所以平面，

所以，所以，此时不成立，所以线与直线不垂直，故A错误；

对于B，如图所示，取的中点，连接，，

由条件可知：，，且，，

又平面，平面，平面，平面，

∴平面，平面，又，

所以平面平面，又因为平面，所以平面，故B正确；

对于C，因为，为，的中点，所以，

所以，，，四点共面，所以截面即为梯形，

由题得该等腰梯形的上底，下底，腰长为，所以梯形面积为，故C正确；

对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错误.故选：BC.

12. BD 【解析】显然，的定义域为，的定义域为，且

，

记，则有，

故是奇函数，选项D正确.

又，

故的图象关于点对称，选项B正确，选项A错误；

令，则有，即或，

解得或，即，或，

故有3个零点，选项C错误.故选：BD.

13. 【解析】，；故答案为：.

14. 2 【解析】由题意可得，

因为函数的图象过原点，则，可得，

因为，则，则，

所以，，可得，所以，，

因此，.故答案为：2.

15. 【解析】由题意，为直角三角形，如图.

取中点，则，

取中点，则是正方形的中心，连接，则.

已知面底面，且面面，面.

故面，则，又，

故到四棱锥各顶点的距离相等.

即为四棱锥的外接球的球心，半径.

故外接球的表面积.故答案为：.

16.（1）；（2）

【解析】.

画出图像知，有8个零点，即与有8个交点.

此时，.又.

若函数在上有8个零点，则的取值范围为.

17.（1），  （2）

【解析】（1）.

由，解得.

又，则，，

解得，，

所以函数的单调递减区间为，；

（2）由，则，所以，

所以，所以函数的值域为.

18.（1）平均数为174.1，中位数为174.5；（2）.

【解析】（1）第六组的频率为，

∴第七组的频率为.

由直方图得，身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，

由于，，

设这所学校的800名男生的身高中位数为，则，

由得，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为，

平均数为

.

（2）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为，，，，

第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，，

则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.所以.

19. 选择见解析；（1）；（2）.

【解析】（1）选择①：由正弦定理得，，

由得，

即.又，∴，又，∴.

选择②：由选择条件可得，

由余弦定理，得，

又，∴.

（2）因为，∴，即，∴，

又由余弦定理，化简得，

即，所以，，

所以的周长为.

20.（1）证明见解析  （2）

【解析】（1）证明：取的中点，连结，，

∵在中，、分别为、的中点，∴且，

又在直三棱柱中，是的中心，

∴且，∴且，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵在中，为的中点，且，，

∴，且，

∵平面，平面，∴，

又，∴平面，∴平面；

又面，∴直线平面；

（2）由（1）知，，，

因为直线与平面所成的角大小为，∴，

因为中，，∴，

∴，∴，

∴，，

设点到平面的距离为，

∵，∴，

即，解得.

21.【答案】（1）增区间；和；（2）.

【解析】（1）当时，，

因为的对称轴为，当时，此时函数单调递增，

因为对称轴为，当时，此时函数单调递增，

所以增区间：和；

（2），

①若，则；

②若，则

（i）当时，即，所以，因为，所以舍去；

当时，，

（ii）当时，即当时，，符合题意；

（iii）当时，即当时，，所以无解，不符合题意，

综上：.

22.（1）；（2）

【解析】（1）函数为奇函数，所以，

即，所以，解得，

而当时，不合题意，故.

所以，易知在上单增，

所以函数在区间上单增，所以在区间上值域为，

所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为.

（2）由题意可知：在上恒成立，所以，

即，所以在上恒成立，

所以，

令，，，

易知在上递减，所以，

在上递增，所以，

所以，即实数的取值范围为.