河北省衡水市部分学校2022届高三下学期3月联考数学试题-c

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河北省衡水市部分学校2022届高三下学期3月联考数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．若复数z满足（i为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．若，，，则（       ）

A． B． C． D．

4．进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（       ）

A． B． C． D．

5．已知，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

7．已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

8．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

9．已知椭圆：的离心率为，短轴长为4，，为的两个焦点，为上任意一点，则（       ）

A．的方程为 B．的方程为

C．内切圆半径最大值为 D．满足的点有且仅有四个

10．为了迎接期末考试，某高中学校进行5次期末模拟考试，其中小胡的考试次数x与每次考试的成绩y统计如表所示，

假如根据表中的数据可得考试的次数x与每次考试的成绩y可得回归直线方程为，则下面结论正确的为（       ）A．回归直线方程一定过点

B．回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关

C．上述的表中表示的点都在回归直线上

D．若把当作样本的数据，样本的方差

11．若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

12．已知在平行四边形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A点变为，则（       ）

A．

B．三棱锥体积的最大值为

C．当时，三棱锥的外接球的半径为

D．当时，

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为，则C的离心率为__________．

14．把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数为偶函数，则的最小正值为__________．

15．已知数列，满足，且，，则的前9项和__________．

16．已知函数，，则__________，当，时，函数的极值点的个数为__________．

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．

(1)证明：；

(2)若，，求△ABC的面积．

18．在多面体ABCDFE中，，，平面⊥平面，侧面为菱形，且，为棱的中点．

(1)若为上一点，且满足平面，确定点的位置；

(2)求平面与平面所成角的余弦值．

19．已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．

(1)求出，的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：．

20．高考制度根据形式的发展不断的进行改革，新高考语数外三门学科是必考科目，然后再从物理、化学、历史、地理、生物政治中选3科，规定物理与历史必须二选一，但是两科不能同时选择，再从余下的4科中任选2科，把选择含有物理科目的分为“理科类”，把选择含有历史科目的分为“文史类”，现从全市高三学生中随机选择100名学生的选科情况进行调查，调查结果如表所示．

(1)根据以上的数据，分析是否有99.5%的把握认为选择“文史类”还是选择“理科类”与性别有关？

(2)从选择的100名高三学生中，按性别利用分层抽样抽取25名学生进行学习经验的交流，从这25名学生中随机选取2名学生发言，其中发言的是男生的人数为，求出的分布列与数学期望．

附：，

21．已知动圆M恒过定点，且动圆M被y轴所截得的弦长为4．

(1)求动圆圆心M的轨迹的方程；

(2)过点的直线l与轨迹相交于不同的A，B两点．求证：存在定点，使得直线AT与BT关于直线对称．

22．已知函数，．

(1)若在点处的切线的斜率为，求的最值；

(2)若在原点处取得极值，当时，的图像总在的图像的上方，求k的取值范围．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

先用复数的除法求得，再用求解即可

【详解】

由题意，，所以

故选：C．

2．C

【解析】

【分析】

根据题意可得，，可知集合C必包含，可能有，列举或根据子集理解．

【详解】

由知．又，则集合．又，则满足条件的集合C可以为，，，，共4个，

故选：C．

3．D

【解析】

【分析】

根据指数特点比较大小，再根据指数的运算分析即可

【详解】

由题得，，．又，所以，且，则，所以，

故选：D．

4．B

【解析】

【分析】

先根据概率和求得，再用1减去对立事件的概率计算即可

【详解】

由题意，解得，则四名大学生至少有两名创业成功的概率

故选：B．

5．C

【解析】

【分析】

由诱导公式求得，利用诱导公式、二倍角的余弦公式，同角间的三角函数关系变形求值式为关于的代数式，代入计算可得．

【详解】

因为，所以，

故选：C．

6．C

【解析】

【分析】

由题意不妨设，设，由模的坐标表示得点在圆上，由的几何意义，只要求得圆心到原点的距离后可得结论．

【详解】

由题意不妨设，设，则．

∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．

∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

以∠AOB为直角时为临界，此时圆心O到直线l的距离，根据题意可得，代入求解．

【详解】

因为直线l：经过定点，圆O：的半径为，

当∠AOB为直角时，此时圆心O到直线l的距离，解得，

则当∠AOB为锐角时，．

又直线与圆相交于A，B两点，则，即，

所以或，

故选：A．

8．D

【解析】

【分析】

依据题意构造函数为增函数，并利用导数得到关于实数k的不等式，进而求得实数k的取值范围

【详解】

由题意，的反函数．

对于任意的，有，

即，可转化为，

则函数在上单调递增．

设，则在上恒成立

即在上恒成立

又，则，

故选：D．

9．BCD

【解析】

【分析】

由离心率与短轴长即可求得椭圆方程，从而判断出选项A、B的正误；

对于选项C：因为椭圆焦点三角形的周长为定值，所以找到面积的最大值，即可求得其内切圆半径的最大值；

对于选项D：首先找到的最大角，即当点与椭圆的短轴端点重合时的角的情况，再结合椭圆的对称性，即可判断出满足的点的个数.

【详解】

由题意得，解得，则椭圆的方程为，所以选项A错误，选项B正确；

当点与椭圆的短轴端点重合时，的面积最大，

且最大值为．设的内切圆半径为，

则的面积，解得，所以选项C正确；

若，即.当点与椭圆的短轴端点重合时，最大，由余弦定理可得，

，即的最大值为，所以满足条件的点有且仅有四个，所以选项D正确.

故选：BCD．

【点睛】

综合性考查落实，试题以椭圆为背景，考查椭圆的标准方程及几何性质、平面向量的数量积，考查运算求解能力，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．

10．ABD

【解析】

【分析】

求出判断A；由表中数据得出与的变化间的关系可判断B；由回归直线的定义判断C；根据方差的定义计算方差后判断D．

【详解】

由已知，，

所以回归直线一定过点，故选项A正确；

由表格可得回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关，故选项B正确；

易知表中所表示的点不一定都在回归直线上，故选项C错误；

由题意得，故选项D正确，

故选：ABD．

11．CD

【解析】

【分析】

解不等式得命题的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义判断．

【详解】

由p：得且，解得或，故选项C，D是命题p的充分不必要条件，

故选：CD．

12．ACD

【解析】

【分析】

A选项，利用余弦定理进行求解；B选项，先得到当平面平面BCD时，三棱锥的体积最大，利用等体积法求出点到平面BCD的距离，从而求出最大体积；C选项，对棱相等的三棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线的一半即为外接球半径，设出长方体的长宽高，列出方程组，进行求解；D选项，由余弦定理进行求解.

【详解】

对于选项A，由余弦定理得，

∴，故选项A正确；

对于选项B，当平面平面BCD时，三棱锥的体积最大，

设此时点到平面BCD的距离为h，则，

解得：

∴三棱锥体积的最大值，

故选项B错误；

对于选项C，当时，把三棱锥补成一个长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，

设长方体的三条棱长分别为x，y，z，外接球的半径为R，

则，

∴，

解得，故选项C正确；

对于选项D，由，且，得，故选项D正确．

故选：ACD

【点睛】

对于对棱相等的三棱锥的外接球问题，要将此三棱锥的棱长对应某一个长方体的面对角线，此时长方体的外接球即为次三棱锥的外接球.

13．

【解析】

【分析】

根据双曲线的渐近线方程得出的值，再根据可得出答案.

【详解】

由题意，设双曲线C的方程为（，）．

因为渐近线方程为，所以，

所以双曲线C的离心率．

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

先化简的解析式，再由平移得出的解析式，由为偶函数，所以，，从而可得出答案.

【详解】

由函数

把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数

即的图象．

因为为偶函数，所以，，解得，，

当时，取得最小正值，最小正值为．

故答案为：

15．或

【解析】

【分析】

先证明列为等差数列，再设公差，利用基本量的方法求解首项和公差，进而得到通项公式，再根据等差数列的求和公式求解即可

【详解】

由题意得，则数列为等差数列，设数列的公差为d，因为，即，化简得，代入，解得或，所以或，则或．

故答案为：或

16．          2

【解析】

【分析】

（1）代入得到，进而代入化简计算即可；

（2）易得，再将题意转换为与的图象交点个数分析即可

【详解】

由得，所以．由题知，则．作出与的大致图象如图所示．由图可知，的解即为两函数图象交点的横坐标，记为，，且．当时，，则；当时，，则；当时，，则，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数的极值点的个数是2．

【点睛】

试题考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力．属于中档题

17．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据诱导公式及正弦定理，将已知条件的“边”转化成“角”，再利用三角恒等变换进行化简，即可证明；

（2）根据已知条件结合（1）的结论，可求得角C的值，再利用余弦定理得到关于a，b的方程，再结合已知可求得a，b的值，利用三角形面积公式，即可求得△ABC的面积．

(1)

因为，则有

所以由正弦定理得，所以，

整理得，因为，所以，

又因为，所以．

(2)

因为，由（1）得．

又，所以C为锐角，则．则，

即．又，解得，

所以△ABC的面积为．

18．(1)为的中点；

(2).

【解析】

【分析】

（1）当为中点时，平面，根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）取的中点，以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，分别求得平面 和平面的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可求解．

(1)

连接，，取的中点，连接．

在中，为中位线，所以．

又平面，平面，

所以平面，

所以为的中点．

(2)

取的中点，连接．

因为侧面为菱形，且，

所以．

又因为平面⊥平面，平面平面，

所以⊥平面．

在平面内，过作的垂线交于点，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，

所以，，，，，，

则．

设平面的法向量为，

则，

即，

令，则，，

即．

设平面的法向量为，

则，

即，

令，则， ，

即，

所以，

所以平面与平面所成角的余弦值为．

19．(1)，；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件可得数列是等比数列，求出其通项公式，再利用累加法求出数列的通项公式；先求出，再求出当时，数列满足的等式，即可求出数列的通项公式；

（2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和，即可求证．

(1)

由，

得．又，

则数列是首项为2，公比为2的等比数列，

∴，

∴，，…，，

累加得，

∴．

数列满足，①

当时，；

当时，，②

由①－②可得，

当时，也符合上式，

故数列的通项公式为．

(2)

由（1）可得，

则

，

故成立．

20．(1)没有99.5%的把握认为选择“文史类”还是选择“理科类”与性别有关；

(2)分布列见解析，数学期望为

【解析】

【分析】

（1）根据2×2列联表计算出观测值，并与临界值表中的数据进行比较即可作出判断；

（2）根据已知条件确定随机变量的所有可能的取值，并求出相应的概率即可求出离散型随机变量的分布列与数学期望．

(1)

根据题意可得，．

因为4.2624＜7.879，

所以没有99.5%的把握认为选择“文史类”还是选择“理科类”与性别有关．

(2)

根据分层抽样可知从男生中抽取11人，从女生中抽取14人，

故的所有可能的取值为0，1，2，

则，

，

，

所以随机变量的分布列为

所以．

21．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）设点，结合已知条件即可求解；（2）设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，结合已知条件及韦达定理即可证明．

(1)

由题意，设点，

则，

整理得，

所以动圆圆心M的轨迹的方程为．

(2)

由题易知，直线l的斜率不为0，

设直线l的方程为，，

设点，，

联立，

消去x并整理得，

恒成立，

所以，．

因为直线AT与BT关于直线对称，且，

若直线AT与BT关于x轴对称，则，

即

，

所以当时，存在定点，

使得直线AT与BT关于直线对称．

22．(1)有最小值，且最小值为，无最大值；

(2).

【解析】

【分析】

（1）先利用导数的几何意义求出a的值，再利用导数研究函数的单调性、最值即可求解；

（2）结合已知条件求出a的值，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、最值即可求解．

(1)

由题意得，函数的定义域为

，．

因为，所以，解得，所以，则．

令，解得或（舍），所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以函数有最小值，且最小值，无最大值．

(2)

因为，，所以，解得，所以，

若，则，单调递减，若，则，单调递增．

因为当时，函数的图像总在函数的图像的上方，即恒成立，所以，即．

设，，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，

当，即时，，所以函数在上单调递增，

所以恒成立，符合题意；

当，即时，，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．

又，所以不恒成立，故不符合题意．

综上所述，k的取值范围为．

【点睛】

本题第（2）问较为复杂，首先需要想到问题应当转化为求解函数的最值问题；其次，在探索函数的单调性时紧紧抓住求导的方法，如果导函数的符号不好确定，那么可以对导函数再次求导，平常注意总结归纳.