2022年广东省东莞市光明中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省东莞市光明中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列实数中等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 截止月日，我国累计报告接种新冠疫苗约亿剂次，用科学记数法表示亿是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在数字，，，，中任选两个组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 直线上有一点，关于轴的对称点坐标为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题中，是假命题的是(    )

A. 图形的平移和旋转都不改变图形的形状与大小
B. 二次根式有意义的条件是
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 函数的函数值随的增大而增大

6. 我们规定：一个整数能表示成是整数，且的形式，则称这个数为“完美数”例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”，下列各数中，“完美数”是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间秒与高度公尺的关系为、为常数，且若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的？(    )

A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒

10. 正方形的边长，为的中点，为的中点，分别与、相交于点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 有一组数据：，，，，，这组数据的中位数为______．
12. 小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆，使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点、、在一直线上，量得米，米，米则电线杆长 ______ 米

13. 若，则______．
14. 如图，已知是的直径，为延长线上一点，切于，若的半径是，，图中阴影部分的面积是______ ．

15. 如图，在中．，平分交于，将沿所在直线折叠，使点恰好与点重合，若，则的值为______．
16. 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，交于，若平分反比例函数的图象经过点与的中点，矩形的面积为，则的值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 为了抵制手机诱惑，减少手机影响，七年级各班召开了“放下手机，让我们读书吧”主题班会，号召全体同学每周读一本好书从自然科学、文学艺术、社会百科和小说四类书籍中选一本，一周后，班学习委员对全班同学所读书籍进行统计并绘制成两幅不完整统计图表．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：
    频率分布表

该班总人数为______人．
如表中______，______并将如图补充完整．
七年级共有学生人，按班统计结果估算，全年级大约有______人阅读的书籍是自然科学类．

20. 在四边形中，和的平分线、交于边上的点且，．
    
    求证：四边形是平行四边形；
    连，当四边形是矩形时，求的值．
21. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点顺时针旋转得．
    画出旋转后的；
    点的坐标是______．
    函数为常数的图象经过点，画出该函数图象，为该函数图象上的动点，当在直线的上方且的面积为时，求点坐标．

22. 某文具店规定：凡一次购实出规个以上，不包括个，可以按零售价的折优惠付款，购买个以下，包括个只能按零售价付款，班家委长来该店给班上学生购买圆规，如果给全班学生每人购买个，那么只能按零售价付款，需用元，如果再多购买个，那么可以按优惠价付款，同样需要元．
    班有多少名学生？
    为了保证班上每个学生都有圆规，至少需要多少钱？
23. 如图，中，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．
    证明：为的切线；
    连接若，的面积为，求的半径．

24. 如图，正方形中，、分别是边、上的点，．
    
    小聪同学通过将绕点顺时针旋转至，得到．
    请直接写出线段、、之间的数量关系：______用等式表示；
    若，为边中点，求．
    如图，将正方形改为矩形，且，，其他条件不变，即：、分别是边、上的点，．
    记，，试探究与之间的数量关系用等式表示；
    当时，求线段的长．
25. 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、．
    求、的值；
    是二次函数图象在第一象限部分上一点，且，求点坐标；
    在的条件下，有一条长度为的线段落在上与点重合，与点重合，将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：．
根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可．
本题考查了零指数幂，算术平方根，负整数指数幂．熟练掌握零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从，，，，五个数中任意取出个不重复的数组成一个两位数，
基本事件总数，
这个两位数是偶数，包含的基本事件的个数，
这个两位数是偶数的概率．
故选：．
从，，，，五个数中任意取出个不重复的数组成一个两位数，基本事件总数，这个两位数是偶数，包含的基本事件的个数，由此能求出这个两位数是偶数的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出选出的名学生恰好是男女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点坐标为，
点的坐标为．
又点在直线上，
，
．
故选：．
根据点关于轴的对称点坐标为，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】A、图形的平移和旋转都不改变图形的形状与大小，是真命题，不符合题意；
B、二次根式有意义的条件是，是真命题，不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、函数的函数值随的增大而增大，是假命题，符合题意．
故选：．
根据平移和旋转的性质，二次根式有意义的条件，菱形的性质，二次函数图像的性质解答即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，但是，
而和不能表示成两个数的平方和，
“完美数”只有．
故选：．
根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
本题主要考查了实数运算中的有理数的乘方，比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．
求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．
【解答】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：

，
，
故选：．
根据，代入特殊三角函数值计算即可．
本题主要考查了解直角三角形，掌握特殊三角函数值计算是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高时：
时间是第秒，
最接近，
故选：．
根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，炮弹所在高度越高的值越接近顶点的横坐标．
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键
 

10.【答案】 

【解析】解：过作于，交于，则，

，，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
．
故选：．
首先过作于，交于，于是得到，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理求得，由相似三角形的性质求得与的长，根据相似三角形的性质，求得的长，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，
则中位数为；
故答案为：．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
∽，
：：，
：：，
米．
答：电线杆长为米．
根据题意求出∽，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出电线杆长．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质得出、的值，代入计算可得答案．
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
 

14.【答案】 

【解析】解：的半径是，

，
则，
直角中，，
，
，
，
，
则阴影部分的面积
故答案为：
利用扇形的面积公式，以及阴影部分的面积即可求解．
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分交于，
，
将沿所在直线折叠，使点恰好与点重合，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
根据平分交于，将沿所在直线折叠，使点恰好与点重合，可得，又，即得，从而，在中，．
本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用含角的直角三角形三边关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，．
又，
≌．
．

所以最小值等于最小值．
作点关于的对称点点，如图，
连接，则、、三点共线，
连接，与的交点即为所求的点．
根据对称性可知，
所以．

在中，，
最小值为．
故答案为：，
连接，利用≌转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，则，，
，
平分，
，
，
，
∽，
，
矩形的面积为，
，
，
，，
，
，
设，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接，先由和矩形的面积得出，，再根据平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，即可证得∽，再由相似三角形的性质得到，从而得出，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值．
本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求得的面积．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先算除法，再算加法，分式化为最简后，把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
 

19.【答案】       

【解析】解：该班总人数为：，
故答案为：；
，，
故答案为：，，
补全的直方图见解答；
人，
即全年级大约有人阅读的书籍是自然科学，
故答案为：．
根据文学艺术的频数和频率可以计算出该班的总人数；
根据中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出、的值，并把直方图补充完整；
根据频数分布表中的数据，可以计算出全年级大约有多少人阅读的书籍是自然科学类．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
≌，
设，
，
在中，．
故答案为：． 

【解析】根据平行四边形的判定定理解答即可；
根据全等三角形的判定和锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定定理和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；

；
故答案为；
，
，
反比例函数解析式为，
过点作轴于，轴于，如图，
设，
的面积的面积梯形的面积的面积，
，
整理得，
解得，舍去
点坐标为
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、即可；
利用第二象限点的坐标特征写出点坐标；
先写出点的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数解析式为，过点作轴于，轴于，如图，设，利用的面积的面积梯形的面积的面积得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了反比例函数图象．
 

22.【答案】解：设圆规的零售价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：班有名学生；

为了保证班上每个学生都有圆规，至少需要元，
答：为了保证班上每个学生都有圆规，至少需要元钱． 

【解析】设圆规的零售价为元，根据如果再多购买个，那么可以按优惠价付款，同样需要元，列方程即可得到结论；
根据题意列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出分式方程．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为的切线；
解：如图，连接，，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
，，
，的面积为，
，
，即，
解得：或不符合题意，舍去，
，
，
是直径，
的半径为． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，进而得出，由，得出，即可证明为的切线；
连接，，由圆周角定理及直角三角形的性质得出，进而得出，得出，设，则，得出，由勾股定理得出，由等积法结合题意，得出关于的一元二次方程，得出，求出，即可求出的半径为．
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定方法，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程的解法等知识是解决问题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：由题意可知≌，
，，，
，，
≌，
，
，
，
故答案为：．
若点为的中点，
，
设，则，，
由可知，，
在中，，由勾股定理可得，，
解得，即．
将绕点顺时针旋转至，延长交的延长线于点，过点作于点，连接，

由旋转可得，，，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
，，，
≌，
，
在中，由勾股定理可得，，
，即．
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
．
由旋转可知≌，所以，，，易证≌，所以；
若点为的中点，则，设，则，，由可知，，在中，，利用勾股定理建立关于的方程，求解即可；
将绕点顺时针旋转至，延长交的延长线于点，过点作于点，连接，由旋转可得，，，，，易证四边形是矩形，所以，所以，由中思路易证≌，所以，在中，由勾股定理可得，，代入数据可得结论；
因为，所以是等腰直角三角形，则，，易证≌，所以，，由勾股定理可得．
本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是利用类比思想作出正确的辅助线，将所求线段放在同一个三角形中．
 

25.【答案】解：把、代入数得：，
解得：，，
的值为：，的值为：；
由，令，则，
，由，，
在中，，
，
，
设或，
过点作轴于点，
，
在中，
，
，
，
当时，，


由题意得：，，即向左平移个单位到点，
将向左平移个单位到，
作关于轴的对称点，则，
连接，
设：，
把，代入得：
，解得：，
：，
令，则，
，即与轴的交点为，
当，时，四边形的周长最短，
四边形的周长，且，是定长，
当值最小时，四边形的周长最小，
连接，
，且，
四边形是平行四边形，
，
，关于轴对称，是轴上的点，
，
，
，
根据两点之间线段最短可得：当，，三点共线，时，最短，
即时，四边形的周长最小，
，，
即当时，四边形的周长最小．
 

【解析】把、代入数即可得出结果；
先得出，设或，过点作轴于点，根据解直角三角形得出，得出点坐标；
作关于轴的对称点，先求的解析式，得出当值最小时，四边形的周长最小，连接，根据两点之间线段最短可得：当，，三点共线，时，最短，得出结论．
本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质及解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线．