2022年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2022年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 任意画一个多边形，其内角和为这个事件是(    )

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件

3. 下列图形不是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 的计算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，两车离城的距离与时刻的对应关系如图所示，则两图象交点的纵坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 有张无差别的卡片，上面分别写着，，，，，，随机抽取张后，放回并混在一起，再随机抽取张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是的直径，为上一点，为的中点，于并交于点，若，，则的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 若将双曲线向下平移个单位后，交抛物线于点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算的结果是______．
12. 初三班名同学在一次测试中成绩单位：分如下：，，，，，，，这组数据的中位数是______．
13. 化简______．
14. 如图，某一时刻旗杆的影子一部分落在水平地面的影长为米，落在斜坡上的部分影长为米．测得斜坡的坡度：太阳光线与斜坡的夹角，则旗杆的高度是______米．结果根据四舍五入法精确到米，参考数据：，，
15. 已知开口向下的物线经过点，，下列四个结论；；；其中正确的结论是______．
16. 如图，已知为等腰的腰上一点，绕点逆时针旋转至，连接，，为的中点．则当时，______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解不等式组：．
    请按下列步骤完成解答：
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在图中的数轴上表示出来；
    Ⅳ原不等式组的解集为______．

18. 如图，和交于点，，．
    求证：；
    若，，求的度数．

19. 某校决定开展篮球、足球、乒乓球和羽毛球四种项目的活动课，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了部分学生很喜欢的一种项目每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种，并将调查结构绘制成如下的不完整的统计图表：
    学生最喜欢的活动项目的人数统计表

根据图表中提供的信息，解答下列问题：
______，______；
根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中有多少名学生最喜欢乒乓球；
甲、乙两名同学在这四个活动项目中任选一个活动项目参加活动课，求甲乙同时选择乒乓球活动课的概率．

20. 如图，在正方形中，是边上一点，若，以为直径作半圆．
    求证：与相切；
    若正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．

21. 如图是由小正方形组成的的网格，已知的顶点，均在格点上，顶点在小正方形的边上不在格点上仅用无刻度的直尺在给定格中完成画图，画图过程用虚线表示．
    在图中画出线段的中点，画出平行四边形；
    在图中过点作一条直线交线段边于点，使与面积比为：；
    在图中作的边上的高．
     

22. 睿智公司计划共投入资金万元研发生产甲、乙两种新型智能产品，该公司市场部根据调查后得出：甲种新型智能产品所获年利润单位：万元与投入资金单位：万元的函数关系式是；乙种新型智能产品所获年利润单位：万元与投入资金单位：万元的函数关系式是．
    注：记该公司所获全年总利润单位：万元为与之和．
    设其中投入乙种新型智能产品资金为单位：万元，用含的代数式表示下列各量：
    投入甲种新型智能产品的资金为______万元；
    投入甲种新型智能产品所获年利润为______万元；
    计划该公司所获全年总利润为______万元．
    求公司市场部预判该公司全年总利润单位：万元的范围；
    若该公司从全年总利润单位：万元中扣除投入乙种新型智能产品资金的倍用于其他产品的生产后，得到剩余利润单位：万元，若随的增大而减小，请直接写出的取值范围．
23. 如图，在中，为边上一点，，求证：；
    如图，在平行四边形中，点为边的中点，点在边上，且，，，求的长；
    如图，在正方形中，点在边上，点为正方形外一点，，，，请直接写出的值．
     

24. 已知抛物线．
    若抛物线的对称轴为，求该抛物线的解析式；
    如图，在的条件下，抛物线与轴交于，两点，顶点为，已知点，连，，，若点为抛物线上一点，且满足，求点的坐标；
    如图，抛物线过两个定点，其中一个定点为第一象限内的点，另一个定点为轴上的点，过点作直线与抛物线有且只有一个交点不与轴垂直，直线与直线交于点，直线交抛物线于另一点，过点作线段轴于点，求证：线段的长为定值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是；
故选：．
根据倒数的意义，乘积是的两个数互为倒数．求一个数的倒数就是用除以这个数，没有倒数，由此解答．
此题主要考查倒数的意义及求一个数的倒数的方法，明确：乘积是的两个数互为倒数，没有倒数，的倒数是它本身．
 

2.【答案】 

【解析】解：任意画一个多边形，其内角和为这个事件是随机事件，
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
考查了积的乘方，注意：因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，从左往右列小正方形的个数为：，，，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，两城相距千米，甲车比乙车先出发小时，却晚小时到城，
甲车的平均速度为：千米时，乙车的平均速度为：千米时，
设乙追上甲时，乙行驶的时间为小时，则：
，
解得，
，
两图象交点的纵坐标是．
故选：．
根据图象分别求出两车的速度，再列方程解答即可．
此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确从函数图象中得到正确的信息．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：

共有种等可能情况，第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数有种，
所以第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是，
故选：．
列举出所有情况，看第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法及列表法与树状图法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
为的中点，
，
直径，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即的半径为．
故选：．
连接、，如图，根据垂径定理得到，，则，根据圆周角定理得到，所以，再证明得到，设，则，，，所以，利用双勾股得到，解方程可得，，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：双曲线向下平移个单位后的函数为，
交抛物线于点，
，整理得，，
令，且随的增大而增大．
当时，，
当时，，
当时，，
若，则的取值范围为：．
故选：．
根据题意可得出平移后的函数的解析式，由两个函数交于点可得出关于的方程，利用方程的根的正负关系可得出结论．
本题主要考查函数的综合应用，涉及两个函数的交点于零的关系，将函数交点问题转化为方程的解的问题是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据即可得出答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把数据按从小到大排列为：，，，，，，，，这组数据的第，第个数分别是，，它们的平均数．
所以中位数是．
故答案为：．
题目中数据共有个，故中位数是按从小到大排列后，第，第两个数的平均数作为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：



，
故答案为：．
先通分，再按分式的加减运算的法则求解即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，

则，，，
斜坡的坡度：，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
旗杆的高度是，
故答案为：．
过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，则，，，根据斜坡的坡度：，可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，的长，再利用平行线的性质求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：开口向下的物线经过点，，
抛物线与轴交点在轴上方，
，正确．
抛物线经过，
，
，
，
，错误；
，
，
抛物线经过，，
对称轴为直线，
，
，
，
，正确；
，
，
，
，
，
，正确；
故答案为：．
由抛物线开口向下以及与轴的交点即可判断；由抛物线经过，得到，而，则，即可判断；由抛物线的对称轴为直线，即可得到，进而得到，即可得到，即可判断；，则，由，即可求得，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交的延长线于点，连接，
则，
，
，
设，则，
绕点逆时针旋转至，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，即点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
如图，过点作交的延长线于点，连接，由，可得：，设，则，证明≌，可得：，，进而得出：，，，再证明点是的中点，运用三角形中位线定理可得，即可求得答案．
本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
 

17.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在图中的数轴上表示出来，如图所示：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：Ⅰ；Ⅱ；Ⅳ．
Ⅰ解不等式，得到解集即可；
Ⅱ解不等式，得到解集即可；
Ⅲ把不等式和的解集在图中的数轴上表示出来，如图所示；
Ⅳ写出原不等式组的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：已知，
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，内错角相等．
，
两直线平行，同位角相等，
；
解：，，
．
，
．
，
． 

【解析】由，得出，由平行线的性质得出，，即可得出结论；
先根据和三角形的内角和是，求出，再根据求出的度数，最后根据等量代换可以得出答案．
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：被调查的学生总人数为人，
，即，
，
故答案为：、；
估计该校名学生中最喜欢乒乓球的人数为人；
这四个活动项目依次用、、、表示，
画树状图：

共有种等可能的结果数，其中甲乙同时选择乒乓球活动课的有种结果，
甲乙同时选择乒乓球活动课的概率为．
由篮球人数及其所占百分比求出被调查总人数，进一步求解即可得出、的值；
总人数乘以乒乓球人数所占比例即可；
这四个活动项目依次用、、、表示，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
 

20.【答案】证明：连接并延长与的延长线交于，
过作于，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，，
，
与相切；
解：设，
正方形的边长为，
，，
，
，
，
，，
图中阴影部分的面积． 

【解析】连接并延长与的延长线交于，过作于，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
设，根据已知条件得到，，根据勾股定理得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出正方形是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，点，平行四边形即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，线段即为所求．
 

【解析】利用网格特征，平行四边形的判定画出图形即可；
利用平行线分线段成比例定理，画出图形即可；
作出点关于的对称点，连接交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】     

【解析】解：睿智公司共投入资金万元，
投入乙种新型智能产品资金为万元，则投入甲种新型智能产品资金为万元，
故答案为：；
根据题意，得投入甲种新型智能产品所获年利润为万元，
故答案为：；
由题意得：，
故答案为：；
由可知，，
，
图象开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最小，最小值为，
当时，最大，最大值为，
公司市场部预判该公司全年总利润单位：万元的范围为；
由题意得：，
函数的对称轴为，
，故当时，随的增大而减小，
则，
解得，
故的取值范围为．
根据公司投入总资金万元，投入乙种新型智能产品资金为万元，即可得出投入甲种新型智能产品的资金；根据甲种新型智能产品所获年利润单位：万元与投入资金单位：万元的函数关系式是，把代入解析式即可；根据总利润甲产品的利润乙产品的利润可得答案；
由中所的解析式，再根据的取值范围由函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；
由题意得：，根据函数的增减性即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

23.【答案】证明：在与中，
，，
∽，
：：，
；
如图：延长与的延长线相交于点，

，，
，
在▱中，，
，
，
在与中，
，，
∽，
，
点是边上的中点，
，
在与中，
，，，
≌，
，，，
，
，即，
，
；
如图，设正方形边长，则，

，
，
设交于，设，
，，
是等腰直角三角形，，，，，
，，即，
，
又，
，
∽，
，
又，
，
，
，
，
解得：，此时，舍去；
，
． 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证出∽，再根据相似三角形的性质即可证明；
延长与的延长线相交于点，先证明∽，得到，再证明≌，所以，，，，代入到前面得到的比例式，即，从而得解；
设正方形边长，，根据已知得是等腰直角三角形，所以，，，，再证明∽，得到，用含、的式子代入，解得的值含，再代入到中即可求解．
本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握和运用以上知识点．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线的解析式为；
解：延长交轴于，过作于，如图：

在中，令得或，
，
，
顶点，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
解得或，
的坐标为或；
证明：，
令，得或，
抛物线过和，即，，
设直线解析式为，将代入得：，
，
直线解析式为，
过点作直线与抛物线有且只有一个交点不与轴垂直，
有两个相等实数解，
，
化简整理得：，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，
又，
可得直线解析式为，
由得或，
，
，
线段的长为定值． 

【解析】由抛物线的对称轴为直线，有，可解得抛物线的解析式为；
延长交轴于，过作于，由得，顶点，用待定系数法可得直线解析式为，从而可得，，即可得，又，故，设，有，可解得的坐标为或；
由，令，可得，，设直线解析式为，有直线解析式为，而过点作直线与抛物线有且只有一个交点不与轴垂直，知有两个相等实数解，即，解得，从而直线解析式为，令得，可得直线解析式为，由得，从而，线段的长为定值．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是求出及用含的式子表示，的解析式．