4.丰台区2021-2022学年度第二学期高二数学期末试卷

丰台区2021～2022学年度第二学期期末练习高 二 数学

    2022.07

第一部分（选择题  共40分）

一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1．已知函数，则

（A）       （B）           （C）          （D）

2．的展开式中的系数是

（A）         （B）12                （C）           （D）6

3． 设是数列的前n项和，若，则

（A）-21        （B）11           （C）27        （D）35

4．经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.据此模型进行推测，下列结论正确的是

（A）y与x负相关 

（B）胸径为20cm的树，其高度一定为20m

（C）经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm，估计其高度增加0.25m

（D）样本数据中至少有一对满足经验回归方程

5．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为

（A）10.9          （B）-10.9          （C）5               （D）-5

6．同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则

（A） （B） （C） （D）

7．甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为

（A）           （B）            （C）           （D）

8．“”是“函数在处有极小值”的

（A）充分而不必要条件       （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件        （D）既不充分也不必要条件

9．某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A，B，C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为

（A）24          （B） 36          （C）48            （D）72

10．已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为

（A）23           （B）24           （C）25            （D）26

第二部分（非选择题  共110分）

二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：

则_________，_________.

12. 由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有_________个.（用数字作答）

13. 函数在处的瞬时变化率为_________.

14. 数列的通项公式为，若，则p的一个取值为______.

15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：

①  当时，；

②  在区间上单调递减；

③  在区间上存在极小值；

④  在区间上存在极小值.

其中所有正确结论的序号是_________.

三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题14分）

某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为. 已知该同学一周有3天骑车上学.

（Ⅰ）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；

（Ⅱ）记该同学在这3天上学途中遇到红灯的天数为，求的分布列及数学期望.

17.（本小题13分）

已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

条件①：；

条件②：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. （本小题14分）

已知函数，.

（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）求的单调区间．

19. （本小题15分）

一兴趣小组为了解5种APP的使用情况，在某社区随机抽取了200人进行调查，得到使用这5种APP的人数及每种APP的满意率，调查数据如下表：

（Ⅰ）从这200人中随机抽取1人，求此人使用第2种APP的概率；

（Ⅱ）根据调查数据，将使用人数超过50%的APP称为“优秀APP”.该兴趣小组从这5种APP中随机选取3种，记其中“优秀APP”的个数为，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）假设每种APP被社区居民评价为满意的概率与表格中该种APP的满意率相等, 用“”表示居民对第种APP满意，“”表示居民对第种APP不满意.写出方差，，，，的大小关系.（只需写出结论）

20. （本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，函数存在极值；

（Ⅲ）若函数在区间上有零点，求的取值范围.

21. （本小题14分）

已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.

（Ⅰ）若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（Ⅲ） 若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.

丰台区2021～2022学年度第二学期期末参考答案

高二数学

2022. 07

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．16；16                    12．6                      13．1

14．（答案不唯一，只要满足“”即可）            15． ①③④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题14分）

解：（Ⅰ）记“该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯”为事件A，  

        则，

        所以，该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率为. ………………5分

（Ⅱ）的所有可能取值为：0,1,2,3.                           

       ，                      

       ，

       ，                        

       ，                      

       的分布列为

       数学期望.              ………………14分

       （另解：，数学期望）

17.（本小题13分）

解：选择条件①：

（Ⅰ）设公差为，

因为，，所以，                  

解得， 所以.                   ………………7分

（Ⅱ）因为，所以，                      

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以    ………………13分

选择条件②（评分标准同上）：

（Ⅰ）设公差为，因为，，

所以，

解得，所以.

（Ⅱ）与选择条件①时的第（Ⅱ）问答案相同.

18.（本小题14分）

解：（Ⅰ）当时，，

.                    

令得，或.                          

当在区间上变化时，的变化情况如下表

因为，                                  

所以在区间上的最大值为3，最小值为0.           ………………6分

（Ⅱ）,                    

令得，或,                          

当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，，随着的变化，的变化情况如下表

所以的单调递增区间为(-∞, )，(a,+∞)；的单调递减区间为(,a).

当时，，随着的变化，的变化情况如下表

所以的单调递增区间为(-∞, a)，(,+∞)；的单调递减区间为(a,).

                ………………14分

19.（本小题15分）

解：（Ⅰ）记“从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP”为事件A，  

         由表中数据可得：200人中有90人选择使用了第2种APP，          

         所以，.

         从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP的概率为.…4分

（Ⅱ）样本数据中有5种APP ，其中“优秀APP”有2种，        

的所有可能取值为：0,1,2，                           

          ,                             

          ,                            

          ,                             

          的分布列为

          数学期望.                ………………11分

（Ⅲ）<<=<                      ………………15分

20.（本小题15分）

解：（Ⅰ）当时，，，，

因为，                                       

所以曲线在处的切线方程为，

即.                                         ………………4分

（Ⅱ）.              

当时，由得，.                      

随着的变化，的变化情况如下表

所以存在极小值，且极小值为.             ………………9分

（Ⅲ），

当时，，在区间上单调递减，且，

因为在区间上有零点，

所以， 解得 ，

所以.                                   

当时，，   

因为在区间上有零点，

由（Ⅱ）可知， ，

因为函数是增函数，且，         

所以.                                         

综上所述，的取值范围是.               ………………15分

21.（本小题14分）

解：（Ⅰ）因为，所以，    

         .                     ………………4分

    （Ⅱ） 因为，且，所以，      

      所以，，，，， ……6分

      把上面个等式左右两边分别依次相加，得到，

         于是，                                  

         又因为，所以.                         ………………9分

（Ⅲ）数列的阶差数列的通项公式为.

理由如下：当时，，

其1阶差数列的通过项公式，阶差数列各项均为0.

当时，，

其1阶差数列的通过项公式，

2阶差数列的通项公式为，阶差数列各项均为0.

假设时，的阶差数列为常数，阶差数列各项均为0.

当时，的1阶差数列为

因为的阶差数列就是的阶差数列，

由假设知的k阶差数列各项均为常数.

(因为的1阶差数列为

，

所以的1阶差数列为的1阶差数列与的1阶差数列的和，

进而有的k阶差数列为的k阶差数列与的k阶差数列的和.)

所以，数列的阶差数列的通项公式为.      ………………14分