2022届湖北省黄冈中学高三第三次模拟考试数学试卷（B卷）含解析

  湖北省黄冈中学2022届高三第三次模拟考试

数学试卷(B卷）

考试时间：2022年5月24日下午15:00-17:00     试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则　

A． B． C． D．

2．已知，则

A． B． C． D．

3．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为

A． B．2 C． D．4

4．若，，则“”是“”的

A．充分必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的

x的取值范围为

A.  B.

C.  D.

6．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为 

圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为

A． B．

C． D．

7．4位同学坐成一排看节目，起身活动后随机安排一位同学去购买饮料，留下的同学继续坐下收看，若留下的同学不坐自己原来的位置（4把椅子）且考虑留下同学的随机性，则总的坐法种数为

A．44 B．36 C．28 D．15

8．已知，设，，，其中为自然对数的底数，则

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9．设为复数，则下列命题中正确的是

A． B． 

C．若，则的最大值为2 D．若，则

10．设，下列结论正确的是

A．B．

C．D．当时，除以的余数是1

11．已知菱形中，，与相交于点．将沿

折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是　

A． 

B．存在一个位置，使为等边三角形 

C．与不可能垂直 

D．直线与平面所成的角的最大值为

12．已知函数在区间上单调，且满足．下列结论正确的是

A．

B．若，则函数的最小正周期为

C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解

D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知点，抛物线的焦点为．若线段的中点在抛物线上，则的值为　　．

14．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为　．

15．已知数列的通项公式为，保持数列中各项先后顺序不变，在与，2，之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则的值为　　．

16．已知函数，，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是__________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知数列满足，，，，且是，的等比中项．

（1）求的值；

（2）求数列的前项和．

18．（12分）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，．

（1）求；

（2）若，求四边形的面积．

19．（12分）如图，已知三棱台中，二面角的大小为，点在平面内的

射影在上，，，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，，直线，分别交直线于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为原点,求证：．

21．（12分）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行．近年来,乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军,比赛采用三局两胜制,即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验, 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、,且每局比赛相互独立．

(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；

(2)比赛开始前,工作人员买来两盒新球,分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛,且局中不换球,该局比赛后,直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致,且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后,两盒内白球剩余的总数为,求随机变量的分布列与数学期望．

22．（12分）函数．

（1）判断时，的零点个数，并加以说明；

（2）正项数列满足．

①判断数列的单调性并加以证明；②证明：．

湖北省黄冈中学2022届高三第三次模拟考试

数学参考答案

1．【答案】B

【解析】，，．

2．【答案】A

【解析】．

3．【答案】B

【解析】双曲线的一条渐近线与直线垂直，则，所以曲线的离心率.

4．【答案】C

【解析】，，当且仅当时取等，所以“”是“”的充分条件；反之由，如当，时，成立， ，不能推出，所以“”是“”的不必要条件．

5．【答案】B

【解析】由题意知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，又，所以，平方并化简，得，解得或．

6．【答案】D

【解析】圆的半径为，则．

，．

7．【答案】A

【解析】设4位同学分别是甲､乙､丙､丁，随机安排一位同学去购买饮料有种情况，不妨设选中丁去购买饮料，若甲坐丁的位置，则乙､丙有3种坐法；若甲坐乙､丙中之一的位置，则乙､丙有4种坐法，

所以总的坐法种数为.

8．【答案】B

【解析】令，则，则在，上单调递减，故，，故，故，由，得：，故，故，故．

9．【答案】ACD

【解析】设，对于，，，故正确；

对于，，，故错误；

对于，表示对应的点在单位圆上，表示点对应的点与的距离，故的最大值为2，故正确；

对于，表示对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，表示对应的点与原点 的距离，故，故正确．

10．【答案】ACD

【解析】在展开式中令，即得，A正确；

，所以，，，B错；

令，则，两边对求导得

，令得，C正确；

时，，

展开式右边共7项，前6项都是2000的整数倍，因此它除以2000的余数是1，D正确．

11．【答案】ABD

【解析】取的中点，连接，，则平面，可得，正确；

由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，所以正确；

三棱锥是正四面体时，与垂直，所以不正确；

在平面与底面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，正确．

12．【答案】ABD

【解析】对于A，∵在上单调，又，∴，故A正确；

对于B，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，

∴，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，

故k＝0，，故B正确.

对于C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，

故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误．

对于D，，得，又，∴，故D正确.

13．【答案】

【解析】线段的中点在抛物线上，可得，解得．

14．【答案】

【解析】球的半径为，，解得，圆柱的高为：．可得．

15．【答案】130

【解析】因为与，2，之间插入个1，

所以在中对应的项数为，

当时，，当时，，所以，，且，为前6项和，因此．

16．【答案】

【解析】，，

当时，，在R上单调递增﹐在R上只有一个零点，在R上也只有一个零点，故至多有两个零点，不满足题意.

当a＞0时，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，

在同一坐标系中，分别作出函数f (x)，g (x)的图像，

根据图像可知：当f()0时，所以F(x) 有且只有一个零点；

当f()＜0时，要使得有三个不同的零点，

则或者，解得

17．【解答】（1）由，，，，

可得，，，，

又是，的等比中项，可得，即，解得舍去）；

  ………………………5分

（2）解法一：由，可得，两式相减可得，

可得数列的奇数项和偶数项都是公差为4的等差数列，

则，，，所以，．

（2）解法二：由（1）知．

当n为偶数时，

当n为奇数时，

综上所述，． ………………………10分

18．【解答】（1）中，，，，

由余弦定理可得，所以，

再由正弦定理，可得，

又因为为的角平分线，

所以．………………6分

（2）中，，，，

，

，

由正弦定理，可得，

……………………12分

19．【解答】（1）由可知,

又因为与平行，所以.

平面，所以,又,

所以平面.………………………………6分

（2）方法一：过作垂直于交于，连,因为平面，

所以即为二面角的平面角，所以

在中，,,可得.

在中，,.

在中，,,

在中,因为,所以.

又因为,

由余弦定理可得,所以.

设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，

由可得，所以.

所以.………………………………………………12分

方法二：如图建立空间直角坐标系，则,,

因为,,二面角的大小为，

所以，. 设平面的法向量为，则

可得，

取可得

直线与平面所成角为，

则.………………12分

20．【解答】（1）由题得，，，，，

所以椭圆的方程为．        …………………………………4分

（2）证明：要证，只需证：，

只需证明，只需证明，只需证明，

设，，，只需证明，只需证明．

设直线的方程为，，联立椭圆方程，得，

设，，，，，，，

又，，三点共线，所以，，同理，

所以．

．             …………………………………12分

21．【解答】（1）记事件:“甲在第局比赛中获胜”,,事件:“甲在第局比赛中末胜” .

.记事件“甲夺得冠军",

则. …………………5分

（2）设甲乙决出冠军共进行了局比赛,易知或.

则,故.

记表示第局从白盒中抽取的白色球,表示第局从黄盒中抽取的黄色球,

的所有可能取值为;

;

;

.

综上可得,的分布列如下:

数学期望为.(概率算对其中一个得2分) ……………12分

22．【解答】（1）当时，，

令，，则，故在上单调递增，

所以，所以即零点个数为0，

（2）①数列为递减数列，证明如下：

因为，所以，

要证明数列为递减数列，只要证明，即，

只要证，，即，

由，

所以即，由（1）可知结论成立，

②要证明：，由，只要证明，只要证，

由于，此时成立，

所以即证，即，

即，即，，

令，，则，

因此在上单调递增，

所以，于是成立，原不等式成立．